24　第三章　第24课时　双变量不等式的证明

*第24课时双变量不等式的证明第三章一元函数的导数及其应用

名师点评：当x1，x2是函数f(x)的两个不等的极值点时，x1，x2是方程f'(x)＝0的两个不等实根，用其中一个变量表示另一个变量．

[解]

(1)因为f'(x)＝ln

x＋1，所以f'(1)＝1，因为f(1)＝t，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－t＝x－1，即y＝x＋t－1．因为切线经过原点，所以0＝0＋t－1，所以t＝1．

【拓展融合】

极值点偏移问题

2．证明极值点偏移问题的常见方法(1)证明x1＋x2<2a(或x1＋x2>2a)：①构造函数g(x)＝f(x)－f(2a－x)，求导，确定函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的单调性；②确定x1，x2满足x1<a<x2，且f(x1)＝f(x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f(x1)－f(2a－x1)＝f(x2)－f(2a－x1)与零的大小关系；③由函数y＝f(x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题．

[巩固迁移]3．已知函数f(x)＝xe-x．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2．

(2)证明：法一(对称化构造)：当x→＋∞时，f(x)→0，f(0)＝0，当x→－∞，f(x)→－∞．由(1)知，不妨设0<x1<1<x2，要证x1＋x2>2，只要证x2>2－x1>1．由于f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故只要证f(x2)<f(2－x1)，由于f(x1)＝f(x2)，故只要证f(x1)<f(2－x1)．

课后作业(二十四)双变量不等式的证明

2．已知函数f(x)＝x(ex－ax2)，a∈R．若关于x的方程f(x)＝0恰有2个不同的正实数根x1，x2，求证：x1＋x2>4．

当x∈(0，2a)时，F'(x)<0，F'(2a)＝0，即F(x)在(0，2a]上单调递减．∵0<x1<2a，∴F(x1)>F(2a)＝0，即f(x1)>f(4a－x1)，∵f(x1)＝f(x2)＝0，∴f(x2)>f(4a－x1)，∵x1<2a，∴4a－x1>2a，又∵x2>2a，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，∴x2>4a－x1，即x1＋x2>4a．

知识融合练导数与三角函数、数列、不等式的融合

2．(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝cosx＋xsinx，g(x)＝ex－x．(1)判断f(x)在区间(－π，π)内的单调性；(2)求g(x)的最小值；(3)证明：当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤g(x)＋x．

(2)g(x)＝ex－x，g'(x)＝ex－1，令g'(x)＝0，得x＝0，当x<0时，g'(x)<0；当x>0时，g'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1．(3)证明：当x∈[0，＋∞)时，令F(x)＝f(x)－g(x)－x＝cos

x＋xsin

x－ex，则F'(x)＝xcos

x－ex，因为cos

x≤1，所以F'(x)＝xcos

x－ex≤x－ex．由(2)知g(x)＝ex－x≥1>0，故x－ex<0，所以F'(x)＝xcos

x－ex≤x－ex<0，故F(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以F(x)≤F(0)＝0，所以f(x)≤g(x)＋x．

[解]

(1)因为f(x)＝exsin

x，所以f(0)＝e0sin

0＝0，f'(x)＝exsin

x＋excos

x，所以所求切线斜率为f'(0)＝e0sin

0＋e0cos

0＝1，所以曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即x－y＝0．

一、单项选择题1．“x0是函数f(x)的一个极值点”是“f(x)在x0处导数为0”的(

)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件题号1352468791011121314阶段评估(四)

(第18课时~第24课时)√D

[当f(x)＝x3时，f'(x)＝3x2，则f(x)在x＝0处导数为0，但0不是它的极值点；当f(x)＝|x|时，则f(x)在x＝0处的导数不存在，但0是它的极值点．因此“x0是函数f(x)的一个极值点”是“f(x)在x0处导数为0”的既不充分也不必要条件．故选D．]题号1352468791011121314题号21345687910111213142．(2026·山东青岛期末)已知函数f(x)＝ln(a＋x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，则a＝(

)A．1 B．0C．－1 D．－2√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

题号21345687910111213145．已知函数f(x)＝(ax＋1)ex，给出下列4个图象：题号2134568791011121314√①

②

③

④其中，可以作为函数f(x)的大致图象的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4

题号2134568791011121314

题号21345687910111213146．(2025·广东茂名二模)已知函数f(x)为R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，f(x)＋f'(x)>0，则不等式(x－1)f(x)<0的解集为(

)A．(－∞，－2)∪(0，1) B．(－∞，－2)∪(1，2)C．(－2，0)∪(0，1) D．(－2，0)∪(1，2)题号2134568791011121314√D

[构造g(x)＝exf(x)，则g'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]，因为当x>0时，f(x)＋f'(x)>0，则此时g'(x)>0，g(x)单调递增，则f(x)＝e-xg(x)的正负由g(x)决定，又因为f(2)＝0，则g(2)＝0，因为g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则当0<x<2时，g(x)<0，所以此时f(x)＝e-xg(x)<

0，当x>2时，g(x)>0，所以此时f(x)＝e-xg(x)>

0，又因为f(x)为R上的奇函数，则当－2<x<0时，f(x)>0，题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√AC

[由f(x)＝xex得，f'(x)＝(x＋1)ex，令f'(x)＝(x＋1)ex＝0，解得x＝－1，当x<－1时，f'(x)<0，f(x)在(－∞，－1)上单调递减；当x>－1时，f'(x)>0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当x＝－1时，f(x)取得极小值，所以A正确；f(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以B错误；题号2134568791011121314

题号2134568791011121314(－2，1)

[令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，则g'(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，令g'(x)＝0(x>0)，得x＝1，三、填空题9．(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为________．题号2134568791011121314(－2，1)当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，g(0)＝1，g(1)＝－2，因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，等价于y＝a与g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)的图象有两个交点，所以a∈(－2，1)．]题号213456879101112131410．(2026·河北秦皇岛模拟)设a≠0，若曲线f(x)＝aln(x－1)在点(2，f(2))处的切线也是曲线g(x)＝eax-2的切线，则a＝________．题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314在(1，a－1)内f'(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是极大值点，x＝a－1是极小值点．当a－1<1，即1<a<2时，在(0，a－1)和(1，＋∞)上f'(x)>0，f(x)单调递增；在(a－1，1)内f'(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝a－1是极大值点，x＝1是极小值点．综上，当a＝2时，f