2024-2025学年上海中学东校八年级(下)期末数学试卷及答案

数学2024-2025学年上海中学东校八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分）1.(3分)下列函数不是一次函数的是（）A.y=xB.y=x−3C.y=−x+1D.y=2.(3分)一次函数y=−x−3在y轴上的截距是（）A.−3B.−1C.1D.33.(3分)下列方程为无理方程的是（）A.3B.xC.xD.14.(3分)下列说法中，错误的是（）A.平行向量的方向可能相同B.方向相反的向量是相反向量C.平行向量的方向可能相反D.方向相反的向量是平行向量5.(3分)事件“关于x的方程a2A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.必然事件或随机事件6.(3分)已知在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下列四个命题中真命题是（）A.若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形B.若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形C.若AOOB=COD.若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）7.(2分)连接三角形两边中点的线段叫做三角形的.8.(2分)已知关于x的方程2x2+mx+3=0是二项方程，那么9.(2分)用换元法解方程x2+14x+4xx210.(2分)方程(x+1)·x−2=0的根是11.(2分)先后两次掷一枚材质均匀的骰子，第一次掷得的点数记为a，第二次掷得的点数记为b，那么点(a,b)落在直线y=2x上的概率是.12.(2分)如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是边形.13.(2分)在五张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、等边三角形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，那么抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是.14.(2分)化简：AB→−15.(2分)已知四边形ABCD中，AB→+CD→=016.(2分)如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，点E、F分别是边AB、CD的中点，点G、H在对角线AC上.如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于.17.(2分)如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=24，点F在BC边上，折叠矩形使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A、B分别落在点A1、B1处.如果AG=7，那么B1D18.(2分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90∘，AB=3，AD=4，BC=8.点E在边BC上，将△ABE沿着AE翻折，点B的对应点为点F.如果EF⊥CD，那么EC的长为三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题10分，第24题10分，第25题12分，共58分）19.(6分)解方程组：&x20.(6分)已知分式方程1x−2解：（第①步）去分母，得：x+2−4=1，(第②步）解这个整式方程，得：x=3，(第③步）检验：当x=3时，x2(第④步）所以，原方程的根是x=3.(1)甲同学的解答过程是从第______步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：______；(2)请写出正确且完整的解答过程.21.(6分)A、B两城间的铁路路程为1800千米.为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米.(1)如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；(2)如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米.问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由.22.(8分)一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题.为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：类型Ⅰ：一条直线y=kx+b(k、b都不为0)与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；类型Ⅱ：两条直线l1：y1=k1x+b1和l2小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论.(1)如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S(用含k和b的式子表示)。(2)将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为i)在图2中已经画出了直线l1和l2大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和(A)k1>0，b1>0(B)k1>0，b1>0(C)k1>0，b1<0(D)k1>0，b1>0此时S1、S2、Sxii)如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑|k2|和|b2|的大小），请在图中画出直线23.(10分)已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC求证：（1）四边形FBGH是菱形；(2)四边形ABCH是正方形.24.(10分)定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”.例如：(1,1)、(−3，−33(1)如果直线l1：y=−x+b(b>0)上有且只有一个“倒数点”，记作点P，求直线l1(2)求直线l2：y=3x+2(3)如果直线l3：y=kx+1上有两个“倒数点”，记作点T1，T2点O为坐标原点，当∠25.(12分)已知：如图1，四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠B=∠C<90(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；(2)定义：在平面内，如果存在一点O到四边形的四条边的距离相等，就称这个点O为四边形“内心”；如果存在一点P到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点P为四边形“外心”.如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”.①i)四边形ABCD为______；A.双心四边形；B.存在“内心”的单心四边形；C.存在“外心”的单心四边形；D.以上都不对；ⅱ）设BCAD=x(x>1)，当四边形ABCD的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出②若四边形ABCD的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点O或“外心”点P(不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论)；③当AD=2，BC=3时，求出“内心”点O到四边形ABCD的四条边的距离或“外心”点P到四边形ABCD的四个顶点的距离.数学2024-2025学年上海中学东校八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分）1、【答案】D【知识点】一次函数的定义2、【答案】A【知识点】一次函数图象上点的坐标特征3、【答案】B【知识点】无理方程4、【答案】B【知识点】命题与定理5、【答案】A【知识点】随机事件6、【答案】C【知识点】命题与定理二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）7、【答案】中位线【知识点】三角形中位线定理8、【答案】0【知识点】一元二次方程的定义9、【答案】y【知识点】换元法解分式方程10、【答案】x=2【知识点】无理方程11、【答案】1【知识点】列表法与树状图法12、【答案】八【知识点】多边形内角与外角13、【答案】3【知识点】中心对称图形,概率公式14、【答案】0【知识点】*平面向量15、【答案】平行四边形【知识点】*平面向量16、【答案】5【知识点】矩形的性质17、【答案】8【知识点】矩形的性质,翻折变换（折叠问题）18、【答案】13【知识点】梯形,翻折变换（折叠问题）三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题10分，第24题10分，第25题12分，共58分）19、【解答】解：由②得，x=y−1③，把③代入①，得(y−1)2整理，得y2解得y1=1，将y1=1代入③，得将y2=−1代入③，得所以，原方程组的解是&x1=0【知识点】高次方程20、【解答】解：（1）甲同学的解答过程是从第①步开始出现错误的，原因是去分母时，1没有乘最简公分母，故答案为：①；去分母时，1没有乘最简公分母；(2)原方程去分母得：x+2−4=x整理得：x2因式分解得：(x+1)(x−2)=0解得：x1=−1，检验：当x=−1时，x2−4≠0，当x=2时，故原分式方程的解为x=−1.【知识点】分式方程的解,解分式方程21、【解答】解：（1）列车提速前速度是每小时80千米，提速后速度是每小时100千米，t=1800(2)列车提速后速度符合规定，理由如下：设列车提速后速度是每小时x千米，则列车提速前速度是每小时(x−20)千米，根据题意得1800x−20解得x1=120，经检验，x1=120，x2∴提速后速度是每小时120千米，∵这个速度不超过每小时140千米.问列车提速后速度符合规定.【知识点】分式方程的应用22、【综合知识点】二元一次方程组的应用-其他问题(1)【解答】当x=0时，y=k当y=0时，0=k1x+∴A(0，b1)，B(−b∴S=1(2)【解答】l1、呈上升趋势，与y轴的交点在y的正半轴，l2呈下降趋势，与y轴的交点在y∴k1>0，b1>0∴S故选：D；S1(3)∵k2>0∴图象如下：由图象得：S123、【解答】证明：(1)∵点F、G是边AC的三等分点，∴AF=FG=GC.又∵点D是边AB的中点，∴DH∥BG.同理：EH∥BF.∴四边形FBGH是平行四边形，连接BH，交AC于点O，∴OF=OG，∴AO=CO，∵AB=BC，∠ABC=90∴四边形FBGH是菱形；(2)∵四边形FBGH是平行四边形，∴BO=HO，FO=GO.又∵AF=FG=GC，∴AF+FO=GC+GO，即：AO=CO.∴四边形ABCH是平行四边形.∵AC⊥BH，AB=BC，∴四边形ABCH是正方形.【知识点】三角形中位线定理,菱形的判定与性质,正方形的判定24、【解答】解：（1）在y=−x+b中，令y=1x得：去分母整理得：x2∵y=−x+b(b>0)∴x∴Δ=0，即(−b)2解得b=2或b=−2(舍去)，∴直线l1的解析式为y=−x+2当b=2时，x2−bx+1=0即为解得x1经检验，x1=x∴P(1,1)(2)在y=3x+2中，令y=1x得：去分母整理得：3x解得x1=−1，经检验，x1=−1，x2∴直线l2：y=3x+2上的“倒数点”坐标为(−1,−1)，（13，(3)在y=kx+1中，令y=1x得：去分母整理得：kx∵直线l3：y=kx+1∴kx∴Δ>0，即解得k>−1设kx2+x−1=0的两根为α，β，则α+β=−不妨设T1(α，1α)，∵α与1α同号，β与1∴T1(α，1α)∵∠T∴T1(α，1α)当T1(α，1α)，T2(β，∴−1∴k<0，∴此时k的范围是−1当T1(α，1α)，T2(β，这与α+β=−1综上所述，k的范围是−1【知识点】点的坐标25、【解答】(1)证明：如图，延长BA，CD交于点E，∵∠B=∠C，∴EB=EC，又∵AB=CD，∴EA=ED，∴∠EDA=∠EAD=1又∵∠B=∠C=1∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是梯形，又∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形；(2)解：①i)四边形ABCD为存在“外心”的单心四边形；如图，假设四边形ABCD为“内心”的单心四边形，∴内心为对角平分线的交点，如图，假设O为四边形ABCD的内心，∴∠DAO=∠BAO，∠OBA=∠OBC，又∵AD=CB，OA=OA，∴△ABO≌△ADO，∴BO=OD，同理可得AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，与四边形ABCD为等腰梯形矛盾，∴四边形ABCD不是“内心”的单心四边形，故答案为：C；ⅱ）设BCAD=x(x>1)，当四边形当P在BC上时，此时PA=PB=PC=PD，又∵AB=AD=CD，∴AB∴∠APB=∠APD=∠CPD=60∴△ADP是等边三角形，∴AD=12BC∵四边形ABCD的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），∴x<2，又∵x>1，∴1<x<2，故答案为：1<x<2；②如图，“外心”点P，即为所求；③如图