大学概率论与数理统计《随机事件与概率》教学课件

随机事件与概率概率论与数理统计·第一章2026年课程导览01随机事件与样本空间建立随机试验与事件语言02概率的定义与性质公理化定义与基本运算03古典概型与几何概型等可能模型的计算方法04条件概率与独立性三大公式与事件独立01随机事件与样本空间随机现象无处不在，概率论始于对随机试验的精确描述随机试验引出概率论随机现象关键Q:什么是随机现象特征A:结果无法预先确定，却能在相同条件下反复进行个别无规律，整体有规律抛一枚硬币，落地前无法断言哪面朝上掷一颗骰子，六个点数都可能出现大量重复后，随机现象会呈现稳定的统计规律学科定位概率论的使命概率论正是研究随机现象统计规律性的数学分支随机试验的三个特征抛硬币、抽扑克、观察某一时段接到的电话次数，都是随机试验的典型例子，也是后续一切讨论的起点。可重复特征一相同条件下能反复进行，结果不因一次试验而耗尽。试验可重复结果不唯一且不可预知特征二每次试验的可能结果不止一个，试验前无法确定哪一个会出现。结果不确定结果范围事先可知特征三所有可能结果在试验前能够明确列举。范围可列举样本空间与样本点“集合语言，是描述随机现象的统一框架。”—从“可能性”到“集合”，让随机现象有了统一的数学表达小结**样本空间**是“所有可能”的集合，**样本点**是其中的每一个结果——先定Ω，再谈概率。Ω样本空间定义随机试验所有可能结果组成的集合，记作

Ω。理解把“所有可能”装进一个集合，试验的结果一定落在里面。样本点Ω

中的每一个可能结果。每一次试验，只会产生其中一个样本点。样本点之间互斥，不会同时出现两个。可能性互斥生活化举例

抛硬币Ω＝{正面，反面}，两个样本点。

掷骰子Ω＝{1，2，3，4，5，6}，六个样本点。随机事件是样本子集事件＝样本空间的子集核心定义事件发生，当且仅当子集中某个样本点出现。三类特殊事件基本事件：只含单个样本点不可能事件：空集∅必然事件：整个样本空间Ω生活化举例掷骰子事件A＝{出现奇数点}＝{1，3，5}事件的包含与相等“包含关系：A发生必然导致B发生，记作

A⊂B。”

掷骰子：A＝{出现2点}，B＝{出现偶数点}，则A⊂B·互相包含⇒两事件相等集合关系是事件推理的根基。包含关系A⊂B，A的所有样本点都属于B相等关系A⊂B且B⊂A

同时成立，记作

A＝B和积差与互斥对立事件运算与集合运算规律相通。和A∪BA与B至少一个发生积A∩BA与B同时发生差A−BA发生而B不发生互斥A∩B为空集，两事件不可能同时发生对立互斥且和构成整个样本空间，记作

Ā掷骰子举例掷骰子中，奇数点与偶数点互为对立事件。事件运算的交换律事件运算与集合运算规律相通，掌握后可化简复杂事件关系。运算律是复杂事件化简的钥匙交换律A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A结合律多个事件求和、求积时可任意加括号如(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)分配律A∩(B∪C)＝

(A∩B)∪(A∩C)乘法对加法的分配，与数的运算类似对偶律并的补＝补的交；交的补＝补的并补运算与并、交互换角色，成对出现02概率的定义与性质从频率的稳定性到公理化定义，概率有了坚实的数学基础频率的稳定性现象频率：相同条件下重复试验，事件A发生次数与总次数的比值。频率的稳定性是概率客观定义的经验基础现象次数少时波动大；次数增多，频率逐渐稳定于某个常数附近。历史验证历史抛硬币数万次，正面频率始终在

0.5

附近微小浮动频率的稳定性为概率的客观定义提供经验依据概率的统计定义“频率给出直觉，公理才能奠基。”抛硬币、掷骰子——多试几次，频率就告诉我们答案。“频率给出直觉，公理才能奠基。”统计定义大量重复试验中，事件A的频率稳定趋近的常数，即

P(A)。直观优势贴近经验，易于理解。根本局限依赖试验次数足够多“稳定性”不是严格数学概念无法支撑严密逻辑推演概率的公理化定义三条公理设样本空间

Ω，对每个事件A赋予实数

P(A)，满足三条公理即称概率。非负性P(A)≥0规范性P(Ω)

＝1可列可加性两两互斥事件之和的概率等于各自概率之和三条公理共同把概率从经验概念提升为严密数学对象奠定整个概率论的理论基石概率的基本性质“公理是根，性质是枝，运算皆由此生”公理起点三条公理构成概率论的逻辑地基，所有性质均由公理严格推出。四条核心性质不可能事件的概率为

0任意事件的概率落在

0到1

之间一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)若

A包含于B，则P(A)≤P(B)，且P(B−A)＝P(B)－P(A)公理是根，性质是枝，运算皆由此生加法公式的直观重复计数扣一次，互斥事件直接加核心公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)重复计数扣一次，互斥事件直接加。公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)为何减交集A、B概率相加时，交集被算了两次，须扣回一次。互不相容时A∩B为空，公式退化为

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)对立事件的概率“算不动正面，就绕到背面去算。”“算不动正面，就绕到背面去算。”核心公式P(A)＋P(Ā)＝1即P(A)＝1－P(Ā)正难则反直接算A困难→改算对立事件Ā抽球、分牌等组合情形中，转换常能大幅简化计算对立事件简化计算03古典概型与几何概型等可能性是古典概型的灵魂，几何度量是几何概型的钥匙古典概型的假设同时满足有限性与等可能性，才构成古典概型。两个前提缺一不可——有限性与等可能性，共同构成古典概型的基石。等可能性是古典概型的灵魂，它让每个基本事件站在同一起点。有限性条件一样本空间只含有限个样本点。等可能性条件二每个样本点出现的可能性相等。典型实例直观理解

掷硬币、

掷骰子、

从一副牌中随机抽一张——都是等可能且有限的情形。古典概型的公式分子与分母必须采用同一套计数方式，确保每个基本事件等可能纳入统计。古典概型的核心公式：P(A)=m/n先数清样本空间，再数清事件——一数一比，概率即出公式古典概型的定义式P(A)=m/nm事件A包含的基本事件数——数“想要的”n样本空间的基本事件总数——数“所有的”关键约束分子与分母必须采用同一套计数方式，确保每个基本事件等可能纳入统计。计数口径不一致，答案必然出错。排列组合工具两个原理定方向数清样本空间，从加法与乘法两个计数原理出发排列·组合·计算公式计数是古典概型的底层能力，公式熟练则计算从容加法原理分类完成一件事，各类方法数相加生活例子：从家到学校，可乘公交（3条线）或地铁（2条线），共3+2=5种走法。乘法原理分步完成一件事，各步方法数相乘生活例子：挑选上衣（3件）+裤子（2条）搭配，共3×2=6套穿法。排列从n个元素中取m个，按顺序排列生活例子：3人排队合影，谁站中间都算不同排法，次序重要。组合从n个元素中取m个，不考虑顺序生活例子：从5人中选2人参加活动，谁先选谁后选都一样，次序无关。C组合数公式C(n,m)=n!/[m!(n−m)!]抽球模型的概率先算分母，再算分子，最后作比——古典概型的规范流程。袋中有

3个白球

和

2个黑球，任取2个，求两个都是白球的概率。→→古典概型的规范流程：先分母，再分子，最后作比。1第一步先算分母样本空间基本事件总数C(5,2)=102第二步再算分子事件A取到两个白球，包含C(3,2)=33第三步最后作比概率P(A)P(A)=C(3,2)÷C(5,2)=3/10抓阄公平性验证无论第几个抽，中奖概率均为1/n。“n个人依次从n个签中抽取，仅1个中奖签，先抽者是否占优？”结论1/n第1人1/n第2人(n−1)/n×1/(n−1)=1/n第k人前k−1人未中

×1/(n−k+1)=1/n抓阄先后无优劣，规则本身是公平的。几何概型的引入古典概型的局限有限等可能古典概型要求样本点必须有限且等可能。一旦结果充满区间、平面区域或空间立体，样本点无限多，古典概型失效。连续型现象的出现等待时间两人约定某时段内到达，等待时间可取一切实数——这类问题需要新的概率模型。无限等可能以几何度量替代计数，处理无限等可能情形。几何概型的公式思维跃迁：从数个数到算长度适用条件等度量原理样本空间可度量样本点落入任意等度量子区域的概率只与度量成正比，与位置、形状无关核心公式长度·面积·体积P(A)=A的度量/Ω的度量度量可取长度、面积、体积会面问题的求解“几何概型的本质，是把概率化为面积之比。”建模设两人到达时刻为x、y样本空间为边长60的正方形相遇条件|x−y|≤等待时间，对应正方形内一条带状区域。求解相遇概率=带状区域面积÷

正方形面积几何概型的本质，是把概率化为面积之比。04条件概率与独立性条件概率改变样本空间，贝叶斯公式更新我们的信念条件概率的场景已知信息改变判断场景引入抽到一张牌，已知它是红色，再判断是否为红桃K，概率与毫无信息时明显不同。条件概率的定义概念界定在事件A已发生的条件下，事件B发生的概率，记作

P(B|A)。核心思想理解关键附加条件相当于把样本空间缩小，概率评估随之更新。条件概率的定义“条件概率，是在缩小后的样本空间里重新度量可能性。”—条件概率的本质核心理解条件概率，是在缩小后的样本空间里——把目光只聚焦在A已经发生