4-2 频率稳定性判据

第四章线性系统稳定性分析（II）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@简单回顾：开环频率特性曲线ReIm0

1

=0

（1）

=0，Gk(j0)=k

0

；

（2）

=，

Gk(j

)=0270

；

幅值和相角的变化规律：当

增加时，幅值从k到0，相角是从0

到270

单调递减的。（3）与虚轴的交点：

(

)从0

变化到90

，曲线一定与虚轴的负半轴相交于某一点；（4）与实轴的交点：

(

)从-90

变化到180

，曲线一定与实轴的负半轴相交于某一点。k结论：F(s)平面的原点就是G(s)H(s)的(-1，j0)点。

4.4奈奎斯特稳定判据是美国Bell实验室的奈奎斯特于1932年提出的；是以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统稳定性的一种准则；数学基础是复变函数中的幅角原理，或称为映射定理。4.4.1

幅角原理对于复变函数式中，zi，pj

分别是F(s)的零点和极点。j

0zi

AImRe0F(A)pj[s][F(s)]s所在的平面为s平面，F(s)的值域构成的平面称为F(s)平面；F(s)是复变量s的单值函数；s平面上，函数F(s)的零点映射为F(s)平面的原点，函数F(s)的极点映射为F(s)平面的无限远点，除零、极点外的普通点映射为F(s)平面的有限远点。如果某一普通点在s平面移动形成一条封闭的曲线(曲线不经过任意零点和极点)，那么在F(s)平面会有一条包围原点的曲线与之对应。

柯西幅角原理【柯西幅角原理】s平面上不通过F(s)任一零点和极点的封闭曲线

s，包围复变函数F(s)的z个零点，p个极点。当s以顺时针方向沿着封闭曲线

s移动一周时，在F(s)平面映射的曲线

F将以逆时针方向绕原点转动N圈。N，z，p的关系是：N=p-z。j

0

sziAF(s)ImRe0

FB=F(A)pj[s][F(s)]N>0表示

F曲线逆时针运动，包围原点；N=0表示

F曲线逆时针运动，不包围原点；N<0表示

F曲线顺时针运动，包围原点。柯西幅角原理特别注意：关于N，z，p的关系，已知其中两个，可以求另外一个，如：p=N+z，或

z=p-N4.4.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特当年巧妙运用了幅角原理得到了系统稳定性判据。设系统的结构图如图所示：G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)构造辅助函数F(s)，F(s)的表达式：可以看出系统的开环传递函数G(s)H(s)与F(s)只相差常数1。假设：

系统的开环传递函数G(s)H(s)具有如下形式：于是，F(s)的表达式为：而系统的闭环传递函数的表达式为：实际上，辅助函数F(s)是闭环特征多项式和开环特征多项式之比。

F(s)的极点是开环传递函数的极点，零点是闭环传递函数的极点。应用幅角原理因为闭环特征方程所有的正实部根一定被包围整个s右半平面的曲线所包围；所以，构造一条半径为无穷大，顺时针包围s右半平面的封闭曲线

s，如图1所示，

它包围闭环特征方程所有的正实部根。（s的取值:

j+j

）该曲线，被称为奈氏轨线或奈氏路径。

0j

s+图1半径无穷大曲线

s应用幅角原理

0j

s+图1半径无穷大曲线

sReIm0

1图2F(s)和G(s)H(s)平面及其映射的曲线

FGH平面F平面

F假设s在

s曲线上顺时针移动，映射到F(s)平面包围原点的某条曲线

F，如图2所示。

F包围F平面的原点，由于F=1+GH，所以,

F曲线就是包围GH

平面的（-1,j0)点。而

F曲线，实际上，就是前面我们所绘制的幅相频率特性曲线G(j

)H(j

)曲线。j

0

sziAF(s)ImRe0

FB=F(A)pj[s][F(s)]

0j

s+ReIm0

1GH平面F平面

Fs平面幅角原理的图与幅角原理实际应用的图对照zp

0j

s+13综上所述，可以得到如下结论：F(j

)

曲线包围原点的圈数，也就是G(j

)H(j

)曲线包围(-1，j0)点的圈数N可以数出来，开环特征方程的正实部极点数p可以求出来，闭环特征方程式的正实部极点数z可由下面的式子计算出来：z=p-R。若z=0，系统是稳定的。若z

0，系统是不稳定的。

ReIm0

1GH平面F平面

Fs平面

奈氏判据：（一般意义下，开环传递函数无积分环节）

已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（

:0）包围(1，j0)点的圈数为N，则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z，且有

Z=P

N

若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z

0，闭环系统是不稳定的。

试用奈氏判据判断系统的稳定性。15

例4-8

一单位反馈系统，其开环传函当

=0，Gk(j0)=-k

180

当

，Gk(j

)=0-90

ReIm0

=0

k

解：已知p=1频率特性

当

k<

1时，k>1，R=1

z=p

R=0∴闭环系统是稳定的。当

k>

1，k<1，R=0，z=p

R

=

1

闭环系统是不稳定的。16ReIm0

=0

k

117

+jε（2）开环有积分环节的系统

由于开环极点因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。

j

如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在s平面上的s=0邻域作一半径无穷小ε的半圆，绕过原点。-jε18

0j

s+ImRe0

=0+

增补线

=0--jε+jε19用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0

（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0)=

90

终点：Gk(j

)=0

270

与坐标轴交点：

例4-9已知系统的开环传函为

令虚部=0，得，

20系统的开环极坐标图如图示：R=

2

z=p

R=2∴闭环系统是不稳定的。ImRe0

=0+

增补线

1

=0-所作的增补线如虚线所示。21

(3)由奈氏判据判稳的实际方法用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制

从0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s右半平面根的个数P，根据公式

Z

=P

2R来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从

=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转N90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。

例4-12已知系统的开环传函为22起点：Gk(j0)=270

终点：Gk(j

)=090

与坐标轴交点：

x=101/2

Re(

x)=0.1k

开环极坐标图如图用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知

p=1（2）作开环极坐标图23ImRe0

=0

增补线

10.1k(3)稳定性判别:因为是1型系统，需作增补线如图续上一页

当

0.1k>

1，k<10时，

R=-1/2，z=p

2R

=2

闭环系统是不稳定的。

当

0.1k<

1，k>10时，

R=1/2，z=p

2R

=0

闭环系统是稳定的。25ReIm0

1(+)(

)4.4.3伯德图上的稳定性判据

由图可知，幅相曲线包不包围(

1，j0)点。此结果也可以根据

增加时幅相曲线穿越实轴区间(

，

1)的次数决定(自下向上幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自上向下幅角增加，称为正穿越，用N+表示)。

R=N

N

自实轴区间（

，

1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（

，

1）开始向上的穿越为半次负穿越。极坐标图与伯德图的对应关系ReIm0

1(+)(

)-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)27-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与

180

2k

线的正负穿越次数之差R=N

N

确定

Z=P

2RZ为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。正负穿越的说明极坐标图（在实轴（

，

1）区间）自下向上幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自上向下幅角增加，称为正穿越，用N+表示自实轴开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴开始向上的穿越为半次负穿越。对数坐标图（在幅频值大于零的区间内）自上向下幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自下向上幅角增加，称为正穿越，用N+表示自2kπ+π线开始向上的穿越称为半次正穿越，自2kπ+π线开始向下的穿越为半次负穿越。ReIm0

1(+)(

)-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)对数频率稳定性判据的特殊情况如果开环传递函数中含有积分环节，则做如下处理：在对数相频特性曲线

=0+的起始位置向上增补90°*N长度的曲线，这里N是积分环节数。计算穿越时，应把它考虑在内。

180

(

)/(°)0辅助线

c例4-13

一反馈控制系统其开环传递函数

30

解：由开环传递函数知P=0，作系统的开环对数频率特性曲线

180

(

)/(°)0

L(

)/dB1/T40dB/dec60dB/dec270辅助线用对数稳定判据判断系统稳定性。

显见N

=0，N

=1R=N

N