专题06 不等式 3年（2024-2026）高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析高考真题分类解析PAGE2PAGE1专题06不等式考点分类三年考情（2024-2026）命题规律考点01不等式2026年：北京卷、天津卷、上海卷2025年：北京卷、全国II卷、天津卷、上海卷2024年：上海卷、全国甲卷、北京卷1.核心考查基础内容：不等式的基本性质、一元二次不等式的求解、基本不等式的应用；

2.题型覆盖全面：选择、填空、解答题均有涉及，基础题多以选择、填空形式考查，综合题常与函数、导数、数列、解析几何等模块结合，出现在压轴题位置；考点01不等式1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（

）A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数【答案】B【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：，∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得，∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误.2．（2026·天津·高考真题）的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】B【详解】因为，当且仅当，即，时，等号成立,所以的最小值为9.3．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.【详解】对于A,取，则故，所以A错误，对于B，取则，此时，故B错误，对于C，由于，故，因此，C正确，对于D,取，则，此时，故D错误，故选：C4．（2025·北京·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式结合特例即可判断.【详解】对于A,当时，，故A错误；对于BD，取，此时，，故BD错误；对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C.5．（2025·全国II卷·高考真题）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.【详解】即为即，故，故解集为.故选：C.6．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确；对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误．故选：B．7．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.【详解】实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则.故选：D.8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.9．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________．【答案】/【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论.【详解】因为，当且仅当时等号成立，结合可得，，当且仅当，或，时等号成立，所以当，或，时，取最大值，最大值为.10．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________.【答案】【分析】由可得:，解不等式可得其解集.【详解】由可得:，解得:，所以不等式的解集为.故答案为：.11．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______．【答案】2【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值．【详解】解：∵，，∴∴，当且仅当时取等号，即，时取等号故答案为：2．【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题12．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______【答案】【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为：13．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________．【答案】4【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.【详解】易知，当且仅当，即时取得最小值.故答案为：414．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．【答案】【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.【详解】原不等式转化为，解得，则其解集为.故答案为：.15．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．【答案】【分析】将不等式化为，即可得答案.【详解】由题意得不等式即，即不等式的解集为，故答案为：16．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.【答案】【分析】分与两段求解二次不等式可得.【详解】根据题意知.当时，,即，解得，则有；当时，,即，，即时，不等式都成立.综上所述，的的取值范围为.故答案为：.17．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______．【答案】12【分析】利用不等式即可求解.【详解】,当且仅当,即或时,等号成立,故的最小值为12.故答案为：12.18．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.19．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．(1)已知，求的解集；(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，.在与中，，解得，∴，∵，∴，解得或或，∴不等式的解集为.（2）由题意知，由，得，∴.∵直线为在点的切线，∴直线的方程为，即，∵是过点且垂直于的直线，∴直线的方程为：，即，对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点，∴与无正实数解，分离参数得，，，∴直线与与曲线在内均无交点，而，当时，解得（舍）或，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增，∴在处取最小值，.当时，，当时，，∴且，即或，∴实数的取值范围为.20．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)严格单调递减【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【详解】（1）当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．（2）由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．（3）设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③+④得即，因为则，解得