项目七 抽样推断分析（课件）-《统计学基础》同步教学（电子工业版）

项目七导学

一、抽样推断的含义和特点

（一）抽样推断的含义

抽样推断又称抽样估计，是按照随机原则，从

全部研究总体中抽取一部分单位进行调查，并依

据所获得的数据对总体的某一数量特征做出具有

一定可靠程度的估计与推断，从而认识总体的一

种统计方法。

（二）抽样推断的特点及作用

1.抽样推断是建立在随机抽样的基1.可以用来了解不能进行全面调查

现象的资料

础上

2.节省人财物力

2.抽样推断伴随着一定的误差，但

是误差可以事先计算和加以控制；3.可以进行抽检、质量控制

3.抽样推断结果具有一定的可靠程4.可以对总体参数进行假设检验

度（概率估计）

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二、抽样推断的几个基本概念

（二）样本容量和

（一）总体及样本

样本个数

（三）重复抽样和

（四）抽样框与抽样单元

不重复抽样

（五）参数与统计

量

6

（一）总体和样本

7

（一）总体和样本

–1、总体：又称全及总体，是所要认识的对象的全体，简称总

体，也叫母体。它是调查对象范围内具有某种共同性质或特

征的许多单位的集合体。全及总体的单位数通常用N来表示，

N总是很大的数，所有要进行抽样调查与推断。

n2、样本：又称子样或抽样总体。它是从总体中随机抽取出来，

代表总体的那部分调查单位的集合体。样本的单位数通常用n

表示（n也成为样本容量），相对N来说，n是很小的数。

思考1：对于某一研究问题，总体是唯一的，样本唯一

吗？

8

¡（二）样本容量和样本可能个数

样本容量：是指一个样本所包含的单位数n。

样本可能个数：又称样本个数，是在一定的抽样方

法和样本容量下从总体抽取的所有可能的样本个数。

思考2：从总体单位数N=100的总体中随机抽取容量为

10的样本，样本可能数目为多少？

类推——从N中随机抽取容量为n的样本，样本可能数

目为多少？9

（三）重复抽样和不重复抽样

–1、重复抽样

•也称重置抽样、放回抽样、回置抽样。它是指从总体N个单位

中随机抽取容量为n的样本时，每次从总体中抽取一个单位，

把结果登记下来后重新放回，再从总体中抽取下一个样本单

位。在这种抽样方式中，同一单位可能有多次被重复抽取的

机会。例如

–2、不重复抽样

•也称不重置抽样、不放回抽样、不回置抽样。它是指从总体N

个单位中随机抽取容量为n的样本时，每次从总体中抽取一个

单位，不再放回去，下一次则从剩下的总体单位中继续进行

抽取，如此反复构成一个样本。就是说，每个总体单位只能

被抽取一次，从总体中每抽取一次，总体就少一个单位，因

此，先后抽出来的各个单位被抽中机会是不相等的。例如

10

重复抽样

•总体有A、B、C、D4个单位，要从中随机抽取2个单位

构成样本。可先从4个单位中取一个，结果登记后放回，

然后再从相同的4个中取一个，就构成一个样本。全部可

能抽取的样本数目为4×4==16个。它们是：

•AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,

DC,DD。

一般地说，从总体个单位中，随机抽取

•NnNn

个单位构成样本，则样本可能数目为

个。

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不重复抽样

•前例中，用不重复抽样的方法从中抽两个单位构成样本，

则全部可能抽取得样本共有4×3=12个，它们是：

•AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC。

¡一般地讲，从总体N个单位中，随机不重复抽取n个单位

构成一样本，则样本可能数目为？

¡N(N－1)(N－2)……(N－n+1)个。

由此知：在相同的样本容量的要求下，不重复抽样的样本

可能数目比重复抽样为少。在实际工作中，一般多采用不

重复抽样，但有些调查如公交车辆乘客情况的调查，商场

顾客流量情况的调查只宜用重复抽样。

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¡（四）抽样框和抽样单元

抽样框：又称抽样结构，是指对可以选为样本的

总体单位列出名册或排序编号，以确定总体的抽

样范围和结构。

抽样单元：构成抽样框的单元称为抽样单元。

抽样时，抽取的不是具体的总体中某个单元，而是抽

取它的编号，我们是从抽样框中进行抽取的，因此

1）抽样框必须是有有序的编号；

2）抽样框中的抽样单元必须“不重不漏”

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•（五）参数和统计量

–参数：反映总体数量特征的指标称为参数。也叫总体指

标或母体参数。由于全及总体是唯一确定的，所以根据全

及总体计算的全及指标也是唯一确定的。

–抽统计量：又称为抽样指标，由样本总体各单位标志值

或标志特征计算的，反映样本数量特征的综合指标。它是

用来估计全体指标的。

在一个调查总体中，参数是唯一确定的量，是一个未知

量；是需要通过样本指标（统计量）来推断的。

常用的参数有总体平均值、总体方差、标志差、总

体成数、总体成数方差、总体成数标准差。

用相应的小写字母表示与总体对应的统计量。

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参数和统计量的计算公式

参数（总体指标）统计量（样本指标）

变总体平均数

量

总

体总体标准差

总体方差

15

参数和统计量的相关公式

参数（总体指标）统计量

属总体成数

性

总

体总体成数

标准差

总体成数

方差

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三、几种基本的抽样方式

1.简单随机抽样

2.分层抽样

3.等距抽样

4.整群抽样

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四、抽样误差及抽样误差的可靠程度

（一）抽样误差

u抽样误差是抽样推断产生的误差，是样本指标与总体

指标之间的离差。

Ø样本平均数与总体平均数的绝对离差（即）；

Ø样本成数与总体成数的绝对离差（即）。

思考：抽样误差越大越好还是越小越好？

抽样误差的大小受什么影响？

影响抽样误差的因素单位数越多，

抽样误差越小

1.样本容量大小；

2.总体各单位标志值的差异程度；差异越大，抽

样误差越大

3.抽样的方法；

4.抽样调查的组织形式。

重复抽样的抽

样误差比不重简单随机抽样的抽样误差最大

复抽样的大

（二）抽样平均误差

是反映抽样误差的一般水平（平均数）；通

常用样本平均数（或样本成数）的标准差来表

、

示，用符号xp表示。

因为抽样有重复抽样和不重复抽样，所以

抽样平均误差分两种：

20

21

样本平均数的抽样平均误差例题：

某工厂有1500个工人，用简单随机重复抽样的方法

抽出50个工人作为样本，调查其工资水平资料如下

月平均工资524534540550560580600660

工人数469108643

计算样本平均数和抽样平均误差

解：先列表

xfxf

5244209612965184

534632046764056

540948604003600

5501055001001000

5608448000

580634804002400

6004240016006400

660319801000030000

502800052640

计算平均数即平均工资：

样本成数的抽样平均误差例题：

某钢铁厂生产某种钢管，现从该厂某月生产的500根产品中抽

取一个容量为100根的样本。已知一级品率为60%，试求样本

一级品率的抽样平均误差。

解：已知p=60%、n=100、N=500

（三）抽样极限误差（抽样允许误差）

抽样极限误差是指样本指标和总体参数之间抽样误差可

能的最大范围。用符号表示。

xxXppP

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（四）抽样误差的概率度t

抽样极限误差通常需要以抽样平均误差为标准单位来

衡量。抽样极限误差除以抽样平均误差得相对数t.

t是测量估计可靠程度的一个参数，称为抽样估计的

概率度。

tx或t

xx

x

p

t或pt

p

这个公式表明，在抽样平均误差μ一定的条件下，概率度t越大，则抽样误差

范围越大，反之t越小，抽样误差范围越小。

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（五）抽样估计的可靠程度F（t）

•我们可以计算抽样统计量和总体参数的误差不超过一定区间范围（置信区间）

内的概率，这种概率就称之为抽样估计的可靠程度，也称为置信度（即总体

参数落在一定区间范围的概率把握程度）。用P表示，它是概率度t的函数

（P=F（t））。

•在实际应用中，我们所研究的总体大部分为正态总体，根据“正态

分布概率表”，已知概率度t可查得相应的概率保证程度F(t)；相反，

已知概率保证程度F(t)也可查得相应的概率度t。现将几个常用的对

应数值列于下表。

¡常用概率度与概率保证度表

概率度t概率F(t)(%)

1.0068.27

2.0095.45

3.0099.73

1.6490.00

1.9695.00

2.5899.0028

–从抽样极限误差的计算公式看，极限误差与概

率度t和抽样平均误差三者之间存在如下关系：

–1、在保持不变的情况下，增大t值，把握程度

P相应增加，误差范围也随之扩大，这时估计

的精确度将降低；反之，要提高估计的精确度，

就得缩t值，此时把握程度也会相应降低。

–2、在t保持不变的情况下，抽样平均误差小，

则误差范围就小，估计的精确度就高；反之，抽

样平均误差大，误差范围就大，估计的精确

度就低。

抽样估计的可靠程度大，抽样极限误差大，估计的精度低；

抽样估计的可靠程度小，抽样极限误差小，估计的精度高；

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（六）影响抽样误差的因素

•1．样本容量n。

在其他条件不变的情况下，样本容量越大，抽样误差则越小。当样本容量

大到等于总体单位数N时，则统计量和总体参数完全重合；反之，样本容量愈

小，抽样误差愈大。

•2．总体标志的变异程度。

总体标志变动程度越大，抽样误差就越大，反之，总体标志变化程度越小

，则抽样误差越小。

•3．抽样的组织方式和抽样方法。

在相同条件下，重复抽样的误差大于不重复抽样的误差。

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一、点估计

点估计是以样本统计量的取值直接作为总体参数的估计

值的一种估计方法。如：用样本均值直接作为总体均值的

估计值，用样本方差作为总体方差的估计值，用样本乘数

作为总体成数的估计值等等。即有点估计的基本公式：

2222

=x,s,Pp,Psp

其中：—总体均值的估计量；

2—总体方差的估计量；

P—总体乘数的估计量；

2—总体乘数方差的估计量；

P

u点估计的特点：

1）优点是简便易行，原理直观，常为实际工作采用。

2）不足之处是没有表明抽样估计的误差，更没有表明误差在一定范

围内的概率保证程度有多大。

二、区间估计

u区间估计

区间估计是依照一定的概率保证程度，用样本估计值

估计总体参数一个区间范围的方法。

u区间估计与点估计的区别：

1）点估计是一个确切的估计值，而区间估计是区间范围，根

据概率度的要求区间范围可宽可窄；

2）点估计无法回答估计值落在某区间的概率保证程度，而区

间估计可以回答待估参数落在估计区间的把握程度。

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二、区间估计

（一）总体平均数的估计区间（置信区间）

,

xxXxx(xxxx)

（二）总体成数的估计区间（置信区间）

,

ppPpp(pppp)

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（一）总体平均数的估计区间（置信区间）

1．正态总体、总体方差2已知或者非正态总体、大样本时总体均值μ的区间估计

当总体服从正态分布，且总体方差2已知，或者总体是非正态总体但抽选的样本为大

2

样本（）时，可以证明抽选自总体的样本的样本均值服从均值为，方差为的

n>=30n

正态分布

2

x~N(,)

n

在显著性水平a下，总体均值在1-a的置信度下的置信区间为:

（，）

xZa/2xZa/2

nn

(1)若抽样方式为不重复抽样，则上述情况总体均值的置信区

间为

:

（Nn，Nn）

xZa/2xZa/2

nn1nn1

(2)若总体方差2未知，可以用样本方差s2代替:

35

（一）总体平均数的估计区间（置信区间）

2．正态总体、总体方差2未知，小样本时总体均值μ的区间估计

当总体服从正态分布，且总体方差2未知，且样本为小样本时，用样本方差s2代替。

此时新的统计量是服从自由度为n-1的t分布，记为：

x

T~tn1

s

n

在显著性水平a下，总体均值在1-a的置信度下的置信区间为:

（s，s）

xta/2xta/2

nn

(1)若抽样方式为不重复抽样，则上述情况总体均值的置信区

间为:

(2)若总体方差2未知，可以用样本方差s2代替:

（Nn，Nn）

xZa/2xZa/2

nn1nn1

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[例]：总体均值的区间估计

要估计S乡粮食亩产量和总产量，从该乡1万亩粮食作物中

抽取200亩，求得其平均亩产量为400公斤。如果确定抽样极

限误差为5公斤，试估计该乡粮食平均亩产量和总产量的置

信区间。

解：因为

x400x5

该乡粮食平均亩产量的下限公斤

=x-x4005395

该乡粮食平均亩产量的上限公斤

=x+x4005405

所以该乡粮食平均亩产量的区间落在400±5公斤的范围内，

即在395～405公斤之间。

•粮食总产量在10000×（400±5）公斤，即在395～405

万公斤之间

•[例]对一批某型号的电子元件进行耐用性能检查，按重复

随机抽样的资料分组列表如下，要求估计耐用时数的允许

误差范围=10.5小时，试估计该批电子元件的平均耐用时

数（见下表）。

耐用时数组中值抽样检查结果（只）

900以下8751

900—9509252

950—10009756

1000—1050102535

1050—1100107543

1100—115011259

1150—120011753

1200以上12251

合计—100

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•第一步，计算

•第二步，根据给定的=10.5小时，计算总体平均数的上下

限：

下限==1055.5–10.5=1045（小时）

上限==1055.5+10.5=1066（小时）

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•第三步，根据，查正态分布概率表得

概率F（t）=95.66%。（可靠程度）

•推断的结论是：以95.66%的概率保证程度，

估计该批电子元件的耐用时数在1045—

1066小时之间。

40

（二）总体成数的区间估计（置信区间）

在大样本情况（np>5,n(1-p)>5）下，根据中心极限定理可以证明样本乘数近似服

从正态分布。即

P(1P)

p~N(P,)

n

与样本均值的区间估计一样，在显著性水平在显著性水平a下，总体成数P在1-a的

置信度下的置信区间为:

P(1P)P(1P)

（pZ，pZ）

a/2na/2n

P(1P)P(1P)

Z为概率度，为抽样平均误差，所以Z为抽样极限误差。

a/2na/2n

P(1P)P(1P)

pZ，pZ分别为置信下限、置信上限。

a/2na/2n

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例5：总体成数的区间估计

要估计某高校10000名在校生的近视率，现随机从中抽取

400名，计算的近视率为80％，如果确定允许误差范围为

4％，试估计该高校在校生近视率所在的置信区间。

p80%x4%

•该校学生近视率的区间落在80％±4％的范

围内，即在76％～84％之间。

例6：

某灯泡厂某月生产5000000个灯泡，在进行质量检

查中，随机抽取500个进行检验，检查500个灯泡中不合

格产品占0.4%，试在0.6827概率保证下，估计全部产品

中不合格率的取值范围。

p=0.4%

p1p0.0040.996

p0.28%

n500

概率保证程度为0.6827时，t=1

p1p0.28%

pp0.4%0.28%0.12%

pp0.4%0.28%0.68%

该批灯泡的不合格率取值范围在0.12%~0.68%之间。

抽样推断时，样

本容量为多大合

适？

Page46

（一）平均数样本容量的确定

t22

n2

n

2Nt22

n

x(1)n222

nNNxt

（二）成数样本容量的确定

t2p(1p)

p(1p)

n2

n

Nt2p(1p)

p(1p)n

x(1)n22

nNNptp(1p)

练习2：对某批成品按重复抽样方法抽选200件检查，其中废

品8件，又知样本容量为成品总量的(1／20)。以95％的把握

程度估计该批成品的废品率范围。

练习3：从全校近万名学生中，随机抽取一部分学生测得其平

均身高160厘米。根据以往经验学生身高的标准差为3厘米，

现要求抽样允许误差最大不超过0.6厘米，则至少应抽多少学

生（重复抽样）？

练习4：某电子元件厂日产10000只元件，经多次一般测试一

等品率为92%，现拟采用随机抽样方式进行抽检，如要求误

差范围在2%之内，可靠程度95.45%，试求需要抽取多少只

电子元件？

一、EXCEL在抽取样本中的应用

第一步，对总体编号，即编制抽样框；

第二步，将编号输入Excel中建立数据库；

第三步，单击“数据”菜单，选择“数据分析”选项卡，在“

数据分析”对话框中的“分析工具”列表中选择“抽样”，点

击“确定”，打开“抽样”对话框。

在“输入区域”中输入编号所在的单元格地址，在“样本数”

文本框中输入样本量n，在“输出区域”中输入单元格如U1。

第四步，单击“确定”，即可得到随机抽取的样本编号。

第五步，根据样本编号整理对应的样本。

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二、Excel在抽样极限误差计算中的应用

一、利用“CONFIDENCE”函数计算允许误差（极限误差）

该函数适用于大样本数据。

插入>函数>统计>选“CONFIDENCE”>设置“CONFIDENCE”对话框，其中

ALPHA框中输入a值，即1-置信度”>得出允许误差

（二）利用“NORMSINV”(正态)、“TINV”（t分布、小样本）函

数先计算概率度，然后计算允许误差（极限误差）

插入>函数>统计>选择“NORM.S.INV”函数>“NORM.S.INV”对话框。

插入>函数>统计>选择“T.INV.2T”>函数“T.INV.2T”对话框。

第二步：在对话框中的“Probability”文本框中输入“显著性水平/2”，

单击确定按钮，计算概率度，然后根据公式计算抽样极限误差。

三、EXCEL在区间估计中的应用

在EXCEL中，对总体均值和总体成数的区间估计主要使用

“CONFIDENCE”函数、“NORMSINV”、“TINV”函数。

一、总体均值的区间