60　第八章　第60课时　双曲线

第60课时双曲线第八章解析几何[考试要求]1．掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．以题引理·激活思维

√A

[由题意(2＋m)(2－m)>0，解得－2<m<2，故选A．]

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65．(湘教版选择性必修第一册P130例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________________．

1．双曲线的定义一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______．绝对值小于焦点焦距2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程图象标准方程性质焦点___________________________________________焦距__________________范围________或______，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：_________；对称中心：______F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cx≤－ax≥a坐标轴原点性质顶点_______________________________________________轴实轴：线段______，长：____；虚轴：线段________，长：____，实半轴长：__，虚半轴长：__离心率渐近线a，b，c的关系c2＝__________(c>a>0，c>b>0)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22aB1B22bab(1，＋∞)a2＋b2

y＝±x

精研考点·提升素养√

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名师点评：双曲线定义的应用(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．

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4

2

3

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【教用·备选题】1．(2025·北京朝阳区一模)已知曲线C：mx2－ny2＝1，则“n>m>0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√

即m>0且n>0，不一定得到n>m>0，所以由“C为焦点在x轴上的双曲线”推不出“n>m>0”，综上，“n>m>0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件．故选A．]

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3．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程：________________________________________．

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[1，＋∞)

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(1，2)

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名师点评：解决与直线和双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．

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【教用·备选题】1．已知双曲线E的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且E经过点P(2，3)．(1)求双曲线E的方程；(2)过点M(0，1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程．

题号1352468791011121314课后作业(六十)双曲线√

题号1352468791011121314题号2134568791011121314

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题号2134568791011121314三、填空题9．(2025·广东佛山二模)焦点为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为_____________．题号2134568791011121314

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