2025-2026学年上海市徐汇中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2025-2026学年上海市徐汇中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（每题4分，共24分）1．将抛物线向右平移1个单位，所得新抛物线的函数解析式是（）A． B． C． D．2．如图，在△中，，于，下列各组线段的比不能表示的是（）A． B． C． D．3．如图，在平行四边形中，若为中点，且与交于点，则△与△的周长比为（）A． B． C． D．4．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．5．已知抛物线，是常数且，下列选项中可能是它大致图象的是（）A． B． C． D．6．如图，已知、分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼的玻璃幕墙看到大楼的顶部点的像，那么大楼的高度为（）A． B．米 C． D．60米二、填空题（每题4分，共48分）7．已知，那么．8．已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于．9．函数图象的与轴的交点坐标是．10．如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是．11．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为．12．小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．13．如图，若在△中，，是边上一点，且，则线段的长为．14．已知点和点都在二次函数的图象上，那么．15．手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是厘米．16．如图，在等边三角形中，，，分别是，，上的点，，，，若△的面积为48，则△的面积为．17．平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形中，，，，点、分别在边、上，且是梯形的“比例中线”，那么的值为．18．如图，在△中，，，，点是直线上的动点，，，是中点，连接，则的最小值是．三、解答题19．计算：．20．如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点．（1）求的值；（2）如果，，试用、表示向量．21．如图，在菱形中，．（1）求对角线的长；（2）求的值．22．如图，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（1），；（2）求点到道路的距离．（结果精确保留根号，参考数据：，，23．在中，是对角线上一点，连接，，延长交于点，交延长线于点，若．求证：①；②四边形是菱形．24．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线上方抛物线上一动点；①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．②联结、，设直线交线段于点，△的面积为，△的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）．25．如图，在△中，，点是边中点，点，是直线上的动点在左边），以为一边作．（1）求的长；（2）当点是△的重心时，求的值；（3）若△是以为腰的等腰三角形，求的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1．将抛物线向右平移1个单位，所得新抛物线的函数解析式是（）A． B． C． D．解：抛物线向右平移1个单位的顶点坐标为，所得新抛物线的函数解析式是．故选：．2．如图，在△中，，于，下列各组线段的比不能表示的是（）A． B． C． D．解：，，，，，，，即只有选项错误，选项、、都正确，故选：．3．如图，在平行四边形中，若为中点，且与交于点，则△与△的周长比为（）A． B． C． D．解：在平行四边形中，，△△，．故选：．4．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．解：、得出的是向量的方向不是单位向量，故不符合题意；、符合向量的长度及方向，故符合题意；、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；、左边得出的是向量的方向，右边得出的是向量的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．故选：．5．已知抛物线，是常数且，下列选项中可能是它大致图象的是（）A． B． C． D．解：抛物线，是常数且，图象开口向下，，图象与轴交于负半轴，，，抛物线对称轴在轴右侧．故选：．6．如图，已知、分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼的玻璃幕墙看到大楼的顶部点的像，那么大楼的高度为（）A． B．米 C． D．60米解：在△中，，米，，解得：（米，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼的玻璃幕墙看到大楼的顶部点的像，（米．故选：．二、填空题（每题4分，共48分）7．已知，那么．解：，．故答案为：．8．已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于．解：线段，是线段的黄金分割点，，，，故答案为：．9．函数图象的与轴的交点坐标是．解：令，，函数与轴的交点坐标为：，故答案为：．10．如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是16．解：，它们依次交直线、于点、、和点、、．，，，，解得，故答案为：16．11．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为10．解：直角三角形斜边长为30，斜边上的中线长为，，故答案为：10．12．小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了50米．解：设坡度的高为米，则水平距离为：米，则：，解得：，故答案为：50．13．如图，若在△中，，是边上一点，且，则线段的长为．解：，，，，，△△，，，，，，．故答案为：．14．已知点和点都在二次函数的图象上，那么．解：已知点和点都在二次函数的图象上，二次函数对称轴为直线，函数图象开口向下，在对称轴左侧（即时，函数随增大而增大，点和点的横坐标满足，因此，故答案为：．15．手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是18厘米．解：，△△，，，，答：的长度是18厘米，故答案为：18．16．如图，在等边三角形中，，，分别是，，上的点，，，，若△的面积为48，则△的面积为16．解：△是等边三角形，，，，，，，，，，，，，△是等边三角形，，△△，在△和△中，，，，，，△△，，△的面积为48，△的面积，故答案为：16．17．平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形中，，，，点、分别在边、上，且是梯形的“比例中线”，那么的值为．解：如图，过点作，交于，交于，是梯形的“比例中线”，，，，，，，，，，，，，，，△△，，，，故答案为：．18．如图，在△中，，，，点是直线上的动点，，，是中点，连接，则的最小值是10．解：在△中，，，，点是直线上的动点，，，是中点，，，，△△，，点，，，四点共圆，，，是中点，，当最小时，的值最小，△△，，，点是直线上的动点，当时，最小，此时，最小，，，，，，，，，故答案为：10．三、解答题19．计算：．解：原式．20．如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点．（1）求的值；（2）如果，，试用、表示向量．解：（1）四边形是平行四边形，，，△△，，，，；（2）由（1）知，，，，，，，，，，，．21．如图，在菱形中，．（1）求对角线的长；（2）求的值．解：（1）交于，由题意可得：，，，，，，，，，（2）四边形是菱形，，，菱形的面积，过点作于点，则，．22．如图，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（1）90，；（2）求点到道路的距离．（结果精确保留根号，参考数据：，，解：（1）正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，正八边形的一个外角的度数为：，，；故答案为：90，76；（2）过点作，垂足为．连接，过，分别作的垂线，垂足分别为，，，，．，．过，分别作的垂线，垂足分别为，，，正八边形的每一个内角为，，，，点到道路的距离为．23．在中，是对角线上一点，连接，，延长交于点，交延长线于点，若．求证：①；②四边形是菱形．【解答】证明：①四边形是平行四边形，，，，，，△△，，．②连接，，，，，，，由（1）得△△，，，，或（不符合题意，舍去），，，，，四边形是菱形．24．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线上方抛物线上一动点；①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．②联结、，设直线交线段于点，△的面积为，△的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）．解：（1），，，，在的正半轴，，，将点坐标代入抛物线表达式得：，解得：，；（2）①存在，延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：，，，，又，，，设直线的表达式为：，将点坐标代入表达式得：，，直线的表达式为：，联立直线和抛物线解析式得：，解得：，，．②设直线的表达式为：，将点坐标代入得：，解得：，直线的表达式为：，的横坐标为，，令抛物线，得：，解得：，，，设直线的表达式为：，代入，，，直线的表达式为：，将点坐标代入直线的表达式得：，，直线的表达式：，联立直线和的表达式：，解得：，点横坐标为，与的比值和他们之间水平距离的比值相等，，△和△等高，．25．如图，在△中，，点是边中点，点，是直线上的动点在左边），以为一边作．（1）求的长；（2）当点是△的重心时，