15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 教学课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1.2第1课时线段的垂直平分线的性质与判定专项练习（人教版八年级上册）核心知识点梳理一、线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线是线段的一条重要对称轴，线上所有点与线段两端点存在固定等量关系。二、线段垂直平分线的性质定理（必考）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。核心逻辑：点在垂直平分线上→到线段两端距离相等，可直接证线段相等，无需证明三角形全等，简化几何推理。三、线段垂直平分线的判定定理（逆定理）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。核心逻辑：距两端点相等→点在垂直平分线上，是判定直线为垂直平分线的核心依据。四、核心总结与易错点1.性质：线上点→距相等；判定：距相等→线上点，二者互为逆定理，解题需区分条件与结论。2.易错陷阱：单个点距离相等只能说明点在垂直平分线上，两点确定一条直线，证明直线是垂直平分线需找两个满足条件的点。3.拓展结论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。一、基础选择题（每题4分，共32分）1.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的关系是（）A.距离不等B.距离相等C.垂直关系D.平行关系2.若点P满足PA=PB，则点P一定在（）A.线段AB上B.线段AB的中点C.线段AB的垂直平分线上D.直线AB上方3.下列说法正确的是（）A.只有线段中点才在垂直平分线上B.到线段一端距离相等的点在垂直平分线上C.PA=PB，则P在AB垂直平分线上D.垂直平分线是一条线段4.已知直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=6，则PB的长为（）A.3B.6C.12D.无法确定5.证明一条直线是线段的垂直平分线，至少需要找到几个符合条件的点（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.若PA≠PB，则点P一定不在（）A.线段AB的垂直平分线上B.直线AB上C.线段AB上方D.任意位置7.线段AB的垂直平分线与线段AB的交点是（）A.AB的端点B.AB的中点C.AB的三等分点D.任意点8.下列不能判定直线l是线段AB垂直平分线的是（）A.l⊥AB且平分ABB.l上有两点到A、B距离分别相等C.l过AB中点且垂直ABD.l上一个点到A、B距离相等二、基础填空题（每题4分，共24分）9.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的________相等。10.到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。11.若直线l垂直平分AB，点P在l上，PA=5，则PB=________。12.证明一条直线为线段的垂直平分线，依据是________个点确定一条直线。13.线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的________的集合。14.性质定理：点在垂直平分线上→________；判定定理：________→点在垂直平分线上。三、解答题（共44分）15.（12分）简答线段垂直平分线性质与判定的逻辑区别。16.（16分）已知：直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上。求证：PA=PB。17.（16分）已知：CA=CB，DA=DB。求证：直线CD垂直平分线段AB。参考答案及详细解析一、选择题解析1.B解析：线段垂直平分线性质定理，线上点到线段两端端点距离相等。2.C解析：判定定理直接应用，到线段两端距离相等的点在垂直平分线上。3.C解析：PA=PB满足判定定理，可直接确定点P在AB垂直平分线上。4.B解析：P在垂直平分线上，由性质定理得PB=PA=6。5.B解析：两点确定一条直线，需两个点满足距两端相等，才可确定整条垂直平分线。6.A解析：逆否命题，不满足距两端相等，一定不在垂直平分线上。7.B解析：垂直平分线定义，过线段中点且垂直线段，交点为线段中点。8.D解析：单个点距离相等只能说明该点在平分线上，无法确定整条直线是垂直平分线。二、填空题解析9.距离解析：线段垂直平分线性质定理标准内容。10.垂直平分线解析：线段垂直平分线判定定理标准内容。11.5解析：垂直平分线上的点到两端距离相等，PB=PA=5。12.两解析：几何基本公理，两点确定一条直线。13.所有点解析：垂直平分线的集合定义。14.距线段两端点相等；距线段两端点相等解析：性质与判定的核心逻辑互换。三、解答题解析15.解：性质定理：已知点在线段垂直平分线上，推出该点到线段两端端点距离相等（由位置得数量）；判定定理：已知点到线段两端端点距离相等，推出该点在线段垂直平分线上（由数量得位置），二者互为逆定理。16.证明：∵直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上，根据线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，∴PA=PB。17.证明：∵CA=CB，∴点C在AB的垂直平分线上（垂直平分线判定定理）。∵DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上。∵两点确定一条直线，∴直线CD垂直平分线段AB。（总字数：1321）人教版数学（新教材）八年级上册15.1.2第1课时线段的垂直平分线的性质与判定授课教师：.

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级：8年级（

）班.

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间：.

2026/9/24

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章轴对称1.探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.

(重点)2.能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题.(难点)新知导入什么叫线段的垂直平分线？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′，垂足为P，且

AP=A′P，则称直线MN是线段AA′的垂直平分线.NMPA′A类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.探究新知【探究】如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ABlP1P2P3【发现】AP1=BP1，AP2=BP2

，AP3

=BP3

…探究新知【探究】如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ABlP1P2P3【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．探究新知ABlCP已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上．求证：PA=PB．证明：当点P与点C不重合时，∵

l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．当点P与点C重合时，显然成立归纳总结线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．符号语言：∵OA=OB，l⊥AB，∴PA=PB．ABlOP探究新知【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.探究新知已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：如图作PC⊥AB，则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上ABPC归纳总结线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．符号语言：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．ABlOP返回C1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC＝2，则ED的长为(

)A．1B．1.5C．2D．无法确定

A.19

B.20C.21

D.22返回C2．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD的长为(

)A．5B．4C．3D．2C返回8cm4．合肥期中如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DM分别交BC，AB于点D，M，边AC的垂直平分线EN分别交BC，AC于点E，N，已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为________．探究新知1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等.2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线

l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.ABlOP探究新知【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等.探究新知【注意】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.探究新知如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理，例如，关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理.“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.当堂练习QINGJINGYINRU1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(

)A．6B．5C．4D．3B2.如图所示，直线

CD是线段

AB

的垂直平分线，点

P

为直线

CD

上的一点，且

PA

=

5，则线段

PB

的长为(

)A.6B.5C.4D.3BPABCD当堂练习QINGJINGYINRU3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 ()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACBABCDA4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.

AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,

则下列结论不正确的是

()A.AE=BE B.AC=BEC.CE=DE D.∠CAE=∠BBABDEC当堂练习QINGJINGYINRUD当堂练习QINGJINGYINRU8.如图所示，在△ABC中，BC=8cm，边

AB的垂直平分线交

AB于点

D，交边

AC于点

E，△BCE的周长等于

18cm，则

AC的长是

.10cmABCDE7.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______．10°当堂练习QINGJINGYINRU9.如图，在四边形

ABCD中，AD∥BC，E为

CD的中点，连接

AE、BE，BE⊥AE，延长

AE交

BC的延长线于点

F.

求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.ABCDEF证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE.∵E是

CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴