2026新教材数学 5．3　第3课时　积分问题与方案决策问题

第3课时积分问题与方案决策问题01知识梳理知识点一积分问题•练习1

(教材P137练习T1变式)学校足球队规定足球比赛每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．七年级(5)班代表队前8场保持不败，共得16分，该队胜了多少场？【解】设该队胜了x场．由题意，得3x＋(8－x)＝16，解得x＝4.答：该队胜了4场．核心关系

总积分＝胜场积分×胜场数＋平场积分×平场数＋负场积分×负场数．知识点二方案决策问题•练习2某校计划购买20个书柜和一批书架，现从A，B两家商场了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元.A商场的优惠方案为每买一个书柜赠送一个书架，B商场的优惠方案为所有商品打八折出售．设该校购买x(x>20)个书架．(1)若该校到同一家商场选购所有书柜和书架，则到A商场和B商场需分别准备多少元货款(用含x的式子表示)?【解】根据题意，到A商场购买需准备货款20×210＋70(x－20)＝(70x＋2800)元．到B商场购买需准备货款0.8×(20×210＋70x)＝(56x＋3360)元．(2)若规定只能到其中一家商场购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样？【解】由题意，列得方程70x＋2800＝56x＋3360，解得x＝40.答：当购买40个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样．(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家商场自由选购，则至少需准备多少元货款？请说明理由．【解】8680元．理由如下：因为A商场的优惠方案为买一个书柜赠送一个书架，相当于打七五折；B商场的优惠方案为所有商品打八折，所以应该到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，再到B商场购买80个书架．所需货款为20×210＋70×80×0.8＝8680(元).所以至少需准备8680元货款．02课后练习1．足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，现已比赛了8场，负了1场，得17分，设这个足球队已经胜了a场，则可列方程为(

).A．3a－1×(8－a－1)＝17B．3a＋1×(8－a－1)＝17C．3a＋8＝17D．3a＋a－1＝17基础巩固B2．爸爸和儿子共下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了(

).A．9盘 B．8盘C．4盘 D．3盘【解析】设爸爸赢了x盘．根据题意，得x＝2(12－x)，解得x＝8.故选B.B3．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20道，记分规则如下：每答对一道得5分，每答错或不答一道扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的题数为(

).A．16 B．15C．13 D．14【解析】设小勇答对的题数为x，则小勇答错或不答的题数为20－x.由题意，得5x－1×(20－x)＝76，解得x＝16.故选A.A4．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本1.5元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为1.4元；方式二：购买数量不超过50本时按定价销售，超过50本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为x(x>50)本．当方式一和方式二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为(

).A．75本 B．50本C．150本 D．100本【解析】根据题意，得1.4x＝1.5×50＋1.5×0.8(x－50)，解得x＝75.所以当方式一和方式二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为75本．故选A.A5．某中学七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动车票由(1)班班长负责购买，票价每张20元．有以下两种优惠方案．

班长思考了一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级参加研学活动的共有________人．63【解析】设七年级三个班级参加研学活动的共有x

人．根据题意，得20x·0.8＝20(x－7)×0.9，解得x＝63.6．一次足球比赛共15轮(即每队均赛15场)，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某中学足球队获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学足球队平的场数是________．【解析】设负的场数为x，则胜2x场，平15－x－2x＝(15－3x)场．由题意，得3×2x＋1×(15－3x)＝21，解得x＝2.所以15－3x＝9.97．某磁性飞镖靶盘游戏，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下表．投中位置A区B区脱靶一次计分/分31－2若珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶，本局得分19分，则k的值为________．【解析】由题意，得3k＋1×3－2×(10－k－3)＝19，解得k＝6.68．某咖啡店的咖啡价格为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表．能力达标会员卡类型办卡费用/元有效期优惠方式A类401年每杯打九折B类801年每杯打八折C类1301年一次性购买2杯，第二杯半价例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40＋2×50×(0.9×10)＝940(元).若小玲1年内在该店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为(

).A．购买A类会员卡

B．购买B类会员卡C．购买C类会员卡

D．不购买会员卡C【解析】设小玲1年内在该店购买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元．根据题意，得yA＝40＋0.9×2×10x＝40＋18x，yB＝80＋0.8×2×10x＝80＋16x，yC＝130＋15x，因为购买次数介于75～85次之间，所以yA介于1390～1570之间；yB介于1280～1440之间；yC介于1255～1405之间；若不购买会员卡，则费用介于1500～1700之间．由此可见，C类会员卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员卡．故选C.9．某班将购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：A，B两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副均定价40元，乒乓球每盒均定价5元．而A，B两家商店的促销方案不同，A商店是每买一副球拍赠送一盒乒乓球，B商店是全部按定价的九折出售．该班需购买球拍5副，乒乓球若干盒(不少于5盒).(1)当购买多少盒乒乓球时，在两家商店付的款一样？【解】设当购买x盒乒乓球时，在两家商店付的款一样．根据题意，得40×5＋5(x－5)＝(40×5＋5x)·0.9，解得x＝10.所以当购买10盒乒乓球时，在两家商店付的款一样．(2)若需购买15盒乒乓球，该班应该去哪一家商店购买？为什么？【解】该班应该去B商店购买．理由如下：当购买5副球拍，15盒乒乓球时，在A商店需付款40×5＋5×(15－5)＝250(元)，在B商店需付款(40×5＋5×15)×0.9＝247.5(元).因为247.5＜250，所以若需购买5副球拍，15盒乒乓球时，该班应该去B商店购买．10．(数学文化)投壶是我国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳(如图)或落在地上会得到不同的分数，计分规则如下表：投中位置投入壶内投入壶耳落在地上一次计分1分3分－2分珍珍玩了两局，每局投10次．(1)在第一局中，珍珍投入壶内5次，投入壶耳3次，其余均落在地上．求珍珍第一局的得分．【解】珍珍第一局的得分：5×1＋3×3＋(10－3－5)×(－2)＝5＋9＋(－4)＝10(分).(2)第二局，珍珍投入壶内k次，投入壶耳3次，其余均落在地上．珍珍第二局的得分是否可能比第一局高5分？请判断并说明理由．11．某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负(没有平局)，胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分．(1)一共进行了多少场比赛？挑战创新(2)男选手的总得分是多少？

【解】由(1)可知，共进行了210场比赛，即所有选手共得210分，设男选手的总得分是x分，则女选手的总得分是(x＋70)分．由题意，得x＋x＋70＝210，解得x＝70，即男选手的总得分是70分．(3)在男选手与女选手之间的所有比赛中，男选手共得了多少分？【解】因为男选手有12人，所以在男选手之间的比赛场数为＝66，即在男选手之间的比赛中，男选手的得分是66分．由(2)可知，男选手的总得分是70分，70－66＝4(分)，即在男选手与女选手之间的所有比赛中，男选手共得了4分．(4)小明提