湖南省衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

衡阳县四中2026-2027满分：150 考试时间：120分8540分．在每小题给出的四个选项中，只有一项若z(2i)5，则z

2

2

，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为

在四棱锥SABCD中，AB(2,2,0)，AD(2,4,2)，AS(1,1,0)则该四棱锥的高为

2

已知M13N1357M，Nx，y，则log3xy概率为 A.

B.

C.

D.ABCDDE1EC，FBC的中点，GEFAG

ABmAD，则实数m的值为(

已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线lα的 C.l//a，a

la，D.la，lb，aα，bα已知△ABCA，B，Ca，b，cS.若a1Cπ4SacosBbcosA，则B

正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是 AC B.CC1C.平面ACD1//平面 D.平面ADD1平面3618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 x2x3x4x5x1x2，…x6x2x3x4x5x1x2，…x6x2x3x4x5x1x2，…x6x2x3x4x5x1x2，…x6如图，已知△ABC，AB1，AC ，BC2，其内有一点G，满足GAGBGC0，过点G的直线分别交AB，AC于点D，E.设ADλAB，AEμAC（0λ1，0μ1， B.G为△ABC AB AB AC11

|CGλ 已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）43.P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法正确的是 SO的侧面积为△SPQ面积的最大值为3三棱锥O3SO填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 29，且λ0，则λ 设复数z1,z2满足z12，z21，z1z212i，则z1z2 n道.以频率估计概率，任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为 解答题：本题共5小题，共77水量（单位：吨，将数据按照[00.5，[0.5,1，…，[44.59组，制成了如图所示的频a60%1户居民月均用水量大于60%分位数的概率；4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于60%分位数，丙和丁月于60%分位数的概率.16.（15分）2ABCD中，M，NBC，CD的中点ACBNPMP的长17.（15分）在△ABCA，B，Ca，b，c，已知acosB且a2bA若c ，求△ABC的面积

3bsinAc18.（17分）4名棋手进行围棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为i(i12345ii丁相互之间胜负的可能性相同求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率AA1BC1D3A1BC1D的体积解析：因为z(2i)5，所以z

2iz2i (2i)(2解析：甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②132场输；③123场获胜.故甲班最终获胜的概率为3 3 3 33 5

5155155

ABCD的法向量为nxyz

2x2y即2x4y2z

x1 AD n(1,1,3)，四棱锥SABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为|ASn| 2211.

|n M13N1357M，Nx，y1,11315),(17),(3,1),(3,3),(3,5),(3,78个样本点.Alog3xy

DE

EC，FBCDE

DC

AB，BF

BC

AD.AE，AFE，G，F 32λ3

，

4解得

m

m

m

11 值为11解析：Alααα，无法确定lα.B：aαal可在面内，无法确定lα.Clα成立.Da，b相交的条件，若a//b，lαα内，不能推出lα.解析：在△ABC

acosBbcosAa

a2c2

b

b2c2

c，而S1absinC4SacosBbcosA，得2absinCc，又a1Cπ，则c

2b2sinBsinCsinπ，解得sinB1，由bcBCBπ 正方体的各面都为正方形，所以CC1BCCC1CDBCCDCBCCDABC，所以CC1ABC，B正确AD1A1C1B.AD1ACAACD1//A1C1B，C正确.C作CHAD1ADD1ACD1，则由CHAD1ADD1ACD1AD1，CHACD1可得CHADD1，这与CDADD1矛盾，所以假设不成立，D错误.x11x2x3x4x52x69x2x3x4x52x，x，…，x的平均数为3，标准差 66，故A，C不正确；根据中位数的定义 x1x2，…x6x2x3x4x5x1x2，…x6D正确.解析：由GAGBGC0，得GAAGGBAGGC)2AGABAC3AGAG

AC，ABCMGM，由GAGBGC0，得 GA(GBGC2GMAGMGMG为 AB AC 的重心，B正确；由–––1 AB AC

D，G，E 111，故113，C正确；因为AC ，BC2，AB1，即AC2AB2BC23λ λABAC.AA(00B(10)G(C(0,3)， G(

3)

|CG

（CGAB(10)2(10)23NABAN1AB1，在Rt△ACN中，CN

13GAC2AC2AN心，所以CG2CN 13）D正确 解析：A3，则底面圆周长为2π36π416π412πA42B选项，由母线长为4，底面半径为3，可得圆锥的高SO 42 4242 条直径，如图①，则在SBC中，cosBSC 0，则BSC是钝角，

1SPSQsinPSQ144sinPSQ8sinPSQP，Q，当PSQ C

1SOOP17337，由圆锥的几何特征知三棱锥QSOP 锥底面上，当OQOPOQ为三棱锥QSOP

1

OQ137337C

D选项，设内切球球心为O1，则O1SOr，过O1作O1ESC，如图②OEOOrOSCESOSOCSEO，则△SOC∽△SEOOCSC

73 ，解得r37，内切球表面积为4πr24π936π，D正确.7

z1z2在复平面内对应的向量分别为a,b，则|a|2|b|1，且ab12)考虑到(ab)2(ab)22|a|22|b|2，故5(ab)210，故|ab ，所以zz 13PA123P(B82P(CnPA2P(B3 P(C)1

.ABABABAB互斥.A，BABABABPABAB)PABPAB)PA)P(BPA)P(B)332213.D DABCP(D)1P(D)1PABC)1PA)P(B)P(C)1231n22，解得n10 5 （1）0.50.080.16a0.400.52a0.120.080.04)1，解得a0.3数据落在区间[02)的频率为(0.080.160.30.4)0.50.47数据落在区间[02.5的频率为0.470.520.50.73，则用水量吨数的60%分位数m[22.5)，由(m2)0.520.60.47，解得m2.25故估计该地区月均用水量的60%2.25吨B1户居民月均用水量大于60%BA1A2A1A2，1户居民月均用水量大于60%（（（（（丙，丁）}6M21户月均用水量大于60%则M（甲，丙（甲，丁（乙，丙（乙，丁）4PA42 21户月均用水量大于60%2（1）

（2）P(x,yB，P，NBPBN，mBPmBN，则(x2ym(12)x2my2mP(2m2mA，P，CAC(22)AP(2m2m所以2(2m22m0，解得m24 2则P(,)，所以MP3(2(2)2

,)3所以|MP MP的长为5（1）所以由正弦定理得sinAcosB3sinBsinAsinC又CπAB故sinCsin(ABsinAcosBcosAsinB所以sinAcosB3sinBsinAsinAcosBcosAsinB

3sinBsinAcosAsinBB(0π，所以sinB0两边同除以sinB

3sinAcosA，即tanA 3A(0πAπ（2）由a2b及正弦定理知sinA2sinB由（1）Aπ，所以sinB1 因为abABBcosB因为CπAB5πB

151sin1sin2所以sinCsin5πBsin5πcosBcos5πsinB1

15

31

153

3)

sin

，得bcsinBsin

15

42则a2b4故 1absinC142

153

153​

△

（1）P313 136胜；1456胜；13563P24

324

181

13145胜；14513胜P3311133127 36场相遇，两人参加比赛的结果有两种：13235胜；13523胜4536P111311111131115 2 2 2 2 275537 ​（1）因为AB4，AB2，所以OA1AC ，OA1AC 1 1 21