85　第十章　第78课时　二项分布、超几何分布与正态分布

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第78课时二项分布、超几何分布与正态分布[考试要求]

1．理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．理法先行·题练固本知识点1

n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含________结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_____________．两个可能n重伯努利试验(2)二项分布在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_________________，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从________，记作X～_________．(3)二项分布的均值、方差若X~B(n，p)，则E(X)＝__，D(X)＝__________．

二项分布B(n，p)npnp(1－p)

正态密度曲线x＝μx＝μ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．④曲线与x轴围成的面积总为__．⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示．σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，曲线越“胖”；σ越小，曲线越“瘦”，如图2所示．1

X~N(μ，σ2)

(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_________；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．(5)正态分布的均值与方差若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝_，D(X)＝__．0.682

70.954

50.997

3μσ2[常用结论]1．两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布．2．若X～N(μ，σ2)，则P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．

√

2．(人教A版选择性必修第三册P74例1节选)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则恰好出现5次正面朝上的概率是______________．

3．(人教A版选择性必修第三册P80练习T2)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率是______________．

√5．(人教A版选择性必修第三册P87练习T1)设随机变量X~N(0，1)，则X的密度函数为______________，P(X≤0)＝______________，P(|X|≤1)＝______________，P(X>1)＝______________．(精确到0.0001)

0.50.68270.1587

6．(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T3)若X~N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是______________．

0.34135考点深研·题型突破

(1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

则X的分布列为X0123P

通性通法：二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．

√

√√√

考点二

超几何分布[典例2]

乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿点甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品质型民宿6164101110912(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和均值．

所以X的分布列为X0123P

通性通法：1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．[多维变迁]幸福农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13)件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．(1)若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；(2)记f(n)＝P(X＝3)，则当n为何值时，f(n)取得最大值？

考点三

正态分布考向1

正态分布的性质[典例3]

某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(

)A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等√D

[对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D．]

√√

考向3

正态分布的应用[典例5]

某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径(单位：cm)的数据如下：8787889295979899103104设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．(1)求μ与σ．(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求D(2X＋1)(精确到0.01)；②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为76，85，93，99，108，以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，请说明理由．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．

②因为Z～N(95，62)，所以P(77≤Z≤113)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997

3．所以5个零件的内径中恰有一个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内发生的概率小于0.3%，为小概率事件．因为76∉[77，113]，所以根据3σ原则，需要进一步调试．通性通法：解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ．(2)标准差为σ．(3)分布区间．由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0．微点突破17二项分布与超几何分布的区别与联系类型超几何分布二项分布区别描述的是不放回抽样问题(总体在变化)，一次性取描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，一个一个的取考察对象分为两类每一次试验是伯努利试验已知各类对象的个数联系(当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布[典例6]

(2025·莱阳市月考)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的20件产品中任取3件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的数学期望和方差．

故X的分布列为X

01

23P(3)由质量超过505克的产品的频率为0.3，故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为0.3，从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验，即Y~B(5，0.3)，则E(Y)＝5×0.3＝1.5，D(Y)＝5×0.3×(1－0.3)＝1.05．通性通法：抓住超几何分布与二项分布的各自特征，明确两者间的区别与联系是破解此类问题的关键所在．

(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

X123P

Y0123P1．(链接考向2)(2026·西安模拟)已知随机变量X~N(90，102)，则P(X≥80)＝(

)参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．A．0.97723 B．0.84135C．0.77865 D．0.34151√

√

√

4．(链接考向1)(多选)若X~N(μ，σ2)，则下列说法正确的是(

)A．P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)B．P(μ－2σ<X<μ＋σ)<P(μ－σ<X<μ＋2σ)C．P(X<μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化D．P(μ－2σ<X<μ＋σ)随μ，σ的变化而变化√√AC

[由题意知P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)，故A正确；P(μ－2σ<X<μ＋σ)＝P(μ－σ<X<μ＋2σ)，故B错误；P(X<μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确；P(μ－2σ<X<μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误．故选AC．]5．(链接考向3)(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T4)袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为______________．

95.45%

[设误差为X，则X~N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954

5，故合格率约为95.45%．]95.45%

题/p>

√课时作业(七十八)二项分布、超几何分布与正态分布题/p>

√题号135246879102．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977C

[∵μ＝0，∴P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]题/p>

√

√题/p>

题/p>

√题/p>

√题/p>

题

√题/p>

题、填空题7．(2025·上海市金山区二模)投篮测试中，每人投