49　第六章　第46课时　等比数列及其前n项和

第六章数列第46课时等比数列及其前n项和[考试要求]

1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．理法先行·题练固本知识点1

等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q(q≠0)表示．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝__．同一个公比等比Gab2

a1qn-1

[常用结论]1．等比数列的单调性当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列；当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．

√

3．(人教A版选择性必修第二册P37练习T3节选)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝____________________．

3·2n－1或2·3n-1

4．(湘教版选择性必修第一册P35习题1.3T7)在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为______________．

考点深研·题型突破

√2

[证明]

当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．

通性通法：等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．

√

√√√

√√√

考点三

等比数列的性质及应用[典例3]

(1)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(

)A．120

B．85C．－85

D．－120(2)已知{an}为正项等比数列．(i)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(ii)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．√

通性通法：(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[多维变迁]1．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8＝(

)A．40

B．36C．54

D．81√

2．已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝______________．

2

[由题意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)，又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n-1)，所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n-1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)．又q>0，an>0，所以q＋1＝3，即q＝2．]21．(链接考点一)(湘教版选择性必修第一册P26例1改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(

)A．5

B．±5

C．4

D．±4√C

[由a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝8，得q2＝2(舍负)．又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4．故选C．]2．(链接考点二)(多选)(2025·成都期中)下列数列为等比数列的是(

)A．{2n}

B．{n2}C．{3-n}

D．{2·2n}√√

3．(链接考点三)(2025·抚顺期中)已知等比数列{an}，且a3＋a5＝12，a2·a6＝32，a3<a5，则a5＝(

)A．8

B．6C．4

D．2A

[由等比数列{an}，且a3＋a5＝12①，a2·a6＝32，a3<a5②，可得，a2·a6＝a3·a5＝32③，联立①②③，解得a3＝4，a5＝8．故选A．]√

题/p>

√课时作业(四十六)等比数列及其前n项和题/p>

√题号135246879102．(2025·广州月考)1和2

025的等比中项为(

)A．50

B．45C．±45

D．±35C

[根据题意，设1和2

025的等比中项为x，则有x2＝1×2

025，解得x＝±45．即1和2

025的等比中项为±45．故选C．]题/p>

√题/p>

√题/p>

题/p>

√题/p>

题/p>

题/p>

√√√题/p>

√题/p>

√题/p>

题、填空题8．(2026·南昌模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝______________．

2题/p>

题号135246879109．(2026·临沧模拟)已知等比数列{a