正弦定理试题及详细答案

正弦定理经典试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，已知A=45°，B=60°，a=10，则边c的长度为（）。A.5√2B.5√3C.10√2D.10√32.在△ABC中，已知a=3，b=√7，C=120°，则边c的长度为（）。A.1B.2C.4D.53.在△ABC中，已知a=4，b=8，A=30°，则角B的可能取值个数是（）。A.0B.1C.2D.无数4.在△ABC中，若sinA/a=sinB/b，则△ABC的形状一定是（）。A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.任意三角形5.在△ABC中，已知C=90°，a=6，b=8，则sinA的值为（）。A.3/5B.4/5C.3/4D.4/36.在△ABC中，已知A=60°，a=10，b=5√3，则△ABC的面积是（）。A.25√3B.50C.75D.1007.在△ABC中，已知A=30°，B=45°，c=2√2，则边a的长度为（）。A.√2B.2C.2√2D.48.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120°，则cosA的值是（）。A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/29.如果一个三角形的边长分别为5,7,8，那么这个三角形的最小内角一定是对应最长边的哪个角？（）A.最长边所对的角B.次长边所对的角C.最短边所对的角D.不能确定10.已知△ABC中，a:b:c=3:4:5，且A<B<C，则cosA的值是（）。A.3/5B.4/5C.1/2D.-1/2二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。请将答案填在答题卡相应位置）11.在△ABC中，已知a=√3，b=1，B=30°，则A=______度。12.在△ABC中，已知A=60°，b=4，c=2√3，则a=______。13.在△ABC中，若sinA/a=sinB/b=sinC/c=k，则k的取值范围是______。14.在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则cosB=______。15.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=6，b=8，c=10，则cosA+cosB+cosC=______。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）在△ABC中，已知a=10，b=6，C=60°。求：（1）边c的长度；（2）sinA的值。17.（本小题满分12分）在△ABC中，已知A=45°，B=75°，c=√6。求：（1）边a的长度；（2）△ABC的面积。18.（本小题满分14分）在△ABC中，已知a=3√2，b=3，且sinA=√3/2。（1）求角A的大小；（2）求边c的长度；（3）判断△ABC的形状。19.（本小题满分15分）在△ABC中，已知a=7，b=5，且cosC=1/7。（1）求边c的长度；（2）求sinA的值；（3）求△ABC的面积。20.（本小题满分16分）在△ABC中，已知a=2，b=√7，c=3。（1）求cosA的值；（2）求角B的大小；（3）若D是BC边上的中点，求AD的长度。试卷答案一、选择题1.B2.C3.C4.A5.B6.C7.B8.D9.C10.B二、填空题11.1512.2√713.0<k≤114.3/815.9/5三、解答题16.解：（1）由正弦定理，sinA/a=sinC/c，得sinA=(a/c)sinC=(10/√34)*(√3/2)=5√3/√34。因为a<c，所以A<C，A为锐角。sinA=5√3/√34。由正弦定理，sinB/b=sinC/c，得sinB=(b/c)sinC=(6/√34)*(√3/2)=3√3/√34。由a²=b²+c²-2bc*cosA，得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(36+34-100)/(2*6*√34)=-30/(12√34)=-5/√34。由余弦定理，c²=a²+b²-2ab*cosC，这里求c，但已知a,b,C。更直接地，由sin²A+cos²A=1，得sin²A=(25*3/34)=75/34，cos²A=1-75/34=34/34-75/34=-41/34。这里发现计算错误，应使用余弦定理直接求c。正确使用余弦定理求c：c²=a²+b²-2ab*cosC。这里cosC已知，但题目条件是a=10,b=6,C=60°。c²=10²+6²-2*10*6*cos60°=100+36-120*(1/2)=136-60=76。c=√76=2√19。答：边c的长度为2√19。（2）由正弦定理，sinA/a=sinC/c，得sinA=(a/c)sinC=(10/2√19)*(√3/2)=5√3/(2√19)。答：sinA的值为5√3/(2√19)。*修正：题目条件是C=60°，sinC=√3/2。**修正计算：*由正弦定理，sinA/a=sinC/c，得sinA=(a/c)sinC=(10/√34)*(√3/2)=5√3/√34。答：sinA的值为5√3/√34。17.解：（1）由三角形内角和，A+B+C=180°，得C=180°-45°-75°=60°。由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得a=(c/sinC)sinA=(√6/sin60°)sin45°=(√6/(√3/2))*(√2/2)=(2√6/√3)*(√2/2)=(2√2/√3)*(√2/2)=2*2/(2√3)=2/√3=2√3/3。答：边a的长度为2√3/3。*修正：*由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得a=(c/sinC)sinA=(√6/sin60°)sin45°=(√6/(√3/2))*(√2/2)=(2√6/√3)*(√2/2)=2*(√6*√2)/(2√3)=2*√12/(2√3)=2*2√3/(2√3)=2。答：边a的长度为2。（2）由正弦定理，a/sinA=b/sinB，得sinB=(b/a)sinA=(1/2)sin60°=(1/2)*(√3/2)=√3/4。B=arcsin(√3/4)。由面积公式S=(1/2)ab*sinC，得S=(1/2)*2*1*sin60°=1*(√3/2)=√3。答：△ABC的面积为√3。18.解：（1）由sinA=√3/2，得A=60°或A=120°。若A=120°，则A+B>180°（因为B=180°-A-C，C为三角形内角，C>0），矛盾。所以A=60°。答：角A的大小为60°。（2）由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得c=(a/sinA)sinC=(3√2/sin60°)sin60°=3√2。答：边c的长度为3√2。（3）由余弦定理，a²=b²+c²-2bc*cosA，得cosA=(a²-b²-c²)/(-2bc)=(18-9-18)/(-2*3√2*√3)=-9/(-6√6)=3/(2√6)=√6/4。因为cosA=√6/4>0，且A=60°，所以△ABC为锐角三角形。答：△ABC的形状为锐角三角形。19.解：（1）由余弦定理，c²=a²+b²-2ab*cosC，得c²=7²+5²-2*7*5*(1/7)=49+25-10=64。c=8。答：边c的长度为8。（2）由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得sinA=(a/c)sinC=(7/8)*(1/2)=7/16。答：sinA的值为7/16。（3）由面积公式S=(1/2)ab*sinC，得S=(1/2)*7*5*sin120°=(35/2)*√3/2=(35√3)/4。答：△ABC的面积为(35√3)/4。20.解：（1）由余弦定理，c²=a²+b²-2ab*cosC，得cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(2²+√7²-3²)/(2*2*√7)=(4+7-9)/(4√7)=0/(4√7)=0。因为C=arccos(0)，所以C=90°。△ABC为直角三角形，且C为直角。由勾股定理，a²+b²=c²，得2²+(√7)²=3²，4+7=9，正确。在直角三角形中，sinA=a/c=2/3，sinB=b/c=√7/3，cosA=b/c=√7/3，cosB=a/c=2/3。所以cosA=b/c=√7/3。答：cosA的值为√7/3