2027年高考数学一轮复习专题4.11 解三角形（举一反三复习讲义）（全国）（试题版）

专题4.11解三角形（举一反三复习讲义）

【全国通用】

(1)掌握正弦定理、余弦定理及其变形

(2)理解三角形的面积公式并能应用

考点要求(3)能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题

(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际

问题

高考真题考点2024年2025年2026年

统计新课标I卷：第15题，

13分

新课标Ⅱ卷：第15题，全国一卷：第16题，

13分全国二卷：第5题，515分

解三角形

全国甲卷（文数）：第分全国二卷：第17题，

12题，5分15分

全国甲卷（理数）：第

11题，5分

1、解三角形

解三角形是高中数学重要内容，是高考必考核心考点，衔接三角恒等变

换、三角函数与平面向量知识，突出数学运算、逻辑推理、直观想象、数学

建模等数学核心素养。

从近三年的高考情况来看，高考对解三角形的考查较为稳定，考查内容、

频率、题型、难度均变化不大，在单选题、填空题、解答题中都有考查，具

体题型/分值分布如下：单选题第5~12题中考查，分值5分；填空题第11~13

题中考查，分值5分；一般在解答题第15~17题中考查，分值13分或15分；

命题规律试题整体难度中等或偏下。

从近三年的高考考情来看，高考对解三角形的考查方向比较稳定，主要

分析

有五大考查方向：①利用正、余弦定理解三角形，求解边、角基本量；②三

角形的面积、周长的计算；③三角形形状的判断；④三角形中的最值与范围

问题，常结合基本不等式或三角函数性质求解；⑤距离、高度、角度测量问

题。

在选择、填空题中主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，试题难度较

易；在解答题中①②③④这四大考查方向都有考查，其中三角形面积问题是

高频核心考点，有时也会与三角恒等变换、平面向量等知识结合考查，难度

中档，需要学生灵活求解。

知识点1解三角形的几类热点问题及其解题思路

1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即

根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角

函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2．判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘

隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3．对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形

不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b

和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形

内角和等于”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，

解三角形为例，用几何法探究如下：

图形关系式解的个数

①a=bsinA；

一解

②a≥b

A

为

锐bsinA<a<b两解

角

a<bsinA无解

A

一解

为a>b

钝

角

或

直

角a≤b无解

4．与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

知识点2测量问题的基本类型和解决方案

1．测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

类型简图计算方法

测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得

测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，

B,C与点A可

由正弦定理得

视但不可达

测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC

C,D与点A,B的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在

均可视不可达△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，

用余弦定理求AB.

2．测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：

类型简图计算方法

底部

测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.

可达

测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.

点B与

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形

C,D共线

得AB的值.

底

部

不

可

达

点B与测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.

C,D不在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三

共线角形得AB的值.

3．测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角

等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及

有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

知识点3解三角形的应用的解题策略

1．平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

2．解三角形与三角函数的综合应用

解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：

(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；

(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.

【方法技巧与总结】

1．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A+B)=sinC；

(2)cos(A+B)=-cosC；

(3)；

(4).

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

.

【题型1余弦定理解三角形】

【例1】（2026·广东广州·模拟预测）在钝角中，内角，，的对边分别为，，，若，

，，则（）△𝐴��������=8�=

∘

7�A=．620�=B．3或5C．5D．3

【变式1-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，

22

，则（）△𝐴�������4+�−�=−2�

�=A2．�=B．C．D．

π5π2ππ

6633

【变式1-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（）

A．2B．3或5C．△5𝐴��=8�D=．73�=60°�=

【变式1-3】（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若

，则（）△𝐴��,�,��,�,����

π

�=3,��=��=2��,�=1�=

A．2B．C．D．

3

3323

【题型2正弦定理解三角形】

【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（）

A．B．或△C�．���=2�=2D2．�=或45°

30°120°30°120°105°15°

【变式2-1】（2026·山西运城·一模）在中，，，则（）

1

△𝐴���=2𝐴cos�=2sin�=

A．B．C．D．

1313

3344

【变式2-2】（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且

，则为（）△𝐴��������=3�−2�+

23cAo．s�=0�B．C．D．

πππ2π

3623

【变式2-3】（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（）

π

△𝐴���=1��=3�=6�

A．B．C．或D．或

πππ2ππ2π

636333

【题型3三角形的形状判断】

【例3】（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则

π

的形状为（）���△𝐴�����=33�=4�sin�△𝐴�

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或直角三角形

【变式3-1】（2026·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，

41

则的形状是（）△𝐴��+�=3�cos�=6

△A�．��等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定的

【变式3-2】（2026·山西晋城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，

222

的面积为．△𝐴��+�−�=12

(△1)�求�角�；33

(2)若�外接圆的半径为2，判断的形状．

△𝐴�△𝐴�

【变式3-3】（2026·贵州黔西南·二模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，且.

�cos��cos�+�

sin�sin�

(1)证明：是等腰三角形；△𝐴�������=−

(2)若△，𝐴�，求的面积.

7

�=1cos�=8△𝐴�

【题型4三角形的面积与周长问题】

【例4】（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知

△𝐴��������−2�cos�+

．

222

�+�−�

(1)求2�角=；0

(2)若�，，求的面积．

�=6�+�=9△𝐴�

【变式4-1】（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：．

(1)证明：；△𝐴�������2�cos�=�−�

�=2�

(2)若，且，求的面积．

2�

2=3−12cos2+cos��=4△𝐴��

【变式4-2】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，

，且.△𝐴��,�,��,�,��=(2�,−1)�=

→→

(1c)o求s�角,2�；+�)�⊥�

�

(2)若，的面积为，求的周长．

33

�+�=4△𝐴�4△𝐴�

【变式4-3】（2026·云南·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，

，，且．△𝐴��,�,��,�,�,��∠���

217

(�1�)求=角2�A�；��=3�sin�=�cos�

(2)求的面积．

△𝐴�

【题型5三角形中的最值与范围问题】

【例5】（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，

则的取值范围是（）𝐴��,�,��,�,��=2��=2

�+A．�B．C．D．

【变式5-12】,（320+261·陕西榆林·三3模+）1,在+锐∞角中2，,2内角2+A2，B，C的对边分3别+为1,a2，2b，+c2，且，，

则周长的取值范围为（）△𝐴��=1�=2�

△A�．��B．

C．1+2,2+2D．1+3,3+3

【变式5-22】+（2022,36·+安徽3·模拟预测）在中，角1，+，2,3的+对边3分别为，，，且满足

．△𝐴��������+�+�sin�+

(s1in)求�−角si的n�大=小�；sin�+2�sin�

(2)若�，求面积的最大值．

�=3△𝐴�

【变式5-3】（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

1

△𝐴�sin�+2sin�=cos�sin�

(1)求A；

(2)若，求的周长的取值范围．

�=13△𝐴�

【题型6三角形的高、中线和角平分线】

【例6】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则

（）△𝐴���=5,𝐴=3,��=7,������=

A．B．C．D．

1519715

4227

【变式6-1】（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，

�+�

，则边上的高为（）△𝐴��,�,��,�,��=2,�=13�cos2=

�sin�𝐴

A．B．1C．D．2

3

【变式6-23】（2026·甘肃定西·一模）在中，角3所对的边分别为，且满足

.△𝐴��, �, ��, �, ��cos�+�cos�sin�=

(13)求�角cos�的−大�小；

(2)已知�，求边上的中线的长.

�=19, �=3����

【变式6-3】（2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

.△𝐴��(sin�+sin�)=�sin�−

(�1s)i求n�；

�

(2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求.

3

�=7���=2,∠������

【题型7距离、高度、角度测量问题】

【例7】（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的

八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B

所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，，，在点处测得塔顶

′

的仰角为，则龙辰塔的高度约为（��=）1（5参考数∠�据�：�取=15°31∠���=，150°�）

′

�60°𝐴sin14°29=0.253=1.732

A．46米B．48米C．50米D．52米

【变式7-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地

相距nmile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4nmile．该7船5°由甲地向正南

航行到6乙2地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东60°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（）

30°

A．6nmileB．7nmileC．nmileD．nmile

【变式7-2】（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文3峰塔6坐落于黄桷垭之巅4，是7重庆市的一座名塔，据《巴县

志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市

南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得

米，，在点处测得塔顶的仰�角为，则文峰塔的高�度,�约为（）��(参=考8

∘∘′∘

数据：∠�取��=30,∠���=）13531��60𝐴

∘′

sin1429=0.25

A．26米

B．28米

C．30米

D．32米

【变式7-3】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶

的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，�,设�,�的长度分别为.为了测出隧道的长度�，

还需直接测出（�,�,�）的值.������,𝐴,���,�,���

A．和B．和C．和D．三者

�������,�,�

【题型8解三角形与其他知识的交汇问题】

【例8】（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（）

π

△𝐴�2�=3��⋅��

A．B．C．D．

【变式8-51】+（620326·新疆·一模6）+在43中，内角，7+，33所对的边分别是4，+7，3．若

（），且，△则𝐴�的面积�为（��）���sin��−�=sin�+

sin�A．�−3���⋅B�．�=6△𝐴�C．D．

【变式8-2】（2026·湖南·三模3）在中，内角23所对的边分别为33，已知函数

，且．△𝐴��,�,��,�,��(�)=2sin�cos�−

2

(21)求3c角os�的+大小3；�(�)=0

(2)若�，的周长为，求的面积．

�=3△𝐴�3+3△𝐴�

【变式8-3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量.设.

π

2

(1)求函数的最小正周期；�=sin�,cos�,�=cos�,3sin�+��=�⋅�

(2)记�=的�内�角所对的边分别是，已知的面积为，求的长.

△𝐴��,�,��,�,���=3,�=3,△𝐴�3�

一、单选题

1．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（）

∘

A．B．△𝐴�C�．=60,��=14,��D=．34𝐴𝐴=

2．（20226·湖南湘西·三模）2在2中，内角32的对边分别为，已知，则

3

（）△𝐴��,�,��,�,�cos�=−5,�=2,�=1

sin�A=．B．C．D．

2311

510510

3．（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（）

A．B．𝐴C�．��+D1．�+2�

4．（20206,3·河北张家口·三模1）,3记的内角A，2B,，3C的对边分别为a，2b,6，c，已知，，AD为

BC边上的中线，且，则c△=（𝐴�）�=4�=3

A．��B=．3C．D．

5．（202261·湖7南株洲·模拟预2测3）的内角A，B1，7C的对边分别为a，3b，c，若，则

一定是（）△𝐴��=2�cos�△𝐴�

A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形

6．（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面

π

3

积为，则的周长为（△）𝐴��������=�=2

A．3△𝐴�B．

C．3D．4

7．（20526·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附6近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东

，距离为的海面处，并以�的速度沿北偏西的方向移�动．如果台风侵袭的范围是

3半0径°为250的圆3 k形m区域．则�该城市开始25受 k到m/台h风侵袭的时间为（60°）

250 km

A．5小时后B．10小时后C．15小时后D．20小时后

8．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则

2sin�

222

面积的最大值为（）△𝐴��������=sin�+2sin�△𝐴�

A．B．C．D．

1222

二、多选2题234

9．（2026·江西南昌·三模）已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（）

A．若，则△为�钝�角�三角�形,�.,��,�,�

222

B．若�+�<�，则△𝐴�为等腰三角形

C．在锐sin角�=cos�中，不△等�式��恒成立

△𝐴�cos�>sin�

D．若，则的取值范围为

∘∘�

�>90,C=60�2,+∞

10．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，，，，则（）

13

△𝐴�𝐴=3��=4cos∠�𝐴=13

A．外接圆的半径为

39

3

B．△𝐴�

C．��=是13钝角三角形

△𝐴�

D．内切圆的半径为

73−39

△𝐴�6

11．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，

�sin�+�sin�−�sin�

，为边上的中线，且△�，��则（）�,�,��,�,��=12�cos�−�cos�=

2sinA�．������=3B．

C．∠�𝐴的=面30积°为