辽宁省鞍山市岫岩县2026届九年级上学期10月月考数学试卷（含答案）

辽宁省鞍山市岫岩满族自治县部分学校2025年10月月考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．关于x的一元二次方程的一个根为1，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在同一坐标系中，抛物线与有相同的（

）A．开口方向 B．形状 C．对称轴 D．顶点4．用配方法解方程时，原方程应变形为（

）A． B． C． D．5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（

）．A． B．且 C． D．且6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为A．B．C． D．7．将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（

）A． B． C． D．8．如图，某小区计划在一块长为32米，宽为20米的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使道路的面积为90平方米．若设道路的宽为x米，则所列方程正确的是（

）A．B．C．D．9．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（

）A． B．4 C．25 D．510．关于二次函数，下列说法正确的是（

）A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线C．其最小值为5 D．当时，y随x的增大而增大二、填空题11．写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式：____________．12．把一元二次方程化成一般形式为______．13．若二次函数的图象过，，，三点，则，，的大小关系是______（用“＜”连接）．14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为4米，则线段的长为__________米（结果保留根号）．15．如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论，其中正确结论的编号是_______．①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤．三、解答题16．解方程．(1)(2)17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．18．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数解析式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为．当时．(1)求h的值；(2)通过计算判断此球能否过球网．19．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．(1)解方程．(2)解方程20．某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．21．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点．(1)容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．你能发现300是前多少行的点数之和吗？(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数的和满足什么规律．(3)在（2）中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．22．综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．23．在平面直角坐标系中；已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

1．D本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行判断即可．【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；B、含未知数的项的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意；故选D．2．B本题考查一元二次方程的解、判断点所在的象限，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入方程，求出的值，再根据点的符号特征，求出点所在的象限即可．【详解】解：把代入，得：，∴，∴在第二象限．故选：B．3．C本题考查二次函数的性质，先写出两个抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向，即可判断哪个选项符合题意．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，开口向上；抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，开口向下；∴A、D选项不合题意；C选项符合题意；∵，∴两个抛物线形状不同，故B选项不合题意；故选：C．4．B本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可．【详解】解：，，；故选B．5．B本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0．熟练运用根的判别式是解题关键．根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且，∴且．故选：B6．B本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，．【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误；B、函数中，，，中，，，故B正确；C、函数中，，，中，，，故C错误；D、函数中，，，中，，，故D错误．故选：B．7．B本题考查了二次函数图像的平移，首先根据抛物线的解析式得到抛物线的顶点坐标，根据平移的方向和距离，得到平移后的抛物线的顶点坐标，从而得出平移后的抛物线的顶点坐标式解析式．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的顶点坐标是，即，平移后的抛物线的函数表达式为．故选：B．8．C本题考查列一元二次方程解实际应用题，理解题意是关键．将三条路平移，草坪是一个长方形，根据剩余的空地上种植草坪，使道路的面积为90平方米，设道路的宽为，利用整个长方形面积减去道路的面积得到，从而确定答案．【详解】解：将三条路平移到使道路临边的位置后，设道路的宽为，根据题意列方程为：故选：C．9．A先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可．【详解】解：解方程，得，即，∵四边形是菱形，∴，由勾股定理得，即菱形的边长为，故选：．10．D【详解】解：∵，，∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；对称轴是直线，故选项B不符合题意；当时y取得最大值，故选项C不符合题意；当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；故选：D．11．（答案不唯一）本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．根据题意写出符合题意的二次函数解析式即可．【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，∴则一次项系数为0，取常数项为，二次项系数为，∴满足题意的二次函数的解析式可以为：．故答案为：（答案不唯一）12．本题考查了一元二次方程的一般式，去括号、移项、合并同类项即可求解.【详解】解：由去括号，得，移项，得，合并同类项得.故答案为：．13．本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解．【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，而点C关于对称轴对称的另一点，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当时，函数值随自变量的增大而增大，∵，∴；故答案为：．14．根据建立方程即可求解．【详解】解：设则（舍去），故答案为：15．①②⑤【详解】解：①，，无论x取何值，的值总是正数；故①正确；②抛物线与交于点，，，故②正确；③分别将代入抛物线与，得到，，，故③错误；④当时，，，当时，；故④错误；⑤当时，代入，那么，解得，，，，当时，代入，那么，解得，，，，，，故⑤正确；故正确的有：①②⑤；故答案为：①②⑤．16．(1)，；(2)，．本题主要考查了一元二次方程的解法．常用的解一元二次方程的方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法．把看作整体，用因式分解法解方程即可；用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，提公因式可得：，可得：或，解得：，；（2）解：，其中，，，，方程有两个不相等的实数根，，解得：，．17．（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）m=﹣1或m=3.（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）略（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=318．(1)(2)能【详解】（1）解：∵，且经过，∴，解得；（2）解：由（1）知：，当时，，∵，∴能过网．19．(1)，；(2)，．【详解】（1）解：设，原方程可化为，解得：，．由，得，．由，得方程，，此时方程无解．∴原方程的解为：，．（2）解：原方程可化为，设，原方程可化为，解得，，由，得，，由，此时方程无解，∴原方程的解为，．20．(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为(2)最少购进甲种商品40件本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，由题意得，，解得或（舍去），答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，由题意得，，∴，解得，∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，答：最少购进甲种商品40件．21．(1)300是前24行的点数之和(2)(3)能，本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．（1）根据图形规律列出一元二次方程求解即可；（2）根据倍数关系列出代数式即可；（3）根据图形规律列出一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：，整理得，，∴，∵n为正整数，∴．答：300是前24行的点数之和．（2）解：由题意可得：；（3）解：依题意，得，即，解得（舍去）∴三角点阵中前n行的点数的和能是600，．22．（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3）本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可；（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可；（3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可；【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，∴顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为：，∵图象过原点，∴，解：，∴；（2）