2024-2025学年上海松江区八年级(下)期末数学试卷及答案

数学2024-2025学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1.(2分)一次函数y=−x+b的图象一定经过（）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限2.(2分)下列方程有实数根的是（）A.xB.xC.xD.x3.(2分)下列事件中，属于必然事件的是（）A.明天下雨B.篮球队员在罚球线投篮一次：未投中C.掷一枚硬币，正面朝上D.任意画一个四边形，其内角将是3604.(2分)下列说法中，正确的是（）A.如果a→和b→B.如果a→和b→C.如果|a→D.如果a→=5.(2分)已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（）A.OA=OCB.OA=OBC.OA⊥OBD.AC=BD6.(2分)已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家.小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示.下列结论错误的是（）A.小丽家到便利店距离500米B.小丽在便利店停留了5分钟C.小丽步行的速度是0.1km/minD.小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.(2分)方程x2−4x−28.(2分)二项方程x4−81=0的实数解是9.(2分)一次函数y=1−5x的截距是.10.(2分)用换元法解分式方程3xx2−1+x2−111.(2分)已知一个正多边形的一个外角是72∘，那么这个多边形的边数为12.(2分)如果一次函数y=kx+b(k<0)的图象与x轴交于点(−4,0)，那么kx+b>0时，x的取值范围是13.(2分)一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程.14.(2分)从平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中任选一个图形，顺次连接其各边中点，得到的四边形是菱形的概率是.15.(2分)如图，菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，测得AB=10cm，AC=12cm，过点A作AH⊥BC于点H，那么AH的长为cm16.(2分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC=3，CE=1，那么AF的长是.17.(2分)如果一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图象的“不动点”.已知点A是函数y=2x+3图象上的“不动点”，点B(−1,−1)，点C(−1,0)，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是18.(2分)如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=22，点F在BC边上，折叠矩形使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A、B分别落在点A1、B1处，若AG=7，那么BF的长为三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，满分28分）19.(6分)解方程：2x+520.(6分)解方程组：&21.(8分)如图，在▱ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE=AD，设BA→=a→(1)写出图中所有与AB→(2)试用向量a→，b→表示：AC→(3)在图中求作：EA→22.(8分)小明家附近有A、B两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数y1和y2收费y(元)与骑行时间x(分钟）的关系如图所示.已知小明家到工厂的距离为9km，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m/min(1)当x⩾10时，求B品牌收费方式y2与骑行时间x(2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？(3)当骑行时间x为多少时，两种品牌的收费相差2元？四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分）23.(8分)学校购买一批奖品.已知A种奖品的单价比B种奖品单价便宜9元，用128元购买A种奖品的数量和用272元购买B种奖品的数量总共是32个.(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？(2)该校计划购买A、B两种奖品共80个，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用.24.(8分)如图，已知在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA的延长线于点G，联结AC.(1)求证：四边形ACFG是平行四边形；(2)联结CE，如果CE=AE，求证：四边形ACFG是矩形.25.(10分)【阅读理解】不论k取何值，正比例函数y=kx(k≠0)的图象始终经过点(0,0)，我们说函数y=kx(k≠0)的图象经过定点(0,0).类似的，函数y=kx−2k+1(k≠0)的图象经过定点(2,1).探求定点的具体思路是：设法找到x的某些取值，使函数表达式y=kx−2k+1(k≠0)中含k的各项之和为0，即变形得：y=k(x−2)+1，令x=2【尝试运用】(1)函数y=(k−1)x+3k−1(k≠1)(2)如果点A(−3,2)，B(−4,0)，O是原点，且直线y=(k−1)x+3k−1将△OAB(3)在（2）的条件下，如果点M在y轴上，点N在直线y=(k−1)x+3k−1上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N26.(10分)已知梯形ABCD,AD∥BC,∠A=90∘，∠C=45∘，点P为射线DA上一动点，联结BP，过点P作PE⊥PB，交射线CD于点(1)当点P在线段AD上时，①如图1，如果DE=2，求AP的长；②如图2，点F为BC边上一点，且PB=PF，求DPCF(2)如果AP=2，△PDE是等腰三角形，求DP的长.数学2024-2025学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1、【答案】B【知识点】一次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标特征2、【答案】C【知识点】二次根式的定义,解一元二次方程-直接开平方法,根的判别式,分式方程的解,高次方程,无理方程3、【答案】D【知识点】随机事件4、【答案】D【知识点】*平面向量5、【答案】C【知识点】矩形的性质,矩形的判定与性质,正方形的判定6、【答案】D【知识点】一次函数的应用-行程问题二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7、【答案】x=−2【知识点】解分式方程8、【答案】x=±3【知识点】立方根,高次方程,高次方程9、【答案】1【知识点】一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征10、【答案】y【知识点】换元法解分式方程11、【答案】5【知识点】多边形内角与外角12、【答案】x<−4【知识点】一次函数的性质,一次函数与一元一次不等式13、【答案】(【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程,由实际问题抽象出分式方程14、【答案】2【知识点】概率公式15、【答案】9.6【知识点】勾股定理,菱形的性质16、【答案】2【知识点】勾股定理,正方形的性质17、【答案】(−3,2)或(−4,−3)【知识点】一次函数综合题18、【答案】10【知识点】矩形的性质,翻折变换（折叠问题）三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，满分28分）19、【解答】解：2x+5两边平方，得4整理，得：x2−24x+80=0，解得：x经检验：x2=4是增根，x∴原方程的解是x=20(1分)【知识点】无理方程20、【解答】解：将方程x2−3xy+2y2=0原方程组可以化为&x+y=6&x−2y=0解这两个方程组得&x=4&y=2所以原方程组的解是，&【知识点】高次方程21、【解答】解：（1）与AB→互为相反向量的向量：BA→，CD故答案为：BA→，CD(2)AC→=故答案为：b→−a(3)如图，BT→【知识点】平行四边形的性质,*平面向量,作图—复杂作图22、【解答】解：（1）当x⩾10时，B品牌每分钟收费为(8−6)÷(20−10)=0.2(元)则y2∴当x⩾10时，y2与x的函数解析式为y(2)小明从家到工厂所用时间为9×1000÷300=30(min)根据图象，当x=30时，y1∴选择B品牌的共享电动车更省钱.(3)A品牌每分钟收费为8÷20=0.4(元)，则y1与x的函数解析式为y当0⩽x⩽10时，当两种品牌的收费相差2元时，得6−0.4x=2，解得x=10，当x>10时，当两种品牌的收费相差2元时，得|0.2x+4−0.4x|=2，解得x=10(舍去)或x=30，∴当骑行时间x为10或30时，两种品牌的收费相差2元.【知识点】一次函数的应用-行程问题,一次函数的应用-其他问题四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分）23、【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为(x+9)元.根据题意，得128x解得x1=8，经检验，x=8是所列分式方程的根，8+9=17(元)。答：A种奖品的单价为8元，B种奖品的单价为17元.(2)设购买A种奖品a个，则购买B种奖品(80−a)个.根据题意，得a⩽3(80−a)解得a⩽60，设购买费用为W元，则W=8a+17(80−a)=−9a+1360∵−9<0，∴W随a的增大而减小，∵a⩽60，∴当a=60时W值最小，W最小80−60=20(个)。答：购买A种奖品60个、B种奖品20个最省钱，最低购买费用为820元.【知识点】分式方程的应用,一次函数的应用-方案问题24、【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BG∥CD，∴∠G=∠EFD，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEG=∠DEF，∴△AEG≅△DEF(ASA)∴AG=DF，∵F是CD的中点，∴CF=DF，∴AG=CF，∵AG∥CF，∴四边形ACFG是平行四边形；(2)∵△AEG≅△DEF，∴AE=DE，∵AE=EC，∴CE=AE=DE，∴∠ACF=90∵四边形ACFG是平行四边形，∴四边形ACFG是矩形.【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,矩形的判定25、【解答】解：(1)∵y=(k−1)x+3k−1=(x+3)k−x−1，∴当x+3=0，即x=−3时，y=2，∴函数y=(k−1)x+3k−1(k≠1)的图象经过的定点坐标是(−3,2)故答案为：(−3,2)；(2)如图：由（1）知，函数y=(k−1)x+3k−1的图象经过定点A当直线y=(k−1)x+3k−1将△OAB分成面积相等的两部分时，它也经过边OB的中点K∵B(−4,0)，O∴K(−2,0)把K(−2,0)代入y=(k−1)x+3k−1得：解得k=−1，∴k的值为−1；(3)由（2）知，k=−1，直线y=(k−1)x+3k−1=−2x−4设M(0,m)，N又A(−3,2)，B①当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合，∴&解得&m=−8∴N(−7,10)②当MA，NB为对角线时，MA，NB的中点重合，∴&解得&m=−8∴N(1,−6)③当MB，NA为对角线时，MB，NA的中点重合，∴&解得&m=0∴N(−1,−2)综上所述，N的坐标为(−7,10)或(1,−6)或(−1,−2).【知识点】点的坐标26、【解答】解：（1）①过E作EF⊥AD于F，则∠F=∠A=90∵PE⊥PB，∴∠FPE=∠ABP=90又∵PE=BP，∴△PFE≌△BAP(AAS)∴EF=PA，∵AD∥BC,∠C=45∴∠EDF=∠C=45∴∠DEF=45∴DF=EF，又∵DE=2，∴FE∴EF=2∴AP=2②过P作PM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，∵AD∥BC，∴PM⊥AD，∴四边形APMB，PMND都是矩形，∴AP=BM，AB=PM=DN，PD=MN，设AP=x，PD=AB−x，∴BM=x，MN=AB−x，∵∠C=45∘，∴∠NDC=45∴CN=DN=AB，∵PB=PF，∴MF=BM=x，∴CF=BM+MN+CN−BF=x+AB−x+AB−x−x=2AB−2x，∴DP(2)当P在线段AD上时，如图，过E作EF⊥AD于F，由（1）可知：EF=DF=AP=2，∠ADC=180∴DE=D∵△PDE是等腰三角形，∠PDE=135∴DP=DE=22当P在线段DA的延长线上时，①当PE=DE时，如图，∴∠EPD=∠EDP，∵AD∥BC,∠C=45∴∠EPD=∠EDP=∠C=45∴∠E=90∵PE⊥PB，∴∠APB=45又∵∠BAD=90∴∠ABP=45∴AP=A