19　第三章　第19课时　导数与函数的单调性

第19课时导数与函数的单调性第三章一元函数的导数及其应用[考试要求]1．能结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．以题引理·激活思维1．(湘教版选择性必修第二册P32练习T1改编)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f'(x)的图象可能是(

)A

B

C

D√A

[由f(x)的图象可知，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)单调递增，则f'(x)≥0，故排除C，D；当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)先单调递减，再单调递增，最后单调递减，则导函数值f'(x)应先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B，选A．]

√A

[由题设，f'(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f'(x)<0的解集为(－3，1)，则－3，1是f'(x)＝0的解，所以－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2．]3．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT4改编)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．(0，1)

4．(苏教版选择性必修第一册P213例2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．[－3，0][－3，0]

[由题意得f'(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0．]函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导f'(x)>0f(x)在区间(a，b)内________f'(x)<0f(x)在区间(a，b)内________f'(x)＝0f(x)在区间(a，b)内是________提醒：f'(x)>0在(a，b)内恒成立是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f'(0)＝0．单调递增单调递减常数函数1．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f'(x)的零点；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．2．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则当x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则当x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立．3．若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解．

精研考点·提升素养√A

B

C

D

名师点评：六大函数的图象

√

名师点评：研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．主要讨论点：(1)最高次项系数是否为0；(2)导函数是否有零点；(3)导函数零点的大小关系；(4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等．提醒：所有求解和讨论都必须在函数的定义域内．[巩固迁移]1．已知a>0，函数f(x)＝ex－(a－1)x－lna，讨论f(x)的单调性．[解]

f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex－(a－1)．当0<a≤1时，f'(x)>0，则f(x)在R上单调递增；当a>1时，令f'(x)>0，解得x>ln(a－1)，令f'(x)<0，解得x<ln(a－1)，所以f(x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减．综上所述，当0<a≤1时，f(x)在R上单调递增；当a>1时，f(x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减．2．(2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．

①若ln

a≤0，即0<a≤1，当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②若0<ln

a<1，即1<a<e，当x∈(0，ln

a)时，f'(x)>0，当x∈(ln

a，1)时，f'(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(ln

a，1)内单调递减，在(0，ln

a)和(1，＋∞)上单调递增．③若ln

a＝1，即a＝e，可得f'(x)≥0且等号不恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．④若ln

a>1，即a>e，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，当x∈(1，ln

a)时，f'(x)<0，当x∈(ln

a，＋∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(1，ln

a)内单调递减，在(0，1)和(ln

a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤1时，f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当1<a<e时，f(x)在(ln

a，1)内单调递减，在(0，ln

a)和(1，＋∞)上单调递增；当a＝e时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>e时，f(x)在(1，ln

a)内单调递减，在(0，1)和(ln

a，＋∞)上单调递增．

√√(－3，－1)

(2)由f(－x)＝－x－sin(－x)＝－f(x)，得f(x)＝x－sin

x为奇函数，所以f(x2＋4x)<－f(3)＝f(－3)，又f'(x)＝1－cos

x≥0，故函数f(x)＝x－sin

x在R上单调递增，故x2＋4x<－3，故原不等式的解集为(－3，－1)．]【教用·备选题】1．已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(

)A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c√

√√

(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，则g'(x)>0在[1，2]上有解，即a>－2x2－x在[1，2]上有解，∴a>(－2x2－x)min，又(－2x2－x)min＝－10，∴a>－10．∴实数a的取值范围为(－10，＋∞)．【拓展变式】

(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．

名师点评：已知函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)内单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．

√

4．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)≤1恒成立，且f(0)＝0，则f(x)≤x的解集为____________．[0，＋∞)

[设g(x)＝f(x)－x，因为f'(x)≤1，所以g'(x)＝f'(x)－1≤0，所以g(x)在R上单调递减，又g(0)＝f(0)－0＝0，所以g(x)≤0的解集为[0，＋∞)，即f(x)≤x的解集为[0，＋∞)．][0，＋∞)

√

2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)内单调递增，则a的最小值为(

)A．e2 B．eC．e-1 D．e-2√

3．已知函数f(x)＝2x－msinx在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是_______________________．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[因为f(x)＝2x－msin

x，所以f'(x)＝2－mcos

x，又f(x)不是单调函数，所以函数f(x)有极值点，即f'(x)在R上有变号零点，则2－mcos

x＝0成立，当cos

x＝0时，2－mcos

x＝0可化为2＝0，显然不成立；(－∞，－2)∪(2，＋∞)

一、单项选择题1．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是(

)A．(－3，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－3，0)∪(0，＋∞)题号13524687910111213课后作业(十九)导数与函数的单调性√

题号13524687910111213题号21345687910111213

√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√题号21345687910111213

5．(2026·湖南长沙模拟)如图是函数f(x)及其导函数f'(x)在同一坐标系中的图象，则图象正确的为(

)题号21345687910111213A

B

C

D√C

[对于A，若递减的曲线为函数f(x)的图象，则其导函数f'(x)的图象应恒为负值，且从左往右应呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意；若递减的曲线为导函数f'(x)的图象，则函数f(x)的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误；对于B，若先增后减的曲线为函数f(x)的图象，则其导函数f'(x)的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意；若先增后减的曲线为导函数f'(x)的图象，则函数f(x)的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误；题号21345687910111213对于C，当过原点的曲线为导函数f'(x)的图象时，另一条曲线符合f(x)的图象，即C正确；对于D，若先减后增的曲线为导函数f'(x)的图象，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然f(x)的图象不符合；若先减后增的图象为原函数f(x)的图象，则另一条曲线应呈现先为负后为正的变化规律，显然f'(x)的图象不符合，即D错误．故选C．]题号213456879101112136．设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f'(x)<g'(x)，则当x∈(a，b)时(

)A．f(x)<g(x)B．f(x)>g(x)C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)题号21345687910111213√C

[对于A，B，不妨设f(x)＝－2x，g(x)＝1，则f'(x)＝－2，g'(x)＝0，满足f'(x)<g'(x)，若x＝－1∈(a，b)，则f(－1)＝2>1＝g(－1)，故A不正确；若x＝0∈(a，b)，则f(0)＝0<1＝g(0)，故B不正确；对于C，D，令h(x)＝f(x)－g(x)，则h'(x)＝f'(x)－g'(x)<0，所以h(x)在R上单调递减．因为x∈(a，b)，即a<x<b，所以h(b)<h(x)<h(a)．由h(x)<h(a)得f(x)－g(x)<f(a)－g(a)，则f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)，故C正确；由h(b)<h(x)得f(b)－g(b)<f(x)－g(x)，则f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)，故D不正确．故选C．]题号21345687910111213二、多项选择题7．下列函数在定义域上为增函数的是(

)A．f(x)＝xlnx B．f(x)＝lnx＋xC．f(x)＝x－cosx D．f(x)＝x2ex题号21345687910111213√√

题号21345687910111213

题号21345687910111213对于D，f(x)＝x2ex的定义域为R，f'(x)＝x2ex＋2xex＝(x＋2)xex，令f'(x)＝0得x＝－2或x＝0，所以在(－∞，－2)上f'(x)>0，f(x)单调递增，在(－2，0)内f'(x)<0，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上f'(x)>0，f(x)单调递增，故D错误．故选BC．]题号21345687910111213

题号21345687910111213√√

题号21345687910111213

题号21345687910111213三、填空题9．写出一个同时具备下列性质的函数f(x)＝__________________．①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f'(x)<0．题号21345687910111213e-x(答案不唯一)

[因为f(x＋1)＝f(x)f(1)是加变乘，所以考虑指数函数类型，又f'(x)<0，所以f(x)＝e-x

满足要求．]e-x(答案不唯一)10．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为_______________________．题号21345687910111213

四、解答题11．(2026·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝x＋asinx＋a＋1，曲线y＝f(x)在点(π，b)处的切线斜率为2．(1)求a，b的值；(2)求不等式f(x2－1)＋f(7－5x)<0的解集．题号21345687910111213[解]

(1)f(x)＝x＋asin

x＋a＋1，所以f'(x)＝1＋acos

x，由题意可得f'(π)＝1－a＝2