九年级数学：二次函数教学设计课件

九年级数学：二次函数教学设计概念·图像·性质·应用适用对象：九年级全年级学生课程导览01概念初识从实际问题抽象出二次函数定义02图像探究绘制图像，发现形状与关键要素03性质归纳系统梳理开口、对称轴、顶点与增减性04解析式求法掌握三种表达形式与待定系数法05综合应用实际问题建模与中考真题演练第一章概念初识从生活走向数学实际问题中，变量间的平方关系无处不在。01生活情境引出二次函数这些问题的共同特征：两个变量之间的关系都可以用一个自变量的二次式来表示。从生活情境中抽象出共同模型——面积与体积的变化，都能用自变量的二次式来刻画。圆的面积与半径S=πr²设半径为rr²面积随半径的平方变化半径r变化时，面积按r²的规律增长。正方体表面积与棱长6x²棱长为x时x²表面积随棱长平方变化表面积与棱长的平方成正比。矩形面积问题x(x+2)宽为x、长比宽多2二次式面积表达为二次式面积随宽的变化不再是一次函数。二次函数的定义y=ax²+bx+c其中a、b、c是常数，且

a≠001自变量与系数x

是自变量，a

是二次项系数，b

是一次项系数，c

是常数项02最简形式当

b=0、c=0

时，得到最简形式

y=ax²01必要条件a≠0

是定义成立的必要条件，否则退化为一次函数或常数02次数与整式要求自变量的最高次数必须是

2，且各项均为整式识别二次函数的要点先化简整理，再看最高次数和二次项系数，两步缺一不可。核两个关键条件最高次数判断是否为2，例如

y=3x²+1

是二次函数。二次项系数判断是否不为零，例如

y=2x²-x

的二次项系数为2，符合要求。辨两类反例辨析需先化简y=x²+1

需先化简再判断，避免被表面形式迷惑。未注明a≠0形如

y=ax²

但未注明a≠0时，不能直接确认是二次函数。与一次函数的对比对比项一次函数二次函数一般形式y=kx+b(k≠0)y=ax²+bx+c(a≠0)自变量最高次数12图像形状直线抛物线关键系数斜率k二次项系数a二次函数是一次函数的自然延伸：一次函数解决均匀变化问题，二次函数解决加速变化问题；学习二次函数可类比一次函数的研究路径——定义、图像、性质、应用。第二章图像探究一图胜千言亲手画出抛物线，感受开口与顶点的魅力。02描点法绘制抛物线以最简形式

y=x²

为例，描点法分三步：1列表在x=0两侧对称取点x=-2x=-1x=0x=1x=22描点计算对应y值，在直角坐标系中标出各点3连线用平滑曲线从左到右连接各点，得到抛物线取点时要左右对称，连线要平滑，因为函数值随自变量的变化是连续的。抛物线的基本形状y=x²的图像是一条开口向上的抛物线，其形状由两个核心要素决定抛物线的核心要素4项顶点抛物线的最高点或最低点，y=x²的顶点在原点对称轴抛物线关于一条垂直于x轴的直线对称，y=x²的对称轴是y轴开口方向y=x²开口向上，顶点处函数值最小对称延伸图像从顶点出发，向两侧对称延伸，越远离对称轴上升越快系数a对开口的影响在y=ax²中，系数a控制抛物线的开口a的符号定方向，绝对值定宽窄。“先看符号定方向，再看绝对值定宽窄。”—小结a>0开口向上顶点为最低点绝对值越大，开口越窄，图像越陡峭a<0开口向下顶点为最高点绝对值越小，开口越宽，图像越平缓VS平移变换的规律左右平移h为正图像向右平移

h

个单位h为负图像向左平移

h

个单位水平移动上下平移k为正图像向上平移

k

个单位k为负图像向下平移

k

个单位垂直移动◎顶点坐标平移后顶点从原点移动到点

(h,k)性质不变平移不改变开口方向和开口大小顶点(h,k)确定对称轴与顶点由系数直接定位顶点，是画图和解题的快捷通道。由一般式求对称轴与顶点坐标4项对称轴

x=-b/(2a)由系数直接得出，无需代入计算。顶点坐标将对称轴对应的

x值代入解析式求得y值。配方化顶点式将一般式配方化为顶点式，直接读出顶点。顶点纵坐标反映函数的最大值或最小值。公式法配方法第三章性质归纳数形结合是关键图像特征与代数性质一一对应，融会贯通。03开口方向的代数判定a>0开口向上有最低点，函数有最小值开口向上a<0开口向下有最高点，函数有最大值开口向下系数决定开口方向不随

b、c

的变化而改变开口大小由

a

的绝对值决定，与

b、c

无关只看a对称轴与增减性对称轴既是图像的对称线，也是函数增减性的分水岭。开口向上a>0对称轴左侧：y随x增大而减小对称轴右侧：y随x增大而增大开口向下a<0对称轴左侧：y随x增大而增大对称轴右侧：y随x增大而减小在对称轴处函数值达到最大或最小增减性的分析都要以对称轴为参照函数最值的求法开口向上→最小值顶点：图像最低点，对应函数最小值求顶点：公式法、配方法化为顶点式直接读数自变量有取值范围：需结合对称轴是否在范围内讨论→开口向下→最大值顶点：图像最高点，对应函数最大值求顶点：公式法、配方法化为顶点式直接读数自变量有取值范围：需结合对称轴是否在范围内讨论记住顶点，就锁定了最值的钥匙。性质总结一览表性质a>0a<0开口方向向上向下对称轴x=-b/(2a)x=-b/(2a)顶点位置最低点最高点最值最小值最大值同侧增减先减后增先增后减对称轴公式对一切

a≠0

均适用顶点坐标配合开口方向即可画出草图二次函数解析式求法三种形式灵活选一般式、顶点式、交点式，因题制宜。04一般式与系数含义已知任意三个不共线点，即可用一般式求解一般式信息全面，适合已知三点坐标的题型一般式y=ax²+bx+ca—决定开口方向与开口大小3项二次项系数决定开口方向决定开口大小b—与a共同决定对称轴位置3项一次项系数与a共同决定对称轴位置c—y轴截距3项常数项图像与y轴交点截距顶点式直读关键信息顶点式是处理最值与图像平移问题的最优选择。01顶点坐标顶点坐标为(h,k)，h控制左右平移，k控制上下平移02a的作用a

仍决定开口方向与大小，与一般式保持一致03两点求解已知顶点坐标和另一点，用顶点式求解最简捷04最值判断由顶点式可直接判断函数最值交点式与根的关系交点式专攻与x轴交点相关的题型。交点式要点4项x₁、x₂抛物线与x轴交点的横坐标使用条件仅当抛物线与x轴有交点时才可用选用场景已知两个交点及另一点时，最便捷a的作用依旧决定开口方向与大小交点式速记4项x₁、x₂抛物线与x轴交点的横坐标使用条件仅当抛物线与x轴有交点时才可用选用场景已知两个交点及另一点时，最便捷a的作用依旧决定开口方向与大小待定系数法求解析式条件决定设式，设式决定求解难度。四设·代·解·写设根据已知条件选择合适形式，如已知三点设一般式代将已知点坐标代入所设解析式，得到方程组解解方程组求出待定系数的值写回代得到完整的函数解析式三种情况设式策略已知条件设式选择三个点坐标设一般式

y=ax²+bx+c顶点坐标与另一点设顶点式

y=a(x-h)²+k与x轴两交点与另一点设交点式

y=a(x-x₁)(x-x₂)设式越贴近已知条件，后续计算越简单三种形式可以互相转化，本质是同一个函数三种形式的互相转化式一般式转顶点式转化路径通过配方完成方法要点得到顶点坐标式顶点式转一般式转化路径直接展开括号方法要点合并同类项式交点式转一般式转化路径展开乘积方法要点合并同类项式一般式转交点式转化路径先求与x轴交点方法要点再写交点式第五章综合应用学以致用见真章用二次函数解决真实问题，决胜中考。05实际问题建模思路建模是桥梁，检验是保障。通用用二次函数解决实际问题的通用流程01审题分清变量确定自变量与因变量的实际含义02建模列解析式根据数量关系列出二次函数解析式03求解求最值利用顶点或性质求出最值、对应自变量取值04作答检验结果结合实际问题检验结果是否符合实际意义最大利润问题典型情境：售价变化影响销量，求最大利润。—典型情境1设变量设降价或涨价x元，写出销量与单件利润的表达式。2建函数利润=销量

×

单件利润，得到二次函数关系式。3求最值化为顶点式求对称轴，结合自变量取值范围求最值。4验范围注意检验最值点是否在实际允许的变化范围内。利润问题抓住销量与单件利润两个变量即可建模。—方法提炼面积最优问题用固定长度材料围矩形，求最大面积。1设变量设矩形一边长为

x，用总长表示另一边长2列函数面积=长

×

宽，整理为二次函数3求最值由对称轴求面积最大时的一边长度4验解结合边长须为正数检验解的合理性“面积问题转化为求二次函数最大值，思路清晰自然。”拱桥抛物线问题坐标系建得好，问题就解决了一半。建系是求解的前提，坐标定则解析式可求。四步建模流程01建系以拱桥顶点为原点或对称轴为y轴建立坐标系02定点根据已知高度与跨度确定抛物线上点的坐标03设式设顶点式或交点式，代入已知点求解析式04求值利用解析式求特定位置的支撑高度中考真题演练求交点函数图像交点坐标抛物线与坐标轴的交点坐标，转化为解方程列式求解明确已知点坐标后，列式求解即得交点建面积几何图形三角形面积结合三角形面积公式，将面积表示为二次函数面积函数化将几何面积与二次函数表达式建立关联取最值综合应用顶点定最值利用顶点求面积最大值函数综合完成几何与函数的综合求