控制工程基础 课件 2-1微分方程

第二章控制系统的数学模型（I）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@第二章主要内容2-1引言2-2系统微分方程建立方法2-3线性系统的传递函数2-4典型环节及其传递函数2-5系统的结构图2-6信号流图与梅逊公式22-1引言3什么是数学模型?数学模型，是描述系统内部各物理量(或变量)之间关系的数学表达式。1数学模型的特点(1)相似性：不同背景的系统的数学模型可能是相同的。(2)简化性和准确性：数学模型的不唯一(3)动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态的数学模型。(4)静态模型：在静态条件下（变量各阶导数为零）描述变量之间关系的代数方程。2数学模型的类型时域模型（1）微分方程（2）差分方程（3）状态方程复数域模型（1）传递函数（2）结构图频域模型（1）频率特性5（1）分析法对系统各部分的运动机理进行分析，根据他们所依据的物理或化学规律分别列写各部分相应的运动方程，将这些方程根据逻辑关系合在一起便成为描述整个系统的方程。

（2）实验法

人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当地数学模型去逼近。这种方法也叫系统辨识。主要用于系统运动机理复杂而不便分析或不可能分析的情况。3数学模型的建模原则1）数学模型的建立方法分析法建模的步骤如下：

（1）建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。

（2）按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式。

（3）根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的、合理的数学模型。2）数学模型的建模步骤2.2系统微分方程建立方法7

2.2.1列写微分方程式的一般步骤

（1）分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量，定义内部中间变量，搞清各变量之间的关系。（2）根据物理系统基本定律或运动定律（欧姆定律、基尔霍夫定律、牛顿运动定律），列出各部分的原始方程式，从系统的输入变量开始，依次列写输入输出因果关系式，即辅助方程式，注意变量个数与辅助方程式相等。（3）联立上述方程，消去中间变量，得到只有输入输出变量的方程式。（4）将方程式化成标准形（左输出、右输入，降幂排列）。8

2.2.2系统建模举例1.机械系统（1）惯性力

是一种与质量有关的力，具有阻止起动和阻止制动的性质。按照牛顿第二定律，惯性力的大小等于质量乘以加速度，即

（2）弹性力

是一种弹簧的弹性恢复力，其大小与形变成正比，即

（3）阻尼力

是阻尼器中产生的粘性摩擦阻力，其大小与阻尼器中活塞和缸体的相对运动速度成正比，即

9例2-1

弹簧-质量-阻尼串联系统。试列出以F(t)为输入量，y(t)为输出量的运动方程式。

解：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，中间变量为弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)。

（2）设系统按线性集中参数考虑，且当无外力作用时，系统处于平衡状态。10（4）列写中间变量与输出变量的关系式:

（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得（3）由牛顿第二定律写原始方程：

112.电路系统对于实际的复杂电路分析，通常按集中参数建立电系统的物理模型。在这种系统模型中，有三种线性双向的无源元件，即电阻R，电感L，电容C。欧姆定律：在电压和电流取关联参考方向下，任何时刻线性电阻两端的电压与流过该电阻的电流成正比。u(t)=Ri(t)基尔霍夫电流定律：在任一瞬时，流入电路中任一节点的各支路电流之和等于从该节点流出的各支路电流之和。∑i(t)=012基尔霍夫电压定律：从回路中任意一点出发，以顺时针方向或逆时针方向沿回路循环一周，则在这个方向上的电位降之和等于电位升之和。∑u(t)=0电磁感应定律：电路中感应电动势的大小和通过导体回路的磁通量的变化率成正比，用公式可表示为e(t)=-dΦ(t)/dt

式中，e(t)为电路中的感应电动势，Φ(t)为通过导体回路的磁通量。Φ(t)的正方向与感应电动势

e(t)的正方向成右手螺旋关系。13例2-2

电阻-电感-电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur为输入量，uc为输出量的网络微分方程式。

解：（1）确定输入量为ur，输出量为uc，中间变量为i。

14（3）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:

（4）将上式代入原始方程，消去中间变量得（2）由克希霍夫定律写原始方程：

15

2.2.3实际物理系统线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：

式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。16列写微分方程式时，一般按以下几点来写：

（1）输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；

（2）左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；

（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

（4）方程的系数均为实常数，是由物理系统自身参数决定的。17

2.2.4复杂系统线性微分方程建立步骤可按照“分解−合成”的方法进行，即首先把系统按其工作机理分解为相应的功能环节，列写各功能环节的微分方程式，然后消去中间变量得到描述系统输出与输入关系的微分方程式。第一步，确定系统的给定量和被控量，即系统的输入量和输出量。第二步，分解系统为相应的功能环节，设定中间变量，画出系统的方框图，标定各方框的输入量和输出量。第三步，列写各方框内元件的微分方程，并按相互连接关系补充变量关系方程，最终使方程的个数