78　第九章　第71课时　一元线性回归模型及其应用

第九章统计与成对数据的统计分析第71课时一元线性回归模型及其应用[考试要求]

1．了解样本相关系数的统计含义．2．了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．理法先行·题练固本知识点1

变量的相关关系(1)按变量间的增减性分为__相关和__相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现____的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现____的趋势．正负增加减小(2)按变量间是否有线性特征分为____相关和______相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在________附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是____相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．线性非线性一条直线

线性

(3)样本相关系数r的性质①样本相关系数r的取值范围为__________；②当r>0时，成对样本数据__相关；③当r<0时，成对样本数据__相关；④样本相关系数与相关程度当|r|越接近_时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近_时，成对样本数据的线性相关程度越弱．[－1，1]正负10

因变量自变量abbx＋a0

知识点4

刻画回归效果的方式(1)残差图法在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越__，说明模型拟合精度越高．(2)残差平方和法残差平方和为______________，残差平方和越__，模型拟合效果越好．

小窄

1．(人教B版选择性必修第二册P121习题4－3AT3)变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关．则(

)A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关√A

[因为－0.1<0，所以x与y负相关，又因为变量y与z正相关，所以x与z负相关．故选A．]2．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(

)√D

[观察题干散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．故选D．]

√

168

√

6．(苏教版选择性必修第二册P169习题9.1T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：x/℃－2－1012y/百元54221

√

考点深研·题型突破

A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmB．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.8642C．花瓣长度和花萼长度负相关D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系√(2)(2025·淮安月考)某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x(单位：元)与销量y(单位：百件)的对应数据，如表所示：x1212.51313.514y14131198

对于C，因为计算得样本相关系数r＝0.864

2>0，所以花瓣长度和花萼长度正相关，故C错误；对于D，因为计算得样本相关系数r＝0.864

2，不是1或－1，所以花瓣长度和花萼长度不存在一次函数关系，故D错误．故选A．]

√

2．一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为

______________．

－1

【教用·备选题】(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

考点二

回归模型考向1

一元线性回归模型[典例2]

随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下：广告支出x/万元24568销售额y/万元2030506070

x1234y1346若变量x的值为5，则变量y的估计值为(

)A．6.5 B．7C．7.5 D．8√

【教用·备选题】(2025·青铜峡市期末)某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据资料如下表．(1)求样本相关系数r(结果保留两位小数)，并判断它们是否具有较强的线性相关性；耕种深度x/cm81012141618每公顷产量y/t67891113

考向2

非线性回归模型[典例3]

(2025·上海宝山区月考)经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi(i＝1，2，…，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．36054.5136044384

3588326430

【教用·备选题】某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据并绘制成散点图．光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，记w＝lnx．参考数据：290102.4524870540.281371578.2272.1

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dlnx哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；(3)根据实际种植情况，发现上述经验回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求经验回归方程估计当光照时长为e2小时时(e为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量．

√(2)(2026·济南模拟)下表是2020－2024年中国出生人口数y(单位：十万人)的数据：年份20202021202220232024年份代码x12345出生人口数y/十万人120106969095

易错提醒：模型拟合效果的好坏可由残差平方和、残差图、决定系数R2等进行判断．

x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2

2．某科技公司对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y(单位：

亿元)的统计图如图1所示，其中年份代码x＝1，2，…，10分别指2016年、2017年、……、2025年．

752.2582.54.512028.67

1．(链接考点一)(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是(

)A．沿海地区气温高，海水表层温度就高B．沿海地区气温高，海水表层温度就低C．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势√C

[因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势．故选C．]2．(链接考向1)(2026·重庆模拟)已知变量x和y的统计数据如表．x8090100110120y120140a165180

√

√x2023252730z22.4334.6

－5

题号135246879一、单项选择题1．在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图．下列结论正确的是(

)课时作业(七十一)一元线性回归模型及其应用题号135246879A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%√B

[观察题干图，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%．]√题号1352468792．(2025·银川一模)有一散点图如图所示，在5个(x，y)数据中去掉D(3，10)后，下列说法错误的是(

)A．残差平方和变小B．样本相关系数r变大C．决定系数R2变大D．解释变量x与响应变量y的相关性变弱题号135246879D

[由散点图可知，若去掉D点，则x与y的线性相关性变强，且是正相关，所以样本相关系数r变大，决定系数R2变大，残差平方和变小．故选D．]题号135246879

√x/℃1520253035y/百元12245题号135246879

题号1352468794．(2025·长沙期末)设两个相关变量x和y分别满足下表：x12345y128816

√题号135246879

题号135246879

√题号135246879二、多项选择题5．

(2025·沧州期中)关于样本相关系数r，下列说法正确的是(

)A．r∈[－1，1]B．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C．当r＝0时，成对样本数据之间没有任何相关关系D．当r>0时，成对样本数据正相关√√题号135246879ABD

[对于选项A，由样本相关系数的性质，可得r∈[－1，1]，故A正确；对于选项B，由样本相关系数的性质，可得当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故B正确；对于选项C，当r＝0时，成对样本数据之间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系，故C错误；对于选项D，由样本相关系数的性质，可得当r>0时，成对样本数据正相关，故D正确．故选ABD．]题号1352468796．(2026·广元模拟)某直播带货公司统计了今年1月份至5月份的某种产品的月销量y(单位：千件)如表所示：月份x12345月销量y2.43.1455.5

题号135246879

√√√题号135246879

题号135246879

题号135246879

题号135246879三、填空题7．(苏教版选择性必