17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式 教学课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

17.2第2课时运用完全平方公式分解因式专项练习一、核心知识点梳理1.完全平方公式（因式分解版）完全平方公式因式分解是整式乘法完全平方公式的逆用，将特殊的二次三项式拆解成两个相同整式的积。和的完全平方：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$差的完全平方：$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$核心口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号和中间项一样。2.完全平方式三大特征（必考判断）①项数：必须是二次三项式；②首尾两项：是同号的平方形式；③中间项：是首尾底数乘积的2倍（可正可负）。公式中的a、b可以是单独数字、字母、单项式，也可以是多项式整体，支持整体换元分解。3.因式分解通用解题步骤1.先提公因式：所有因式分解题目，优先提取公因式，化简原式；2.再判结构：观察剩余式子是否为完全平方式；3.套公式分解：匹配和或差的完全平方公式；4.检查彻底：分解后因式无法再拆分，结果最简。4.常见完全平方形式$$4x^2=(2x)^2$$、$$9m^2=(3m)^2$$、$$16x^2y^2=(4xy)^2$$，中间项常见：$$12xy=2\cdot2x\cdot3y$$、$$8a=2\cdot4\cdota$$。二、重点易错点汇总1.结构判断失误：两项式、首尾异号、中间项不是2倍首尾积，绝对不能用完全平方公式。2.平方项系数漏平方：仅对字母平方，忽略系数，误判完全平方式，如$$4x^2+4x+1\neq(4x+1)^2$$。3.中间项符号混淆：和的完全平方中间为正，差的完全平方中间为负，符号匹配错误。4.忘记先提公因式：原式含公因式直接套公式，导致分解不彻底、结果错误。5.完全平方与平方差混淆：三项式误用平方差、两项式误用完全平方公式，结构区分不清。6.常数项判断错误：常数项必须是某个数的平方，非平方数无法构成完全平方式。三、基础专项练习（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列多项式属于完全平方式的是（）A.$$x^2+2x-1$$B.$$x^2-4x+4$$C.$$x^2+4x-4$$D.$$x^2-2x$$2.分解因式$$a^2-6a+9$$的结果是（）A.$$(a-3)^2$$B.$$(a+3)^2$$C.$$(a-3)(a+3)$$D.$$a(a-6)+9$$3.分解因式$$4x^2+12xy+9y^2$$的结果是（）A.$$(2x+3y)^2$$B.$$(2x-3y)^2$$C.$$(4x+9y)^2$$D.$$(2x+3y)(2x-3y)$$4.若$$x^2+kx+16$$是完全平方式，则k的值为（）A.8B.-8C.±8D.±45.分解因式$$2x^2-8x+8$$的正确结果是（）A.$$2(x^2-4x+4)$$B.$$2(x-2)^2$$C.$$(2x-4)^2$$D.$$2(x+2)^2$$（二）填空题（每题4分，共20分）1.$$x^2+4x+4=$$________。2.$$m^2-10m+25=$$________。3.$$9a^2-12ab+4b^2=$$________。4.$$3x^2+6x+3=$$________。5.$$x^2-$$________$$+9=(x-3)^2$$。（三）解答题（共60分）1.（15分）用完全平方公式分解下列因式：（1）$$x^2-12x+36$$（2）$$25+10a+a^2$$（3）$$16x^2-8xy+y^2$$2.（15分）先提公因式再分解：$$4a^3-16a^2+16a$$3.（15分）整体换元分解：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$4.（15分）先因式分解，再求值：$$x^2-4x+4$$，其中$$x=5$$。四、参考答案及详细解析（一）选择题解析1.B解析：$$x^2-4x+4=x^2-2\cdot2\cdotx+2^2$$，符合完全平方式特征，其余选项首尾异号、中间项不满足2倍关系。2.A解析：原式$$=a^2-2\cdot3\cdota+3^2=(a-3)^2$$，匹配差的完全平方公式。3.A解析：首尾分别为$$(2x)^2$$、$$(3y)^2$$，中间项$$12xy=2\cdot2x\cdot3y$$，原式$$=(2x+3y)^2$$。4.C解析：$$x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$$，中间项$$kx=\pm2\cdotx\cdot4$$，故$$k=\pm8$$。5.B解析：先提公因式2得$$2(x^2-4x+4)$$，再套公式分解为$$2(x-2)^2$$，分解彻底。（二）填空题解析1.$$(x+2)^2$$解析：标准和的完全平方，$$x^2+2\cdot2x+2^2$$。2.$$(m-5)^2$$解析：匹配差的完全平方公式，直接分解。3.$$(3a-2b)^2$$解析：$$(3a)^2-2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2$$，符合完全平方式结构。4.$$3(x+1)^2$$解析：先提公因式3，再分解$$x^2+2x+1$$。5.$$6x$$解析：展开$$(x-3)^2=x^2-6x+9$$，空缺项为$$6x$$。（三）解答题解析1.解：（1）原式$$=x^2-2\cdot6\cdotx+6^2=(x-6)^2$$；（2）原式$$=a^2+2\cdot5\cdota+5^2=(a+5)^2$$；（3）原式$$=(4x)^2-2\cdot4x\cdoty+y^2=(4x-y)^2$$。2.解：原式$$=4a(a^2-4a+4)=4a(a-2)^2$$，先提取公因式，再套用完全平方公式，分解至最简。3.解：设$$t=x-1$$，原式$$=t^2+4t+4=(t+2)^2$$，回代得$$(x-1+2)^2=(x+1)^2$$。4.解：原式$$=(x-2)^2$$，代入$$x=5$$，原式$$=(5-2)^2=9$$。课时总结：本节核心掌握完全平方式的三大判定特征，精准区分完全平方公式与平方差公式。解题坚守“先提公因式、再判结构、套公式、查彻底”的四步法则，重点攻克结构误判、系数漏平方、符号错误、分解不彻底等易错点。完全平方公式分解因式是中考高频考点，常用于化简求值、配方题型，是后续分式运算、二次函数学习的重要基础。人教版数学（新教材）八年级上册17.2第2课时运用完全平方公式分解因式授课教师：.

班

级：8年级（

）班.

时

间：.

2026/9/24

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十七章因式分解1.

理解完全平方公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点.

(重点)2.

能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力.

(难点)

3.

经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程，发展逆向思维，感受数学知识的完整性.知识回顾我们已经学过了哪些分解因式的方法?1.提公因式法2.平方差公式法a2-b2=(a+b)(a-b)把下列各式分解因式:x2-4=______________.a2-4b2=______________.a3-a

=______________.(x+2)(x-2)(a+2b)(a-2b)a(a+1)(a-1)新知导入【思考】多项式

a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍整式的乘法因式分解完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2整式的乘法因式分解我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式.探究新知完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.

完全平方式:a2

2ab

b2

(a

b)2归纳总结两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.探究新知拼出的图形为：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？abaa2aabbbababb2

ababa2ababb2

得到公式：a2+2ab+b2=(a+b)2探究新知（1）a2-4a+4下列多项式是不是完全平方式?（2）1+4a²（3）4b2+4b-1（4）a2+ab+b2a2-4a+4(a-2)2不是，只有两项不是，平方项符号不一致不是，ab项没有系数2首平方，尾平方，首尾两倍在中央

BA.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

B

返回

D

A

返回例题练习分解因式:(1)x2+4x+4；

(2)

16x2-24x+9；解：(1)x2+4x+4

x2+2·x·222a2

+2·a·b

b2=(a+b)2(2)16x2-24x9=(4x)2-2·4x·3+32=(4x-3)2.=(x+2)2例题练习分解因式:(1))(a+b)2-12(a+b)+36；

2

-x2+4xy-4y2分析：(1)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2-12m+36.解：(1)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2例题练习分析：对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式.解：(2)原式=

-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2分解因式:(1)

(a+b)2-12(a+b)+36；

2

-x2+4xy-4y2探究新知方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解.具有a2+2ab+b2或a2-2ab+b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式.归纳总结整式的乘法因式分解把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.探究新知对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.分解因式:(1)

x4-y4；

2

a3b-ab(1)x4-y4

=解：

(x2)2

-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)a2

-b2=(a+b)(a-b)还要进一步分解=(x2+y2)(x+y)(x-y)探究新知分解因式:(1)

x4-y2；

2

a3b-ab(2)

a3b-ab

=ab

(a2-1)=ab(a+1)(a-1)解：分析：a3b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.探究新知分解因式:(1)

3ax2+6axy+3ay2

；

2

-ax2+2a2x-a3分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式.解：(1)3ax2+6axy+3ay2

=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)-ax2+2a2x-a3

=-a(x2-2ax+a2)=-a(x-a)

2归纳总结因式分解的步骤：（1）先看多项式是否有公因式，有公因式的应先提出公因式.（2）再看能否用公式法两项三项考虑能否用平方差公式考虑能否用完全平方公式（3）检查每一个多项式因式是否都不能再分解，能分解的继续分解到不能分解为止.当堂练习QINGJINGYINRU1.下列式子为完全平方式的是()A.a2+2a+b2B.a2+2a+2C.a2-2+b2D.a2+2a+1.

2.分解因式x2-2x+1的最终结果是()A.x(x-2)+1B.(x+1)(x-2)C.(x-1)2D.(x+1)2

3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是()A.-x2+2xy-y2B.x2-2xy-y2C.x2-2xy+y2

D.-x2-2xy-y2

D