经济数学微积分（第4版）课件全套 第1-6章函数、极限与连续 - -无穷级数

第1章函数、极限与连续经济数学微积分（第4版）09本章内容总结与典型题型本讲内容309

内容总结与典型题型第一章函数极限连续第一章内容总结409

内容总结与典型题型函数函数的概念和性质反函数与复合函数常用经济函数概念定义，定义域，值域，分段函数性质单调性、奇偶性、周期性、有界性反函数定义，三角函数与反三角函数定义，复合与分解，基本初等函数单利与复利公式需求函数与供给函数成本函数与平均成本函数收益函数与利润函数复合函数509

内容总结与典型题型极限数列与函数的极限无穷大、无穷小及其阶的比较极限的运算定义收敛、发散，几个常用数列极限性质有界性、唯一性、保号性，极限存在的重要条件定义和性质利用左右极限无穷大与无穷小的关系，无穷小的性质四则运算法则复合运算法则——变量替换法极限存在准则、两个重要极限函数的连续性无穷小的性质、无穷大与无穷小的关系等价无穷小替换609

内容总结与典型题型连续连续的概念间断点的类型连续函数的性质定义1定义2第一类可去间断点、跳跃间断点第二类无穷间断点，振荡间断点连续函数的四则运算、复合运算闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理介值定理零点定理709

内容总结与典型题型第一章典型题型一、函数的定义域、函数的表达求函数的定义域.要使函数有意义，须满足：即解得📚例1解809

内容总结与典型题型设求的表达式.设求的表达式.📚例2解📚例3解909

内容总结与典型题型二、极限的计算求的反函数.

原式

原式=0原式=-1📚例4解📚例5解📚例6解📚例7解1009

内容总结与典型题型原式原式原式原式📚例8解解📚例9📚例10📚例11解解1109

内容总结与典型题型原式原式∴原式=0∴原式=1📚例12解📚例13解📚例14解📚例15解1209

内容总结与典型题型原式原式原式原式📚例16解📚例18解📚例17解📚例19解1309

内容总结与典型题型三、由已知条件求参数由已知，得故a=6,b=-7设，试确定a,使f(x)连续.由函数连续，得f(x)在x=0处的左右极限相等，即故a=0📚例20解📚例21解数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续161.1函数的概念和性质1.2反函数与复合函数1.3常用的经济函数介绍1.4数列、函数的极限本章主要内容包括：第1章

函数、极限与连续1.5无穷小与无穷大1.6极限的运算法则1.7极限存在准则与两个重要极限1.8函数的连续性01函数的概念和性质本讲内容二、函数的概念三、函数的表示法五、小结一、区间与邻域四、函数的几何特性

了解区间和邻域，理解函数的概念，掌握函数的表示法，会求函数的定义域.学习要求：1801

函数的概念和性质一、区间和邻域（1）区间:介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,1901

函数的概念和性质有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半闭半开区间,称为半开半闭区间,2001

函数的概念和性质（2）邻域:设a与δ是两个实数，且δ>0,数集称为a的δ邻域.点的去心邻域,2101

函数的概念和性质把开区间称为a的左δ邻域，把开区间称为a的右δ邻域，即或故📚例1解2201

函数的概念和性质二、函数的概念D称为定义域，记作.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：

设x，y是两个变量，D是一个非空数集，如果按照某个对应法则f，对于每个x∈D，变量y都有唯一确定的值与之对应，则称这个对应法则f为定义在D上的函数，x称为自变量，y称为因变量.

📖定义2301

函数的概念和性质自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.（又称自然定义域）求函数的定义域.📚例2解由得24定义域的求法：（5）

、

中.（4）tanx中，；

cotx中，；（3）对数的真数大于0；（2）偶次根号被开方数大于等于0；（1）分母不为零；01

函数的概念和性质2501

函数的概念和性质在平面直角坐标系xOy中，点集

G={(x,y)│y=f(x),x∈Df}称为函数y=f(x)的图形.📖定义2601

函数的概念和性质

(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)绝对值函数xyo27(3)取整函数y=[x]12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线显然:[x]表示不超过x的最大整数01

函数的概念和性质2801

函数的概念和性质在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2901

函数的概念和性质📚例3依法纳税是每个公民应尽的义务.自2020年，我国个人所得税实行年度综合所得汇缴清算政策.汇算的计算公式如下.30解(1)3101

函数的概念和性质3201

函数的概念和性质x=300000-(3000+400+2000+2000)×12=211200所以张某应补缴个人所得税13320-40×12=12840元.y

=0.2×(211200-60000)-16920=13320.(2)y

=0.2×(x-60000)-16920(3)33设01

函数的概念和性质📚例4解341．函数的单调性:三、函数的几种几何特性

如果函数f(x)定义域为D,区间I

D，如果对于区间I内的任何两点x1和x2，当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))则称函数f(x)在I内单调增加(或单调减少），用符号表示为或01

函数的概念和性质35判断函数单调性的方法：大于或小于0xyoxyo（1）作差判断（2）求导判断01

函数的概念和性质36证明函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内是单调增加的.任取x1,x2

∈(-∞,+∞),且x1＜

x2，则有所以，函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内是单调增加的.01

函数的概念和性质📚例5证372．函数的奇偶性:偶函数

设D关于原点对称，如果对于任意的x∈D，-x∈D，恒有01

函数的概念和性质38奇函数yxox-x01

函数的概念和性质39判别函数和的奇偶性.所以，f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数.定义域均为R,对任意的x∈D,都有思考：任意一个函数都可以表示为偶函数与奇函数之和？01

函数的概念和性质📚例6解403．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.01

函数的概念和性质41M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX4．函数的有界性:设函数y=f(x)的定义域为D,数集XD,如果存在常数M>0,对任意的x∈X

，恒有

则称f(x)在X上有界。如果对任意的正数M>0,总有x∈X

,使得则称f(x)在X

上无界。01

函数的概念和性质42例如，函数而在

内有界.内无界，在有界有界无界函数的有界性与自变量的范围有关.01

函数的概念和性质43小结：1.1

函数的概念和性质1.函数的有关概念：函数、定义域、值域.2.函数的几何特性：单调性、奇偶性、周期性、有界性.数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续02反函数与复合函数本讲内容

理解反函数、复合函数的概念，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解三角函数和反三角函数的定义域、图形和性质；理解基本初等函数、初等函数的概念.学习要求：三、复合函数一、反函数五、小结四、基本初等函数、初等函数二、三角函数与反三角函数47一、反函数设函数f的定义域为D,值域为W,如果对W中的任何一个实数y,D中有唯一的一个x,使y=f(x)成立.那么把y看成自变量,x看成因变量,x是定义在W上y的函数,称为y=f(x)的反函数,记为x=f

-1(y),其定义域是W,值域D.📖定义02

反函数与复合函数48按习惯，将函数y=f(x)的反函数记为y=f-1(x).DWDW反函数注意：函数y=f(x)与x=f-1(y)在同一坐标系中表示同一曲线；而y=f(x)与y=f-1(x)在同一坐标系中表示关于y=x对称的曲线.02

反函数与复合函数4902

反函数与复合函数（反函数存在定理）单调函数f必存在单调的反函数，且此反函数与f具有相同的单调性.📖定理5002

反函数与复合函数故值域为📚例1解5102

反函数与复合函数正弦函数二、三角函数与反三角函数1.三角函数5202

反函数与复合函数余弦函数5302

反函数与复合函数正切函数,5402

反函数与复合函数余切函数5502

反函数与复合函数正割函数5602

反函数与复合函数余割函数5702

反函数与复合函数2.反三角函数值域5802

反函数与复合函数值域5902

反函数与复合函数值域6002

反函数与复合函数值域6102

反函数与复合函数一些三角关系式

arcsin(-x)=-arcsinx，arccos(-x)=π-arccosx

arctan(-x)=-arctanx，arccot(-x)=π-arccotx

sin(arcsinx)=x，cos(arccosx)=x

tan(arctanx)=x，cot(arccotx)=x

当x在相应反三角函数的值域内时，有

arcsin(sinx)=x，arccos(cosx)=x

arctan(tanx)=x，arccot(cotx)=x

6202

反函数与复合函数常用三角公式6302

反函数与复合函数和差化积公式6402

反函数与复合函数积化和差公式6502

反函数与复合函数三、复合函数

设函数y=f(u),定义域为Df;u=g(x),定义域为Dg,值域为Wg;若Wg∩Df≠,为函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的x的复合函数.x→自变量，u→中间变量，y→因变量

习惯上，称函数u=g(x)为内函数，y=f(u)为外函数.那么称📖定义6602

反函数与复合函数因此能够构成复合函数复合复合分解分解📚例2📚例3📚例46702

反函数与复合函数注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.要学会分解复合函数：由外向里，逐层剥开！6802

反函数与复合函数四、基本初等函数与初等函数（一）幂函数（二）指数函数与对数函数（三）三角函数与反三角函数（四）初等函数6902

反函数与复合函数（一）幂函数幂函数7002

反函数与复合函数（二）指数和对数函数1.指数函数7102

反函数与复合函数2.对数函数7202

反函数与复合函数（三）三角函数与反三角函数1、三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx2、反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，7302

反函数与复合函数（四）初等函数

常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.

分段函数一般不是初等函数.形如[f(x)]g(x)的函数称为幂指函数.74小结：1.2

反函数与复合函数2.复合函数：函数的复合与分解.1.反函数：反函数的基本求法.3.基本初等函数：三角函数与反三角函数的图象与简单性质.4.初等函数数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续经济数学微积分（第4版）03常用经济函数介绍本讲内容

掌握常用经济函数的含义、数学表达式，会建立简单实际问题的数学模型.学习要求：一、单利与复利公式二、需求函数与供给函数三、成本函数与平均成本函数四、收益函数与利润函数五、小结7803

常用经济函数介绍一、单利公式与复利公式1、单利公式

设现有本金A0,每期利率为r,期数为n,每期末结算第1期末的本利和为:第2期末的本利和为:第n期末的本利和为:我国银行的定期存款实行的是单利计息的方法.7903

常用经济函数介绍2、复利公式

设现有本金A0,每期利率为r,期数为t.每期末结算将本利和A1再存入,第2期末的本利和为:再把本利和存入银行,如此反复,第t期末的本利和为:若按年为期,年利率为R,则第n年末的本利和为:第1期末的本利和为:8003

常用经济函数介绍二、需求函数与供给函数

如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为需求量QD

是价格P的函数。记作称为需求函数.需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．1、需求函数8103

常用经济函数介绍常见的需求函数：(其中a,b,k>0)需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函数，记为P=P(QD）线性函数：幂函数：指数函数：8203

常用经济函数介绍设某商品的需求函数为

P=0时，Q=b，它表示价格为零时的需求量为b，称为饱和需求量；表示价格为无人愿意购买此商品.讨论P=0时的需求量和Q=0时的价格.📚例1解8303

常用经济函数介绍2、供给函数

如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为供给量Q是价格P的函数。记作称为供给函数.供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．8403

常用经济函数介绍常见的供给函数：线性函数：幂函数：指数函数：8503

常用经济函数介绍

在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S，两条曲线的交点称为供需均衡点，该点的横坐标称为供需均衡价格.供需均衡点(Q*,P*)供需均衡价格均衡数量8603

常用经济函数介绍某商品的需求量和价格的关系满足供给量与价格的关系满足试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.由解得(舍去)，📚例2解8703

常用经济函数介绍三、成本函数与平均成本函数

成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.1、成本函数2、平均成本函数8803

常用经济函数介绍由题意，求产量为100时的总成本已知某种产品的总成本函数为

求当生产100个该产品时的总成本和平均成本．📚例3解8903

常用经济函数介绍四、收益函数与利润函数如果产品价格P保持不变，则总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用Q表示出售的产品数量，TR表示总收益,AR表示平均收益，则1、收益函数9003

常用经济函数介绍平均收益为设某商品的需求关系是3Q+4P=100,求总收益和平均收益．📚例4解9103

常用经济函数介绍2、利润函数

利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即利润函数的三种情况：盈余状态亏损状态保本状态把满足的Q0称为盈亏平衡点（保本点）.9203

常用经济函数介绍设某种商品的总成本为若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产20件的总利润、平均利润、该经济活动的无盈亏点.📚例5解9303

常用经济函数介绍令解得：某厂生产一种产品，据调查其需求函数为Q=-900P+45000，生产该产品的固定成本是270000元，而单位产品的变动成本为10元，为获得最大利润，出厂价格应为多少？📚例69403

常用经济函数介绍成本函数TC(Q)=270000+10Q需求函数Q=-900P+45000故TC(P)=-9000P+720000收益函数TR(P)=PQ=-900P2+45000P利润函数π(Q)=TR(P)-TC(P)=-900(P-30)2+90000当P=30时，取得最大利润90000元.所以该产品的出厂价应定为30元.解95小结：1.3

常用经济函数介绍1、单利与复利公式2、需求函数与供给函数3、成本函数与平均成本函数4、收益函数与利润函数数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续经济数学微积分（第4版）04数列、函数的极限本讲内容

了解中国古代的极限思想；理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质。学习要求：二、数列的极限四、小结三、函数的极限一、中国古代数学的极限思想9904

数列、函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术播放——刘徽一、中国古代数学的极限思想10004

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10104

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10204

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10304

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10404

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10504

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10604

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10704

数列、函数的极限1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽10804

数列、函数的极限正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积10904

数列、函数的极限2.截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”11004

数列、函数的极限二、数列的极限注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数11104

数列、函数的极限例如11204

数列、函数的极限11304

数列、函数的极限11404

数列、函数的极限11504

数列、函数的极限11604

数列、函数的极限11704

数列、函数的极限11804

数列、函数的极限11904

数列、函数的极限12004

数列、函数的极限12104

数列、函数的极限12204

数列、函数的极限12304

数列、函数的极限12404

数列、函数的极限当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?通过上面演示实验的观察:称该数列在n无限增大时的极限为1.📖问题📖定义12504

数列、函数的极限发散收敛收敛发散收敛12604

数列、函数的极限数列极限的几何意义：aN当时，xn与a越来越接近.12704

数列、函数的极限（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一.数列是发散的.收敛数列必为有界数列.（有界性）注意：有界性是数列收敛的必要条件.无界数列必定发散.常用数列极限：收敛数列的性质：📖性质1📖性质2📖推论12804

数列、函数的极限三、函数极限

我们将主要研究以下两种情形：（1）自变量x的绝对值无限增大时，对应的函数值的变化情况；（2）自变量无限接近于有限值x0时，对应的函数值的变化情况.12904

数列、函数的极限1.自变量趋向无穷大时函数的极限📚例113004

数列、函数的极限播放📚例213104

数列、函数的极限📚例213204

数列、函数的极限📚例213304

数列、函数的极限📚例213404

数列、函数的极限📚例213504

数列、函数的极限📚例213604

数列、函数的极限📚例213704

数列、函数的极限📚例213804

数列、函数的极限通过上面演示实验的观察:称该函数在x无限增大时的极限为0.📖问题📖定义13904

数列、函数的极限自变量趋于无穷（x→∞）可分为两种情况:x→+∞,

x→-∞

当自变量x无限增大时,函数值f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为函数y=f(x)当x→+∞时的极限,记为

当自变量x无限减小时,函数值f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为函数y=f(x)当x→-∞时的极限,记为📖结论14004

数列、函数的极限几何解释:当时，函数值与A的差距越来越小14104

数列、函数的极限2.自变量趋于有限值时函数的极限x0.90.990.999…1…1.0011.011.10y1.111.01011.001001…1…0.9990010.99010.91当x→1时，y无限趋近于1，称x→1时函数的极限为1.📖问题📚例314204

数列、函数的极限

x0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.5

f(x)1.751.91.991.9999……2.0000012.012.252.5📚例414304

数列、函数的极限例3、例4中：

设函数f(x)在x0的某去心邻域U0(x0)内有定义,如果当x无限接近x0时,函数值f(x)就无限接近一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当x趋于x0(x→x0)时的极限,记为否则，称该极限不存在.📖定义14404

数列、函数的极限(2)几何解释:注意：在x0的某去心δ邻域内，对应的f(x)的值与A的差距随着x与x0的靠近越来越小.14504

数列、函数的极限(3)左、右极限（单侧极限）

设函数f(x)在x0的左邻域U-(x0)（x0可除外）内有定义,如果当自变量x从x0的左侧趋于x0,函数值f(x)趋于一个确定的常数A,则称A为f(x)当x→x0的左极限,记为类似可以定义右极限.📖结论14604

数列、函数的极限📚例5证14704

数列、函数的极限左右极限存在但不相等,📚例6证14804

数列、函数的极限（函数极限的局部有界性）（函数极限的唯一性）3.函数极限的性质📖性质1📖性质214904

数列、函数的极限(函数极限的局部保号性)📖性质3📖推论1📖推论215004

数列、函数的极限思考题151小结：1.4

数列、函数的极限数列极限:极限思想、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性函数极限的统一定义：数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续05无穷小与无穷大本讲内容

了解无穷小、无穷大的概念及其之间的关系；会用无穷小的性质进行极限计算；会进行无穷小阶的比较.学习要求：一、无穷小与无穷大的概念二、无穷小的性质四、小结三、无穷小阶的比较15505

无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大的概念1、无穷小如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为0，那么称f(x)为x→x0（或x→∞）时的无穷小.📖定义15605

无穷小与无穷大例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.15705

无穷小与无穷大2、无穷大在自变量的变化过程中，函数的绝对值无限增大以上极限可记为：在自变量的某个变化过程中，如果函数f(x)的绝对值无限增大,则称变量为该过程中的无穷大，记为📖定义15805

无穷小与无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.如无界，但不是无穷大15905

无穷小与无穷大（4）无穷大与无穷小的关系：无穷小与无穷大之间有倒数的关系,在自变量同一变化过程中，无穷小（非零）的倒数是无穷大,无穷大的倒数是无穷小.📖结论16005

无穷小与无穷大3、无穷小与函数极限的关系必要性充分性limf(x)=A

f(x)=A+α(x)(其中limα(x)=0)📖定理证16105

无穷小与无穷大二、无穷小的运算性质在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的和或差仍是无穷小.注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.📖性质116205

无穷小与无穷大有界函数与无穷小的乘积是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.有限个无穷小的乘积也是无穷小.在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.例如：📖性质2📖性质3📖推论1📖推论216305

无穷小与无穷大📚例1解16405

无穷小与无穷大三、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限16505

无穷小与无穷大📖定义16605

无穷小与无穷大例如，16705

无穷小与无穷大(等价无穷小替换定理)📖定理证168小结：1.5

无穷小与无穷大1.主要内容:两个定义;三个性质；两个推论2.几点注意:无穷小与无穷大是相对于某个过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的和、差（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.169小结：1.5

无穷小与无穷大3.无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.4.等价无穷小的替换求极限的一种重要方法.高(低)阶无穷小;同阶无穷小，等价无穷小.数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续经济数学微积分（第4版）06极限的运算法则本讲内容

掌握极限的四则运算法则；了解复合函数极限运算法则；熟练掌握一些类型极限的计算.学习要求：一、极限的四则运算二、复合函数极限的运算法则三、小结17306

极限的运算法则一、极限四则运算📖定理17406

极限的运算法则由无穷小运算法则,得证17506

极限的运算法则常数因子可以提到极限记号外面.📖推论1📖推论217606

极限的运算法则极限计算举例1、📚例1解📚例2解📖结论17706

极限的运算法则商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得📚例3解17806

极限的运算法则(消去零因子法)📚例4解17906

极限的运算法则2、将无穷大化为无穷小，再求极限.📚例5解（化无穷大为无穷小）📖结论18006

极限的运算法则求3、需经适当变形再求极限📚例6解18106

极限的运算法则原式📚例7解18206

极限的运算法则求化无穷大为无穷小，利用📚例8解18306

极限的运算法则先变形再求极限.📚例9解18406

极限的运算法则求

📚例10解18506

极限的运算法则意义：（可以用变量替换的方法求复合函数的极限）则有

（复合函数的极限，变量替换定理）设y=f(u)与u=g(x)构成复合函数y=f[g(x)].如果二、复合函数的极限运算法则📖定理18606

极限的运算法则求时，令

（幂指函数的极限）

n=1时，结论也成立，故📚例11解📖定理187小结：1.6

极限的运算法则1.极限的四则运算法则及其推论2.极限求法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷大化无穷小求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3.复合函数的极限运算法则数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续经济数学微积分（第4版）07极限存在准则与两个重要极限本讲内容

了解两个极限存在准则；会利用两个重要极限、无穷小替换定理进行极限计算；了解连续复利.学习要求：一、极限存在准则二、两个重要极限五、小结四、连续复利三、利用无穷小替换定理

计算极限19107

极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限1、夹逼准则19207

极限存在准则与两个重要极限注意:准则I和准则Iˊ称为夹逼准则.利用夹逼准则求极限关键在于构造不等式，其方法是放大或缩小.19307

极限存在准则与两个重要极限由夹逼准则得📚例1解19407

极限存在准则与两个重要极限单调增加单调减少单调数列几何解释:2、单调有界收敛准则19507

极限存在准则与两个重要极限求数列的极限.由数学归纳法，数列{xn}单调递增.数列{xn}单调有界📚例2解19607

极限存在准则与两个重要极限二、两个重要的极限1、19707

极限存在准则与两个重要极限当时，推广形式：□为x→x0中的无穷小.即又19807

极限存在准则与两个重要极限求原式=📚例3解📚例4解19907

极限存在准则与两个重要极限求圆的内接正边形面积所构成数列的极限值.📚例5解20007

极限存在准则与两个重要极限

2、n…10102103104105………数列{xn}是数值不超过3的单调增加数列,由极限存在准则Ⅱ可知，该数列存在极限，其极限就是无理数

e=2.71828…20107

极限存在准则与两个重要极限推广形式：为该过程中的无穷小量为该过程中的无穷大量20207

极限存在准则与两个重要极限📚例6解📚例7解20307

极限存在准则与两个重要极限常用等价无穷小:三、利用无穷小等价替换定理进行极限计算证明：20407

极限存在准则与两个重要极限因此，📚例8解20507

极限存在准则与两个重要极限因此，📚例9解20607

极限存在准则与两个重要极限若分式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．📚例10解20707

极限存在准则与两个重要极限注意：

不能滥用等价无穷小替换.一般可对分子或分母中乘积形式作等价无穷小替换，对于和差形式中各无穷小一般不能分别替换.📚例11解20807

极限存在准则与两个重要极限正解📚例12解20907

极限存在准则与两个重要极限📚例13解📚例14解📚例15解21007

极限存在准则与两个重要极限四、连续复利21107

极限存在准则与两个重要极限………21207

极限存在准则与两个重要极限已知现值，求未来值——复利问题已知未来值，求现值——贴现问题某人为孩子准备教育基金，要10年后价值20万元，按年利率

6%的连续复利，问现在应存多少钱？若以6%的年利率按年支付利息，问现在应存多少钱？由题意📚例15解213小结：1.7

极限存在准则与两个重要极限1.极限存在准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.3.利用无穷小替换定理进行极限计算4.连续复利公式数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）第1章函数、极限与连续经济数学微积分（第4版）06极限的运算法则本讲内容

理解函数连续的概念；会判断间断点的类型；理解闭区间上连续函数的性质.学习要求：一、函数的连续与间断四、小结二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质21708

函数的连续性一、函数的连续与间断1.函数的增量注意：21808

函数的连续性21908

函数的连续性2.连续的定义📖定义122008

函数的连续性📖定义222108

函数的连续性即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.从这个定义我们可以看出，函数在点x0处连续，必须满足以下三个条件：

（1）函数f(x)在点x0处有定义；22208

函数的连续性3.单侧连续📖结论22308

函数的连续性4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.函数f(x)在[a,b]上连续（1）f(x)在(a,b)内连续；（2）在a点右连续；（3）在b点左连续.📖定义22408

函数的连续性由定义1知📚例1证22508

函数的连续性📚例2证22608

函数的连续性右连续但不左连续,📚例3解22708

函数的连续性5、函数的间断点📖定义22808

函数的连续性（1）第一类间断点a.可去间断点特点:左右极限都存在注意

可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义,则可使其变为连续点.22908

函数的连续性📚例4解23008

函数的连续性b.跳跃间断点为函数的跳跃间断点.📚例5解23108

函数的连续性跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点．（2）第二类间断点第二类间断点又分为无穷间断点和振荡间断点两种情况.23208

函数的连续性（左右极限中至少有一个是∞）📚例6解23308

函数的连续性这时也称其为振荡间断点．📚例7解23408

函数的连续性可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx23508

函数的连续性判断下列间断点类型:23608

函数的连续性📚例8解23708

函数的连续性例如,二、初等函数的连续性1.

连续函数的和、差、积、商的连续性📖定理23808

函数的连续性

严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数．例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2.

反函数与复合函数的连续性📖定理23908

函数的连续性即：连续复合函数的极限计算中lim与f可交换原式

（连续函数的复合函数是连续函数）设y=f(u)与u=g(x)构成复合函数y=f[g(x)].若则📚例9解📖定理24008

函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.３.

初等函数的连续性1.初等函数其定义区间内连续；注意

2.初等函数在连续点求极限可用代入法.📖定理24108

函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质1、最大值和最小值定理与有界性例如,

设函数y=f(x)在区间I上有定义,如果存在x1,x2,使得对任意的x∈I,有

f(x2)≤f(x)≤f(x1)那么称f(x1),f(x2)分别为函数y=f(x)在I上的最大值和最小值,最大值与最小值统称为最值.点x1,x2分别称为f(x)的最大值点和最小值点.

📖定义24208

函数的连续性闭区间上连续函数必取得最大值和最小值.(有界性和最大值和最小值定理)闭区间的上连续函数有界.📖定理📖推论24308

函数的连续性注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.24408

函数的连续性2、介值定理与零点定理（1）介值定理📖定理24508

函数的连续性几何解释:MBCAmab在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.📖推论24608

函数的连续性（2）零点定理几何解释：📖定理24708

函数的连续性由零点定理,📚例10证24808

函数的连续性由零点定理,辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理.📚例11证249小结：1.8

函数的连续性1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点250小结：1.8

函数的连续性4.初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：代入法。5.闭区间上连续函数的性质（三个定理）有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理.注意条件1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）课程导言和预备知识经济数学微积分（第4版）00课程导言和预备知识本讲内容

了解本课程的内容、学习方法和注意事项；会四种命题的关系判断命题的真假；熟悉反证法的证明步骤；了解逻辑连接词“或、且、非”.学习要求：一、课程导言二、四种命题的关系三、反证法四、逻辑连接词“或、且、非”25400

课程导言与预备知识课程导言一、经济类专业为什么要学习数学？三是为了进一步深造。一是为了掌握必要的数学知识、数学思想和方法，训练数学思维，养成用数学的眼光看问题的习惯。二是为了后续课程的学习，为了专业的发展。25500

课程导言与预备知识二、在四年的大学数学学习中，我们将学习哪些数学课程，课程安排如何？一是《高等数学》，安排在大一上(第一学期）和大一下（第二学期）三是《概率统计》安排在大二上（第三学期）二是《线性代数》安排在大一上（第一学期）25600

课程导言与预备知识三、《高等数学》是一门什么样的课程？难不难？

《高等数学》是经济管理类专业一门重要的学科基础课程，通过本课程的学习，主要掌握微积分的基本理论和思想方法，应熟练掌握微积分运算技能和运算技巧，具备应用微积分处理相应专业问题的能力，并具有一定的分析问题和解决问题的能力。难，是相对而言的。任何学习都需要主体的努力，《高等数学》学习也是如此，只要我们掌握正确的学习方法，步步为营，难的也变容易了。只要我们共同努力，定能取得丰硕的成果！25700

课程导言与预备知识四、《高等数学》包含哪些主要内容？

1、函数、极限与连续（18课时）2、一元函数微分学（26课时）3、一元函数积分学（26课时）

4、多元函数微积分学（26课时）5、微分方程与差分方程（10课时）6、无穷级数（12课时）25800

课程导言与预备知识高等数学简介研究目的：解决实际问题研究对象：函数研究工具：极限

研究的内容：一元函数微积分（导数、微分、不定积分、定积分），多元函数微积分（偏导数、全微分、二重积分），微分方程与差分方程，无穷级数25900

课程导言与预备知识（1）尽快适应环境，明确自己的目标，安排好自己的学习生活。

进入高校后，不少同学将经历“新奇——冲动——不知干什么（迷茫）——不知干了什么”的阶段，这种现象的出现表明对自己的目标并不明确，不会做出“理性”的选择，等到明白过来，一学期也就过去了。因此，最紧迫的一件事是弄清四年后“我想干什么？”（你的职业规划），需要哪些条件，需要哪些本领，倒推“我现在该干什么？”，在行进中，你还要经常问一问自己，“我到了哪里？还有多远？该怎么走”，便于你一步一步向你的最终目标迈进。五、怎么学？26000

课程导言与预备知识（2）注意大学数学学习与中学数学学习的差异

中学数学

大学数学自主性教师、家长的督促自主学习关注点解题概念理解学习方式大量模仿做题看书、适当做题（练）（思、悟）参考书自购图书馆

26100

课程导言与预备知识（3）在学习态度上，要端正态度决定一切！学习态度决定了你的学习行为，能否进入学习的状态，学习效率如何，能否取得好的学习效果。

持怎样的学习态度？一是认真。二是负责任。对自己，对父母，对家庭，对国家这两者是互相联系互相促进的，你的认真，反映出你的责任感；你的责任感，又会使你更加地认真。26200

课程导言与预备知识（4）在数学学习内容上A、注重概念、定理的理解高等数学中有很多重要的概念，如函数、极限、连续、导数、微分、定积分等，对于这些概念一定要搞清楚其来龙去脉。与以往大家所学的数学概念所不同的，在微积分很多概念的定义中就包含了一定的运算，因此正确理解概念是正确解题的前提和保证。对于定理一定要弄清条件和结论，条件与结论间的关系。26300

课程导言与预备知识

可以说，大学数学学习成败的一个重要方面，是对概念的理解与掌握。对于一些不太容易理解的概念要反复揣摩。先要有朴实的领会，再到严格的叙述，才能逐步理解。学习抽象概念，要抓住下面几个环节。①记住一两个引入概念的实例，避免出现抽象旋晕症；②记住一两个与概念相悖的反例，从多侧面加深对概念的理解；③弄清概念与其它已有概念的关系，避免将诸多概念分割成孤零零的教条，将诸概念之间的关系，用例子（包括反例）、定理、公式联系起来。26400

课程导言与预备知识B、善用数学语言。高等数学中符号繁多，含义丰富深刻，对文字语言、符号语言、图形语言要能互译，做到运用自如。C、搞清来龙去脉，要将知识系统化，由点到线到面，串成链，织成网。D、几何直观是领悟数学最有效的渠道之一，要善于寻找各种概念的几何解释。E、抓题型，抓方法，抓步骤，抓规律。数学概念学习的几个方面：1、定义2、性质3、几何解释4、运算法则5、应用26500

课程导言与预备知识（5）在学习方法上，要尽快找到适合自己的方法听课：注意老师强调的重点看书：注意自己看不懂的地方练习：注意出错的地方提倡课前预习做到课后复习独立完成作业遇问题勤思考多讨论多请教多总结多反思课内、课外时间比应达到1:2

26600

课程导言与预备知识26700

课程导言与预备知识（6）几点要求：课堂上适当做些笔记；每章结束后自己进行知识总结和学习情况总结；独立自主完成作业

六、如何考核？

成绩构成权重评价细则课程总评成绩平时成绩课堂表现20%出勤(占30%）、教学互动（占40%），学习态度（占30%）课外学习10%课后作业(占100%）课堂测验20%章节测验（占50%）、期中测验（占50%）期末考试50%期末考试26800

课程导言与预备知识预备知识1.四种命题的关系例如（1）如果两个角是对顶角，那么两个角相等.

（2）如果两个角相等，那么两个角是对顶角.

（3）如果两个角不是对顶角，那么两个角不相等.

（4）如果两个角不相等，那么两个角不是对顶角.设命题（1）“若p，则q”是原命题，那么

命题（2）“若q，则p”是逆命题；

命题（3）“若¬p，则¬q”是否命题；

命题（4）“若¬q，则¬p”是逆否命题.pqp→qq→p¬p→¬q¬q→¬p真假假真26900

课程导言与预备知识原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假例如（1）若x=2，则x+2=4.

（2）若x+2=4，则x=2.

（3）若x≠2，则x+2≠4.

（4）若x+2≠4，则x≠2.真真真真2702.反证法

一般地，先假设原命题的结论不成立，然后经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种间接证明的方法称为反证法.

反证法一般用于直接证明比较困难时或结论中含有否定词时，俗称“正难则反”.📚例1证证明：如果a>b>0,那么a2>b2.假设a2≤b2，

若a2=b2,则a=b；

若a2<b2,则a<b,显然a=b，a<b与a>b>0矛盾,因此，假设不成立，原命题得证.00

课程导言与预备知识27100

课程导言与预备知识📚例2证已知一个整数的平方能被2整除，求证：这个整数是偶数.假设这个整数不是偶数，那么这个数是奇数，

不妨设a=2n+1,则a2=(2n+1)2=4n2+2n+1显然4n2+2n+1是奇数，不能被2整除与已知矛盾,因此，假设不成立，原命题得证.📚例3证27200

课程导言与预备知识3.逻辑连接词“或”“且”“非”不含任何逻辑联结词的命题称为简单命题.由一个或几个简单命题利用逻辑联结词构成的命题，一般称为复合命题.24能被3整除.24能被6整除.24能被3或能被6整除.rsr∨s真真真一般地，把命题r和命题s用联结词“或”联结成的新命题，记作r∨s，读作“r或s”.“或”27300

课程导言与预备知识3.逻辑连接词“或”“且”“非”不含任何逻辑联结词的命题称为简单命题.由一个或几个简单命题利用逻辑联结词构成的命题，一般称为复合命题.24能被3整除.24能被5整除.24能被3或能被5整除.rsr∨s真假真一般地，把命题r和命题s用联结词“或”联结成的新命题，记作r∨s，读作“r或s”.“或”27400

课程导言与预备知识3.逻辑连接词“或”“且”“非”不含任何逻辑联结词的命题称为简单命题.由一个或几个简单命题利用逻辑联结词构成的命题，一般称为复合命题.24能被7整除.24能被5整除.24能被7或能被5整除.rsr∨s假假假

复合命题r∨s中r,s只要有一个命题是真命题，r∨s就是真命题；只有当r,s两个命题都是假命题时，r∨s是假命题.（同假才假）📖结论一般地，把命题r和命题s用联结词“或”联结成的新命题，记作r∨s，读作“r或s”.“或”27500

课程导言与预备知识“且”“非”24能被3整除.24能被4整除.24能被3且能被4整除.rsr

∧

s一般地，把命题r和命题s用联结词“且”联结成的新命题，记作r∧s，读作“r且s”.真真真📖结论一般地，复合命题r∧s中r,s只要当两个命题都是真命题，r∧s是真命题；只要当r,s两个命题中有一个是假命题时，r∧s是假命题.（同真才真）一般地，对命题r进行全盘否定得到的新命题，记作¬r，读作“非r”.一般地，复合命题¬r在命题r是真命题时，¬r是假命题；当r是假命题时，¬r是真命题.📖结论276小结：0.0

预备知识1、四种命题的关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2、反证法：假设——推理——出现矛盾——假设不成立——原命题成立.3、“或”“且”“非”同假才假；同真才真；原真非假数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用经济数学微积分（第4版）10本章内容总结与典型题型本讲内容28010

内容总结与典型题型第二章内容总结第二章导数微分导数的应用28110

内容总结与典型题型导数导数的概念导数的运算定义几何意义过点的切线的斜率四则运算法则复合函数的求导法则隐函数的求导对数求导法可导与连续的关系可导连续高阶导数方程两边同时对自变量求导方程两边取自然对数导数的经济应用边际弹性28210

内容总结与典型题型微分微分的概念微分在近似计算中的作用定义可微与可导的关系可微可导微分的运算28310

内容总结与典型题型导数的应用中值定理函数的性态罗尔定理柯西中值定理函数的单调性函数单调性的判定，函数的凹凸性函数凹凸性的判定，条件和结论拉格朗日中值定理洛必达法则0/0,∞/∞型未定式的极限其他未定式的极限函数极值存在的必要条件和充分条件曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线极限表示函数的最值28410

内容总结与典型题型第二章典型题型📚例1解一、利用导数的定义求极限的值若试计算28510

内容总结与典型题型📚例2解二、利用导数的定义求分段函数的导数求函数的导数.故f(x)在x=0处不可导.注意：对于分段函数分段点的导数一定要用定义求.28610

内容总结与典型题型三、讨论函数在定点的连续性与可导性

设在x=-1，x=0处的连续性与可导性.因为左右极限相等且都等于f(-1)，故f(x)在x=-1处连续.因为左右导数不相等，故f(x)在x=-1处不可导.📚例3解28710

内容总结与典型题型因为左右极限相等且都等于f(0)，故f(x)在x=0处连续.因为左右导数不相等，故f(x)在x=0处不可导.不存在28810

内容总结与典型题型四、由隐函数求导数或微分求曲线处的切线方程与法线方程.方程两边对x求导，得解得切线方程：法线方程：📚例4解28910

内容总结与典型题型设，求dy.方程两边对x求导，得即化简得解得故📚例5解29010

内容总结与典型题型五、利用洛必达法则求极限求极限.求极限.📚例6解📚例7解29110

内容总结与典型题型六、利用拉格朗日中值定理证明不等式证明.设f(x)=lnx，在上满足拉格朗日中值定理，得📚例8证29210

内容总结与典型题型七、利用函数的单调性证明不等式证明：.设∴f(x)，g(x)在(0,+∞)上均单调递增📚例9证29310

内容总结与典型题型八、研究函数的性态（单调性、凹凸性、极值、拐点）研究函数单调性、凹凸性、极值、拐点.以-1,1,3将定义域分为四个区间，列表讨论极大