36　第五章　第36课时　平面向量基本定理及坐标表示

第36课时平面向量基本定理及坐标表示第五章平面向量、复数[考试要求]1．掌握平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．

以题引理·激活思维√

2．(人教B版必修第二册P170例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为(

)A．(1，4) B．(1，5)C．(2，4) D．(2，5)√

√√AD

[对于A，∵e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)，∴1×1－2×(－2)≠0，∴两向量不共线，∴两向量可作为基底，A正确；对于B，∵e1＝(0，0)，e2＝(2，3)，易知两向量共线，∴两向量不能作为基底，B错误；

(3，1)或(1，－1)1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．提醒：若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．不共线有且只有不共线

(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)

3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔______________．x1y2－x2y1＝0

1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．3．同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．

精研考点·提升素养

名师点评：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．

√

√

名师点评：平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．(3)在特殊的平面图形中恰当建立平面直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，能使问题的求解更加简便．

√

6

√

√

考点三

向量共线的坐标表示考向1

利用向量共线求参数[典例3]

(1)(2026·湖北重点中学模拟)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，x)，若b∥(2a＋b)，则x＝(

)A．8 B．4C．2 D．－8√

√√√

考向2

利用向量共线求坐标[典例4]已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____________．

(3，3)

名师点评：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．

√(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝_____________．(3)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_____________．

(2，4)

题号135246879101112131415课后作业(三十六)平面向量基本定理及坐标表示√16题号2134568791011121314152．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(

)A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－5，－10) D．(－4，－8)√D

[因为a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选D．]16

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

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√√

题号213456879101112131415√16

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题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415167．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，若m∥n，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，则△ABC的形状是(

)A．等腰直角三角形

B．等边三角形C．钝角三角形

D．直角非等腰三角形题号213456879101112131415√16

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题号213456879101112131415√16√

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－1

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题号21345687910