12　第二章　第11课时　函数的对称性及应用

第二章

函数第11课时函数的对称性及应用[考试要求]

1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．理法先行·题练固本知识点1奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于_____对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点__________．原点y轴x＝a(a，0)

(a，0)知识点3两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于_____对称；(2)函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于_____对称；(3)函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于______对称．(4)函数y＝f(a－x)的图象与y＝f(x－b)的图象关于直线_________对称．y轴x轴原点

【教用·常用结论】对称性与周期性之间的三个常用结论(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|；(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和(b，0)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|；(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|．1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于(

)A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称√C

[因为f(x)＝x3＋x为奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称．故选C．]

(1，0)

√

考点深研·题型突破考点一函数的对称性考向1

自对称中的轴对称[典例1]

(多选)已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列结论成立的是(

)A．f(x＋1)为偶函数B．f(1＋x)＝f(1－x)C．f(1＋x)＋f(1－x)＝0D．f(1)＝0√√AB

[由于y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x＋1)为偶函数，故A，B选项正确，C选项错误；如f(x)＝(x－1)2＋1，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，但f(1)＝1≠0，故D选项错误．故选AB．]

√√√

考向3

两个函数图象的对称[典例3]函数y＝2x-1与y＝21-x的图象(

)A．关于y轴对称B．关于直线x＝1对称C．关于直线x＝－1对称D．关于直线x＝2对称√B

[设y＝f(x)＝2x-1，y＝g(x)＝21-x，显然g(x)＝2(2-x)-1＝f(2－x)，故y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．故选B．]

考点二奇偶性与对称性[典例4]

(多选)(2025·南京江宁区期末)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)为奇函数，则(

)A．f(－x－1)＝－f(x＋1)B．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称C．函数f(x)的周期为2D．f(2025)＝0√√BD

[因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0，因为A选项中，f

(－x－1)＝－f(x＋1)⇔f(－x)＝－f(x)，而f(－x)＝f(x)，所以A选项错误；所以f(－x)＋f(x＋2)＝0，f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(1)＝0，所以B选项正确；所以f(x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x＋4)＝f

(x)，所以f(x)的周期为4，所以C选项错误；所以f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0，所以D选项正确．故选BD．]通性通法：解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可以利用图象变换关系得出函数图象的对称性．【教用·备选题】(多选)(2025·长沙雨花区月考)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是(

)A．f(x＋2)＝f(x)B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称C．函数y＝f(x＋1)是偶函数D．f(2－x)＝f(x－1)√√BC

[对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错误；对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，B正确；对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数y＝f(x＋1)是偶函数，C正确；对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错误．故选BC．]考点三对称性、周期性与单调性[典例5]

(多选)(2025·杭州调考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2，0)对称，则

(

)A．f(0)＝f(－2)B．f(x)的周期T＝2C．f(x)在(2，3)上单调递减D．f(x)满足f(2025)>f(2026)>f(2027)√√AC

[由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1，所以f(0)＝f(2)，又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x)．因为函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误．因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确．根据f(x)的周期为4，可得f(2025)＝f(1)，f(2026)＝f(2)，f(2027)＝f(3)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，即f(2025)＝f(1)，f(2026)＝f(0)，f(2027)＝f(－1)，由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2025)>f(2026)>f(2027)不成立，故D错误．故选AC．]通性通法：解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．

√

2．(链接考点二)(多选)(2026·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(

)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2，0)对称C．f(x)的周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数√√√ACD

[因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(－x)＝f(x＋4)，又f

(－x)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以T＝4，故C正确；因为T＝4且f(x)为偶函数，所以y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD．]

√

4．(链接考点二)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________．5

[∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，∴f(－1)＝5．]5

题号135246879一、单项选择题1．(2025·九江月考)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(

)A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x)C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x)√课时作业(十一)函数的对称性及应用题号135246879D

[设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x)．]√题号135246879

题号135246879

题号1352468793．(苏教版必修第一册P127习题5.4T9改编)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则实数b＝(

)A．－3 B．－1C．1 D．3√题号135246879

√题号1352468794．(2026·邯郸模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，f(4＋x)＝－f(4－x)，则下列说法错误的是(

)A．f(x)的图象关于点(4，0)对称B．f(x)的周期为8C．f(2025)＝f(1)D．当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－2x，则f(7)的值为－1题号135246879D

[因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，又f(4＋x)＝－f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)的图象关于点(4，0)对称，且f(4)＝0，所以A选项正确；所以f(－x)＝f(x＋4)，f(－x)＝－f(x＋8)，所以f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)的周期为8，所以B选项正确；题号135246879所以f(2025)＝f(8×253＋1)＝f(1)，所以C选项正确；因为当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－2x，所以f(7)＝f(－1)＝－f(9)＝－f(1)＝－(1－2)＝1，所以D选项错误．故选D．]√题号135246879

√题号135246879

题号135246879

题号135246879

√√√题号135246879ABD

[∵函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，∴f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋