湖南长沙市部分校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题（含解析）

2026年秋季第一次学情分析数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查整式的运算．根据合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方公式，逐一进行计算，判断即可．【详解】解：A、，本选项不符合题意；B、，本选项不符合题意；C、，本选项不符合题意；D、，本选项符合题意；故选：D．2.在下列函数中表示y关于x的反比例函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考査了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，根据定义作答即可．【详解】解：A．，不是y关于x的反比例函数，故此选项不符合题意；B．是关于的反比例函数，故此选项符合题意；C．是关于的正比例函数，故此选项不符合题意；D．不是y关于x的反比例函数，故此选项不符合题意．故选：B．3.如图，，点在直线上，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，解题的关键是利用垂直的定义和平行线的性质逐步计算角度．先由垂直的定义得，再结合的度数求出的度数；接着利用平行线的性质得到与相等；最后根据邻补角的性质求出的度数．【详解】解：如图，，．故选：B．4.若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（

）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可．【详解】解：把代入方程得，解得：．故选：C．5.求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（）A.的值是5B.该组数据的平均数是7C.该组数据的众数是6D.若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小【答案】C【解析】【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误．【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确．选项B、平均数，正确．选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误．选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确．综上，错误的说法是C．故选C6.对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A.图象分布在第二、四象限B.当时，随的增大而增大C.图象经过点D.若点都在图象上．且，则【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数，当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵，∴图象分布在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，故A，B选项正确，不符合题意；当时，，∴图象经过点，故C选项正确，不符合题意；当点在第二象限，第四象限内时，∵，∴，故D选项错误，符合题意；故选：D．7.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程．【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为，∴第二个月新建充电桩个数为，∴第三个月新建充电桩个数为，∵第三个月新建个充电桩，∴可列方程为．8.若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案．【详解】∵，∴分两种情况：

（1）当时，正比例函数数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；

（2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．

故选：B．本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质．9.关于二次函数，下列说法正确的是（）A.其图像的开口向上 B.其图像的对称轴为直线C.其最小值为5 D.当时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：∵，，∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；对称轴是直线，故选项B不符合题意；当时y取得最大值，故选项C不符合题意；当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；故选：D．10.如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】（1）求出，同理，可判断⑤①；分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则，根据，可得，可得四边形为平行四边形，可判断②；证明四边形和是平行四边形，可判断④．【详解】解：∵轴，∴，同理，故⑤正确；∴，故①正确；如图，分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则，∴，∵，∴，即，∴四边形为平行四边形，∴，故②正确；③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；根据题意可得，∵，∴四边形是平行四边形，∴，同理四边形是平行四边形，∴，∴，故④正确；因此正确的结论有4个：①②④⑤．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.把多项式分解因式的结果是_____．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：=．故答案为．此题主要考查了公式法因式分解，正确应用公式是解题关键．12.已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．【答案】13【解析】【分析】对于一元二次方程，若两个实数根为，则满足，.利用该关系得到与的值，代入所求代数式计算即可．【详解】∵m，n是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系可得：，，∴．13.如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是_______度．【答案】65【解析】【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：，∴，∵，∴．故答案为：65．本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．14.某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人．【答案】【解析】【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可．【详解】解：设这个数学小组共有人，∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡，∴总贺卡数可表示为，据此列方程，得，整理，得，解得，．∵人数不能为负数，∴舍去，即这个数学小组共有人．15.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____．【答案】【解析】【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得．16.如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则方程的解是___________．【答案】【解析】【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解．【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为：，∵抛物线与轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为，∴另一个与轴的交点为，∴方程的两个根为．故答案为：三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．【详解】解：原式18.先化简，再求值：，其中，．【答案】化简结果为，值为【解析】【详解】解：，当，时，原式．19.用适当的方法解下列方程：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法进行解方程，即可作答．（2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．【小问1详解】解：∴，即∴【小问2详解】解：∵，∴，，，∴或，20.如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，，求矩形的面积．【答案】（1）证明：，分别是，的中点，是的中位线，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）【解析】【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证；（2）由（1）可得，，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得，最后问题可求解．【小问1详解】略【小问2详解】解：四边形是矩形，，，，设，则，在中，由勾股定理可得，，即，解得：，，是的中位线，，，．21.如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出当时的取值范围；（3）在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在，【解析】【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用.（1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出；（2）直接根据函数图像作答即可；（3）求出直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，求出直线的解析式为：，求出直线与x轴的交点P的坐标即可.【小问1详解】把点代入，得：∴反比例函数的解析式为.把点代入，得：∴把点，代入，得，解得:.∴一次函数的解析式为.【小问2详解】∵，由图可知，当时，或.【小问3详解】存在.直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P.设直线的解析式为：.把，代入，得：，解得：.∴直线的解析式为：.∴直线与x轴的交点P的坐标为.22.如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）点的坐标是时，有最大面积，最大面积是．【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围；（3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是．【小问1详解】解：当时，可得：，解得：，点的坐标为，设点的坐标是，抛物线的对称轴为直线，可得：，解得：，点的坐标为，当时，可得：，点的坐标是，把点、、的坐标代入，可得：，解得：，抛物线的解析式为；【小问2详解】解：抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线有最小值，最小值为，当时，，当时，，当时，；【小问3详解】解：设点的坐标是，如下图所示，过点作直线轴，交直线于点，则点的横坐标为，纵坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，，，整理可得：，当时有最大面积，最大面积是，此时，即点的坐标是．23.中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元（2）当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，（1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程求解即可；（2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可；解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式．【小问1详解】解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，依题意，得：，解得：，经检验：是所列方程的解且符合题意，∴（元），答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元；【小问2详解】设售价定为元，利润为元，依题意，得：，∵∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值，∴当时，有最大值，最大值为元，答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元．24.在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为．根据定义，解答下列问题：（1）①点的“郡值”为__________；②函数的“最优郡值”为__________；（2）线段的“最优郡值”为，求的值；（3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值．【答案】（1）；（2）或（3）或【解析】【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为；（2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值；（3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值．【小问1详解】解：①点的“郡值”为；②，，在时随的增大而减小，时，的最大值为，函数的“最优郡值”为．【小问2详解】解：线段，，的“最优郡值”为，需要分和两种情况讨论，当，即时，随增大而减小，要取得最大值，则，解得，经检验符合；当，即时，随增大而增大，要取得最大值，则，解得，经检验符合，综上所述，或．【小问3详解】解：二次函数图象的顶点在直线上，，，二次函数“郡值”表达式为，二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为，需要分三种情况讨论对称轴的位置．当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小，当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）；当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，，该