16.3.2完全平方公式 教学课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.2完全平方公式专项练习一、核心知识点梳理1.完全平方公式两个基本形式两数和的完全平方：两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍。$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$两数差的完全平方：两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的2倍。$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$通用口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号跟着前面走。2.公式适用特征完全平方公式针对二项式的平方，整体结构为：两个数（式）的和或差的平方。公式中的a、b可以是数字、单项式、多项式，适用范围广，是整式运算必考核心公式。3.重要变形公式（考试高频）1.$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$2.$$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$3.$$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$变形公式多用于整体代入求值、已知两数和与积求平方和的题型。4.几何意义$$(a+b)^2$$表示边长为$$a+b$$的大正方形面积，可拆分为边长为a、b的两个小正方形和两个长a宽b的长方形面积之和，直观验证完全平方公式。二、重点易错点汇总1.致命公式混淆：严禁出现$$(a\pmb)^2=a^2\pmb^2$$，漏掉中间2ab项，是全班最高频错题。2.中间项符号错误：和的平方中间为正，差的平方中间为负，符号与原式二项式中间符号一致。3.系数漏平方：当首项、尾项带有系数时，整体平方，例如$$(2a-b)^2\neq2a^2-4ab+b^2$$，正确为$$4a^2-4ab+b^2$$。4.区分平方差与完全平方：平方差是“两项结果”，完全平方是“三项结果”，做题先判断结构。5.整体思想缺失：式子是多项式整体平方时，不会把括号内整体看作a、b，导致展开错误。三、基础专项练习（一）选择题（每题4分，共20分）1.计算$$(x+3)^2$$的结果是（）A.$$x^2+9$$B.$$x^2+3x+9$$C.$$x^2+6x+9$$D.$$x^2-6x+9$$2.下列运算正确的是（）A.$$(a-1)^2=a^2-1$$B.$$(a+2)^2=a^2+4a+4$$C.$$(2b)^2=2b^2$$D.$$(x-y)^2=x^2-y^2$$3.计算$$(2x-1)^2$$的结果是（）A.$$4x^2-4x+1$$B.$$4x^2-1$$C.$$2x^2-2x+1$$D.$$4x^2+4x+1$$4.已知$$a+b=5，ab=6$$，则$$a^2+b^2$$的值为（）A.13B.19C.25D.375.若$$x^2+kx+9$$是完全平方式，则k的值为（）A.6B.-6C.±6D.±3（二）填空题（每题4分，共20分）1.$$(a+5)^2=$$________。2.$$(m-4)^2=$$________。3.$$(3x+2y)^2=$$________。4.$$a^2+$$________$$+16=(a+4)^2$$。5.已知$$(x-y)^2=4，xy=1$$，则$$x^2+y^2=$$________。（三）解答题（共60分）1.（15分）运用完全平方公式计算：（1）$$(2a-3)^2$$（2）$$(-x+4y)^2$$（3）$$99^2$$2.（15分）化简：$$(x+2)^2-(x-1)(x+1)$$3.（15分）先化简，再求值：$$(2x-1)^2-4x(x+1)$$，其中$$x=2$$。4.（15分）已知$$a+b=6，ab=7$$，求$$(a-b)^2$$的值。四、参考答案及详细解析（一）选择题解析1.C解析：$$(x+3)^2=x^2+2\cdotx\cdot3+3^2=x^2+6x+9$$。2.B解析：A缺中间项应为$$a^2-2a+1$$；C应为$$4b^2$$；D是平方差公式，结果为$$x^2-2xy+y^2$$，只有B正确。3.A解析：$$(2x-1)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2-4x+1$$。4.A解析：$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13$$。5.C解析：$$x^2+kx+9=(x\pm3)^2$$，展开得$$k=\pm6$$。（二）填空题解析1.$$a^2+10a+25$$解析：直接套用和的完全平方公式展开。2.$$m^2-8m+16$$解析：套用差的完全平方公式展开化简。3.$$9x^2+12xy+4y^2$$解析：首尾分别平方，中间两倍首尾积。4.$$8a$$解析：$$(a+4)^2=a^2+8a+16$$。5.6解析：$$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=4+2=6$$。（三）解答题解析1.解：（1）原式$$=4a^2-12a+9$$；（2）原式$$=(4y-x)^2=16y^2-8xy+x^2$$；（3）原式$$=(100-1)^2=10000-200+1=9801$$。2.解：原式$$=x^2+4x+4-(x^2-1)=x^2+4x+4-x^2+1=4x+5$$，区分完全平方与平方差公式分别展开，再合并。3.解：原式$$=4x^2-4x+1-4x^2-4x=-8x+1$$，代入$$x=2$$得：原式$$=-16+1=-15$$。4.解：$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=36-28=8$$，利用变形公式整体代入求解。课时总结：本节核心掌握两个完全平方公式，牢记“平方结果是三项式，必有两倍中间项”，杜绝漏写2ab的经典错误。熟练掌握公式正用、简便运算、配方题型、整体代入求值四大考点，能精准区分完全平方与平方差公式。本节是整式乘法重难点，也是后续因式分解、分式化简、二次根式求值的核心基础。人教版数学（新教材）八年级上册16.3.2完全平方公式授课教师：.

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级：8年级（

）班.

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间：.

2026/9/24

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十六章整式的乘法1.理解完全平方公式(a±b)2＝

a2±2ab＋b2.(重点)2.经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景.3.能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.(难点)知识回顾计算：

(1)(a+3b)(a-3b)；(2)(3+2a)(-3+2a)；(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和两个数的差平方差平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.=a2-9b2;解：(1)原式=a2-(3b)2

=4a2-9.(2)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32新知导入【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

(p+1)2=

=

=

；

(m+2)2=

=

=

.p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)多项式乘多项式两数的和的平方p2+p+p+

12m2

+2m+2m+22两数的平方和加上它们积的2倍.探究新知【发现】两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.验证：对于任意数字，探究上述发现是否仍成立？(a+b)2

=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2.=a2+ab+ab+b2两个数的和的平方两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍探究新知【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(p−1)2=

=

=

；

(m−2)2=

=

=

.p2−2p+1m2−4m+4(p−1)(p−1)(m−2)(m−2)多项式乘多项式两个数的差的平方p2−

p−

p+

12m2−2m−2m+22两数的平方和减去它们的积的2倍探究新知【发现】两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍.验证：对于任意数字，探究上述发现是否仍成立？两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍(a-b)2

=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2.=a2-ab-ab+b2两个数的差的平方归纳总结完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2和的平方平方积的二倍平方(a-b)2=a2-2ab+b2差的平方平方积的二倍平方探究新知(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.公式特征：1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.探究新知你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？baaba2ababb2

图1(a-b)2abbaababb2图2探究新知baaba2ababb2

图1如图，边长为(a+b)的正方形的面积是

.(a+b)2它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和：

.a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2【结论】(a+b)2=a2+2ab+b2探究新知如图，边长为(a

−b)的正方形的面积是

.(a−

b)2它的面积还可以表示为：.a2−ab−ab+b2=a2+2ab+b2【结论】(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)2abbaababb2图2例题练习运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2；(2)

解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2

(4m)

n+n2=16m2+8mn+n2；(a+b)2=a2+2ab+b2a2+2abb2例题练习(a-b)2=a2-2ab+b2a2-2abb2(2)(y

)2=y2

2

y+()2=y2

y+.运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2；(2)

CA.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个返回

D返回例题练习=(100–1)2=10000–200+1解：1022=10000+400+4=10404.992=9801.(1)1022；(2)992.运用完全平方公式计算：=(100+2)2探究新知思考：

(a+b)2与(

a

b)2相等吗？

(a

b)2与(b

a)2相等吗？

(a

b)2与a2

b2相等吗？(

a

b)2=[(a+b)]2=(a+b)2相等相等(a

b)2(a2

b2)=2b22ab不一定相等若2b22ab=0，则(a

b)2=a2

b2(b

a)2=[

(a

b)]2=(a

b)2探究新知回顾之前所学的去括号法则吗？试着去掉下面式子中的括号.a+(b+c)=a–(b+c)=a+b+c把上面两个等式的左右两边对换，等式仍成立，即，

a

+b+c=a+(b+c)；a-b-

c=a

-(b+c).添括号法则a-b-c探究新知将等号左右两边对换，等式仍然成立.a

b

c=a

(b+c)符号不变符号不变添上“+()”，括号里的各项都不变符号.符号改变符号改变添上“

()”，括号里的各项都改变符号.a+b+c=a+(b+c)归纳总结添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都

；

不变符号如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号.

改变例题练习运用乘法公式计算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3) (2)(a+b+c)2.解:(1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]=x2–(2y–3)2=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.(2)原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.平方差公式完全平方公式=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.当堂练习QINGJINGYINRU1.计算：(2x-y)2=（）A.4x2-4xy+y2B.4x2-2xy+y2C.4x2-y2D.4x2+y2(2x)2-2·2x·y+y24x2-4xy+y2A2.将1052变形正确的是（）CA.1052=1002+52B.1052=(100-5)(100+5)C.1052=1002+2×100×5+52D.1052=1002+100×5+52当堂练习QINGJINGYINRU3.已知a+b=3,ab=1,则a2+b2的值为()A.7B.8

C.9

D.10A4.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（）

A.28B.-28C.24或-24D.28或-28D5.古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（

）中可以很清晰地看出公式

成立.BA.B.C.D.易错提醒：中间项的符号可以是正也可以是负，与题目中的正负号无关.当堂练习QINGJINGYINRU7.已知(m+n+1)(m+n

1)=63，则m+n=

.

86.如图1是一个宽为a、长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．则根据这两个图形间的关系，得到代数式(a+b)2

,(a-

b)2,4ab三者之间的数量关为

．(a+b)2

=(a-

b)2+4ab

4

16当堂练习QINGJINGYINRU10.利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(4)

(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2

；(5)(x+7y)2=x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2.(4)(-4a+5b)2

；

(5)

(x+7y)2

.当堂练习QINGJINGYI