2-4 信号流图与梅逊公式

第二章控制系统数学建模（IV）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@2-6信号流图及梅逊公式22.6.1信号流图的基本概念

1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。最简单的例子：一线性系统，它由下述方程式描述：x2=

a12x1x1a12x2式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。

下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：

x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x43a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a3242.信号流图的基本元素

(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。

(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“

”表示。支路具有两个特征：

有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。

有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权，用它近旁标出的传输值表示。5

混合节点

既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。

3.信号流图的几个术语

1)节点及其类别

输入节点(源节点)

只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。

输出节点(汇节点、阱节点)

只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2

62)通道及其类别

通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在某一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4

闭通道(回环)

如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32，a33(自回环)

。

前向通道

从源节点到汇节点的开通道。不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。73)传输及其类别：传输：两节点之间的增益叫做传输，也就是支路的增益；通道传输：通道中各支路传输的乘积，称为通道传输；

回环传输：通道中各支路传输的乘积；自回环传输：构成自环的支路所具有的传输。4.信号流图的基本性质

1）信号流图只能代表线性代数方程组。

2）节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号之和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。

3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。

4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。

5）对于给定的系统，信号流图不唯一。82.6.2信号流图的建立方法

1.直接法

例2-5

RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。解：(1)列写原始方程

(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)(3)整理成因果关系RCur(t)

uc(t)L9

(4)画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)i(0+)LLs+R1Ls+R1Cs1Ls+R102.翻译法例2-6

画出下图所示系统的信号流图。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)

H(s)11系统结构图信号流图变量在信号线上

节点输入变量

输入节点比较点和分支点

混合节点信号线和方框

支路输出变量输出节点2.6.3梅逊增益公式简介梅逊增益公式是一种求复杂信号流图传递函数的简单方法。它是美国的电子工程师萨穆埃尔·杰斐逊·梅逊推导出来并以他的名字命名的。SamuelJeffersonMason(1921–1974)wasanAmericanelectronicsengineer.Mason’srulearenamedafterhim.1）梅逊增益公式（Mason’sgainformula）13梅逊公式的一般表达式为式中:G—输入输出节点间的总传输(增益)；

n—

从输入节点至输出节点的前向通道总数；

Gk—第K条前向通路的传输；

—信号流图的特征式；

k—余因子式(把第K条前向通道除去后的特征式)。

解：

前向通道：1条，P1=abcdefgh；

单回环：4个，bi，dj，fk，bcdefgm两两不接触回环：3对，bidj，bifk，djfk

三个互不接触回环：1组，bidjfk

=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfk

1=10=114

例2-8求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输P。x0ax8bcdefghijkmabx1gx2x3jhi23efd15

例2-21

已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。

解：单回路：ac，abd，gi，ghj，

aegf

两两互不接触回路：

ac与gi，ghj;abd与gi，ghjx1到x2的传输：

P1=2ab

1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab

2

=1cx1到x3的传输：

P1=3

1=1(ac+abd)

P2=2ae

2

=1

=1(ac

+

abd

+

gi

+

ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)

16例2-22

试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。RCG1K111G2G31

解：单回路：

G1，

G2，

G3，

G1G2两两互不接触回路:

G1和

G2，

G1和

G3，

G2和

G3，

G1G2和

G3三个互不接触回路:

G1，

G2和

G3=1+G1+G2+G3+2G1G2+G2G3+G1G3+2G1G2G3

17RCG1K111G2G31前向通道：P1=G1G2G3K

1=1P2=

G2G3K

2=1+G1P3=

G3K

3=1+G2RCG1K111G2G31P4=

G2

(1)G3K

4=12）梅逊增益公式说明（1）梅森公式用来求输入-输出节点间的总增益凡是源节点对其他任何节点（输出点、混合点）都可用其写出增益，因为混合节点可由单位传输变为汇点。但对于混合节点之间的传输不能用梅森公式直接求，必须先作一定的处理，将混合节点的输入支路去掉，将其孤立成源点形式，然后对修改后的图形结构，应用梅森公式，即可求出所选两点间的传输。（2）梅森公式可以直接应用于控制系统的结构图信号流图的绘制可以从