2027年高考数学一轮复习专题4.5 三角恒等变换（举一反三复习讲义）（全国）（解析版）

专题4.5三角恒等变换（举一反三复习讲义）

【全国通用】

(1)会推导两角差的余弦公式

(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式

考点要求(3)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用

(4)能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，

并进行简单的恒等变换

高考真题考点2024年2025年2026年

统计新课标I卷：第4题，全国二卷：第7题，5

5分分

新课标Ⅱ卷：第13题，全国一卷：第11题，6全国二卷：第17题

三角恒等变5分分（1），6分

换全国甲卷（文数）：第全国二卷：第8题，5北京卷：第16题（1），

9题，5分分5分

全国甲卷（理数）：第天津卷：第16题（3），

8题，5分5分

1、三角恒等变换

三角恒等变换是三角函数的重要工具，是高考数学的热点、重点内容。

从近三年的高考情况来看，高考对三角恒等变换的考查较为稳定，考查内容、

频率、题型、难度均变化不大，主要有三大考查方向：①两角和与差的三角

函数公式与二倍角的化简求值；②辅助角公式统一函数名，研究三角函数的

命题规律性质；③三角恒等变换与三角函数、解三角形、平面向量的综合应用。

从近三年的高考考情来看，三角恒等变换在选择题、填空题、解答题中

分析

都有考查，在选择题、填空题中主要考查：和差角公式、二倍角公式的直接

化简求值，辅助角公式的应用这两大方向，试题难度中等或偏下；在解答题

中三角恒等变换不会单独考查，三角恒等变换往往与三角函数、解三角形等

知识结合考查，此时试题难度中等，复习时需要同学学会熟练运用公式，灵

活变换。

知识点1两角和与差的三角函数公式

1．两角和与差的余弦公式

(1)两角差的余弦公式

对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(2)两角和的余弦公式

对于任意角α，β有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

(3)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

2．两角和与差的正弦公式

(1)两角和与差的正弦公式的结构特征

(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

3．两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式的结构特征

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.

知识点2二倍角公式

1．二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函数公式β=α简记符号

正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α

2222

余弦cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinαC(α+β)C2α

正切T(α+β)T2α

2．二倍角公式的变形应用

(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

.

(4)升幂公式

；.

知识点3简单的三角恒等变换

1．辅助角公式

通过应用公式[或]将形如

asinα+bcosα(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或

].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三

角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.

2．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换

(1)角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为

突出.

常用的角的代换形式：

①α=(α+β)-β；

②α=β-(β-α)；

③；

④；

⑤；

⑥.

(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要

特别注意的是“1”的代换.

知识点4三角恒等变换的应用技巧

1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

3．辅助角公式的运用技巧

对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.

4．角的变换问题的解题策略：

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所

求角”变成“已知角”.

(3)常见的角变换：，，，

，等.

知识点5三角恒等变换几类问题的解题策略

1．给值求值型问题的解题思路

给值求值型问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出

相应角的三角函数值，代入即可.

2．给角求值型问题的解题思路

给角求值型问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之

间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而

得解.

3．给值求角型问题的解题思路

给值求角型问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.

4．三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解

决相关问题.

【方法技巧与总结】

1．.

2．降幂公式：，.

3．，，.

【题型1两角和与差的三角函数公式】

【例1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）若，，则（）

1

sin�+�=3tan�+tan�=2cos�cos�=

A．B．C．D．

1112

12633

【答案】B

【解题思路】根据两角和的正弦公式结合商数关系可得，即可得

解.sin�+�=tan�cos�cos�+tan�cos�cos�

【解答过程】因为

sin�+�=sin�cos�+cos�sin�

=tan�cos�cos�+tan�co，s�cos�

所=以cos�cos�tan�+，tan所�以．

11

2cos�cos�=3cos�cos�=6

故选：B.

【变式1-1】（2026·甘肃白银·三模）已知点是角终边上的一点，则（）

π

1,−2�tan�−4=

A．B．C．D．

11

3−33−3

【答案】C

【解题思路】应用三角函数定义结合两角差正切公式计算求解.

【解答过程】点是角终边上的一点，则，

−2

1,−2�tan�=1=−2

所以π.

πtan�−tan4tan�−1−2−1

π

tan�−4=1+tan�tan4=1+tan�=1−2=3

故选：C.

【变式1-2】（2026·广东汕头·二模）的值为（）

°°3°°

tan19+tan11+3tan19tan11

A．B．C．1D．

32

【答案】A323

【解题思路】根据结合两角和差的正切公式运算求解.

°°°

【解答过程】因为30=19+11，

°°

tan19+tan113

°°°°°

tan30=tan19+11=1−tan19tan11=3

整理可得.

°°3°°3°°3°°3

故选：A.tan19+tan11+3tan19tan11=31−tan19tan11+3tan19tan11=3

【变式1-3】（2026·安徽·模拟预测）已知，且，则（）

1

cos�−�=sin�+�tan�tan�=2tan�+�=

A．3B．C．D．-3

11

3−3

【答案】A

【解题思路】根据余弦差公式和正弦和公式展开已知等式，结合，转

1

cos (�−�)=sin (�+�)tan�tan�=2

化为正切关系，最后根据正切和公式得到答案.

【解答过程】由已知，可得：，

因为存c在os，(�所−以�)=sin(�+�)，cos�cos�+sin�sin�=sin�cos�+cos�sin�

1

将上式ta两n�边ta同n�时=除2以c可os得�cos�≠0，

代入，得co：s�cos�1+tan�tan�，=tan�+tan�

113

tan�tan�=2tan�+tan�=1+2=2

根据正切和公式，

tan�+tan�

tan(�+�)=1−tan�tan�

代入和：33.

3122

11

tan�+tan�=2tan�tan�=2tan(�+�)=1−2=2=3

故选：A．

【题型2二倍角公式】

【例2】（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知为锐角，若，则（）

1

�cos�=4sin2�=

A．B．C．D．

1515151

【答案】A815162

【解题思路】首先根据同角三角函数的关系求出，然后根据正弦的二倍角公式即可求解.

【解答过程】因为为锐角，所以，由同si角n�三角函数平方关系得：

22

�，sin �>0sin �+cos �=1sin �=

21215

1−cos �=1−(4)=4

由正弦二倍角公式，代入得：.

15115

故选：A.sin 2�=2sin �cos �sin 2�=2×4×4=8

【变式2-1】（2026·云南·模拟预测）若，则（）

A．B．tan�=C2．cos2�=D．

4332

−5−4−5−5

【答案】C

【解题思路】根据二倍角公式，同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【解答过程】

2222.

cos�−sin�1−tan�1−23

222222

故选：C．cos2�=cos�−sin�=cos�+sin�=1+tan�=1+2=−5

【变式2-2】（2026·辽宁朝阳·三模）已知，则（）

π2

sin�+4=4sin2�=

A．B．C．D．

3311

−44−44

【答案】A

【解题思路】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解.

1

sin�+cos�=2

【解答过程】由，得，则，

π2121

sin�+4=4sin�+cos�=2(sin�+cos�)=4

所以，即得，

221221

sin�+cos�+2sin�cos�=4sin�+cos�+sin2�=4

由，得．

223

sin�+cos�=1sin2�=−4

故选：A.

【变式2-3】（2026·湖南湘西·三模）已知，则（）

3

cos�+�=2sin�−�,tan�=−2tan2�=

A．-4B．C．D．

8816

−151515

【答案】C

【解题思路】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果.

【解答过程】由，得tan�tan�，

即cos�+�=2sin�−�，c所os以�cos�−sin�sin�，=2sin�cos�−2cos�sin�

cos�−2sin�

cos�−2sin�cos�= sin�−2cos�sin�sin�−2cos�=tan�

所以，所以．

1−2tan�32tan�8

2

tan�−2=−2,tan�=−4tan2�=1−tan�=15

故选：C.

【题型3三角函数式的化简】

【例】（河北模拟预测）化简：（）

32026··°

cos40

°

A．B．1+sin40C=．D．

°°°°

【答案】Atan25sin25tan65sin65

【解题思路】利用二倍角公式、同角三角函数关系弦化切，及两角差的正切公式和即可求解.

°

【解答过程】1=tan45

°2°2°°°°°°.

cos40cos20−sin20cos20−sin201−tan20tan45−tan20°

°°°2°°°°°

1+sin40=sin20+cos20=sin20+cos20=1+tan20=1+tan45⋅tan20=tan25

故选：A.

【变式3-1】（2026·江西·一模）化简（）

A．B．tan35°+Cta．n100°+tan35°tan80D°．=

【答案】Dtan65°−tan65°−1

【解题思路】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.

【解答过程】由两角和的正切公式得

tan35°+tan100°=tan(100°+35°)1−tan35°tan100°

=由诱tan导13公5式°1得−tan35°tan100°=−1×1−tan35°tan，100°=tan35°tan100°−1

则原式可化为tan80°=tan(180°−100°)=−tan100°，故D正确.

故选：D.tan35°tan100°−1−tan35°tan100°=−1

【变式】（高一下江西南昌期中）化简：（）

3-225-26··2

sin2�−2cos�

π

sin�−4=

A．B．C．D．

【答案】A22cos�2cos�2sin�sin�

【解题思路】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简.

【解答过程】原式．

2

2sin�cos�−2cos�22cos�sin�−cos�

2

=(sin�−cos�)=sin�−cos�=22cos�

故选：A.2

【变式】（重庆模拟预测）式子化简的结果为（）

3-32026··22

2sin18°3cos9°−sin9°−1

cos6°+3sin6°

A．B．1C．D．2

1

22sin9°

【答案】B

【解题思路】根据三角恒等变换公式即可得出答案.

【解答过程】原式

2222

2sin18°3cos9°−sin9°−cos9°−sin9°

=2sin6°+30°

22.

2sin18°2cos9°−2sin9°2sin18°cos18°sin36°

故=选：B.2sin36°=sin36°=sin36°=1

【题型4给角求值型问题】

【例】（湖南永州模拟预测）的值为（）

42026··∘

3tan10−1

∘

A．B．sin10C．D．

【答案】D24−2−4

【解答过程】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．

∘

3tan10−1

【解题思路】3sin10∘

∘∘∘∘∘∘.

3tan10−1cos10∘−13sin10−cos102sin10−302sin20

∘∘∘∘1∘1∘

故选：D.sin10=sin10=sin10cos10=2sin20=−2sin20=−4

【变式4-1】（25-26高一下·四川·期中）计算（）

°°°°

cos43sin73+sin223cos287=

A．B．C．D．

1313

【答案】A22−2−2

【解题思路】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解.

【解答过程】由题意可得：

°°°°°°°°°°

cos43sin73+sin223cos287=cos43sin73+sin180+43cos360−73

.

°°°°°°°1

=sin73cos43−cos73sin43=sin73−43=sin30=2

故选：A.

【变式】（高三全国一轮复习）（）

4-225-26··3

3−4sin20°+8sin20°

°

2sin20°sin480=

A．B．C．D．2

2332

【答案】A333

【解题思路】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求

°°

三角函数式的值32sin20+40

【解答过程】

32

3−4sin20°+8sin20°3−4sin20°1−2sin20°

2sin20°sin480°=2sin20°sin60°

.

2sin60°−4sin20°cos40°2sin40°cos20°−2sin20°cos40°2sin20°23

故=选：A.3sin20°=3sin20°=3sin20°=3

【变式4-3】（2026高三上·安徽六安·专题练习）=（）

131

22

cos80°−cos10°⋅cos20°

A．16B．32C．D．

【答案】B−16−32

【解题思路】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和

差公式变形化简即可.

【解答过程】由

2°2°

131131cos10−3sin101

2°2°°2°2°°2°2°°

cos80−cos10⋅cos20=sin10−cos10⋅cos20=sin10cos10⋅cos20

2°°°

1−4sin1011−21−cos202cos20−1

=4×2°⋅°=8×°°=16×°°°°

sin20cos20sin20⋅sin40cos20−40−cos20+40

°°

2cos20−12cos20−1

=16×=32×°=32

°1

cos20−2cos20−1

故选：B.2

【题型5给值求值型问题】

【例5】（2026·河南开封·模拟预测）已知，若，则（）

3ππ

�+�=2tan�=tan�+4tan2�=

A．0B．1C．D．-1

1

−2

【答案】B

【解题思路】根据诱导公式以及正切的和差角公式可得，即可由正切的二倍角公式求解.

2

【解答过程】由，可得tan�=−2tan�+1，

3ππ3ππ

�+�=2tan�=tan�+4tan�=tan2−�=tan�+4

故3π，因此，

3πsin2−�−cos�11π

3π

tan2−�=cos2−�=−sin�=tan�tan�=tan�+4

故，化简得，

1πtan�+12

tan�=tan�+4=1−tan�tan�=−2tan�+1

故.

2tan�2tan�

2

tan2�=1−tan�=1−−2tan�+1=1

故选：B.

【变式5-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，则（）

31

cos�−�=4sin�sin�=8cos2�+2�=

A．B．C．D．

1111

−44−22

【答案】C

【解题思路】利用三角恒等变换求解.

【解答过程】因为，，

31

cos�−�=cos�cos�+sin�sin�=4sin�sin�=8

所以，

5

cos�cos�=8

所以，

511

cos�+�=cos�cos�−sin�sin�=8−8=2

所以.

211

cos2�+2�=cos2�+�=2cos�+�−1=2×4−1=−2

故选：C.

【变式5-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）若，则

ππ

−2<�−�<2,2cos�+sin�=2,2sin�−cos�=−1cos�+

（）

π

3=

A．B．C．D．

3−6663+6

【答案】D6636

【解题思路】对式子进行平方，再相加化简得，进而可得，再回代化简可得，

1π6

然后用和差公式求解即可．sin�−�=2�=�+6cos�=3

【解答过程】因为，所以①；

22

又因为2cos�+，sin所�以=24cos�+4cos�sin�+②sin.�=2

22

2sin�−cos�=−14sin�−4sin�cos�+cos�=1

①+②得，所以.

1

4−4sin�−�+1=3sin�−�=2

又因为，所以，即.

ππππ

−2<�−�<2�−�=6�=�+6

把代入，得，

ππ

�=�+62cos�+sin�=22cos�+6+sin�=2

则，即.

6

3cos�=2cos�=3

把代入，得，

ππ

�=�+62sin�−cos�=−12sin�+6−cos�=−1

则，即.

3

3sin�=−1sin�=−3

所以.

πππ61333+6

故选：coDs.�+3=cos�cos3−sin�sin3=3×2−−3×2=6

【变式5-3】（2026·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则

33

（）sin�−�=5cos2�=−5�,�sin�+�=

A．B．C．D．1

241324

−252525

【答案】D

【解题思路】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利

用两角差的正弦公式求值即可.sin2�cos�−��+�=2�−�−�

【解答过程】因为都为锐角，所以，所以，，

ππ

�,�0<�,�<20<2�<π−2<−�<0

所以，

ππ

−2<�−�<2

因为。，所以，

2

3234

51−cos2�1−−55

因为cos2�=−0，<2�<π，sin2�===

3ππ

sin�−�=5−2<�−�<2

所以，

2

234

所以cos�−�=1−sin�−�=1−5=5

sin�+�=sin2�−�−�=sin2�cos�−�−cos2�sin�−�

.

4433

=5×5−−5×5=1

故选：D.

【题型6给值求角型问题】

【例6】（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）已知且，，则（）

52

�,�∈0,πcos�=5cos�+�=10�−�=

A．B．C．D．

π3ππ3π

44−4−4

【答案】A

【解题思路】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，

然后得出结论．sin(�−�)=sin[2�−(�+�)]sin�−�

【解答过程】因为且，函数在上单调递减，

51π

�∈(0,π)cos�=5<2=cos3�=cos�0,π

，，

ππ2π

�∈(3,2)2�∈(3,π)

又，，所以，

2π

�,�∈0,πcos�+�=10�+�∈(0,2)

，

272

sin(�+�)=1−cos(�+�)=10

，，

252324

cos2�=2cos�−1=2×(5)−1=−5sin2�=1−cos2�=5

所以，

423722

sin(�−�)=sin[2�−(�+�)]=sin2�cos(�+�)−cos2�sin(�+�)=5×10−(−5)×10=2

又，，所以，结合，可得，

πππππππ

�∈(3,2)�+�∈(0,2)�=�+�−�<2−3=6�>0�∈(0,6)

所以，所以，

πππ

�−�∈(6,2)�−�=4

故选：A．

【变式6-1】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值

32

为（）��tan�=4cos�+�=−102�+�

A．B．C．D．

3π5π7π

4π44

【答案】A

【解题思路】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解．

【解答过程】因为�，�为锐角，，，

32

��tan�=4cos�+�=−10

所以，，，

3472ππ

sin�=5,cos�=5,sin�+�=10�∈0,2�+�∈2,π

所以，

π3π

则2�+�∈2,2

sin2�+�=sin，�+�+�=sin�+�cos�+cos�+�sin�

724232

=10×5−10×5=2

所以，

3π

2�+�=4

故选：A．

【变式6-2】（2026·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（）

ππ1

�∈0,2�∈0,2tan�+tan�=cos�

A．B