大学线性代数《矩阵及其运算》课程讲义课件

线性代数课程大学线性代数《矩阵及其运算》课程讲义概念·运算·逆矩阵·分块授课时间：2026年课程导览01矩阵的由来从线性方程组到矩阵记号02矩阵的运算加法、数乘、乘法与转置03逆矩阵与初等变换可逆条件与求逆方法04分块矩阵与综合应用运算视角拓展与例题巩固SECTION01矩阵的由来从方程组到矩阵矩阵是线性方程组系数的简洁表达从线性方程组到矩阵求解线性方程组的需求，催生了矩阵这一工具1线性方程组求解过程只依赖于各未知量的系数与常数项2提取系数系数按原有位置排列，得到一张矩形数表3矩形数表数表完整保留方程组的结构信息，是解方程的重要载体4矩阵概念由此抽象出一般概念，即矩阵矩阵源于求解线性方程组的需求矩阵的定义与记号矩阵是由数排列而成的矩形数表矩阵，是由数排列而成的矩形数表，用行与列定义其结构行数与列数由

m×n

个数排成

m行n列

的矩形数表，称为

m行n列矩阵当

m=n

时称为

n阶方阵，其行数与列数相等记号与元素通常记作大写字母

A、B、C

等位于第

i行第j列

的数称为矩阵的

元素，记作

aᵢⱼ矩阵一般记作

A=(aᵢⱼ)

的形式矩阵的相等与元素位置两个矩阵相等，必须同型且对应元素全相等相等前提同型矩阵行数与列数分别相同，即同型矩阵。相等条件元素全等同型且所有对应位置的元素都相等。位置绑定位置定元素元素的值与其位置紧密绑定，位置不同则视为不同元素。交换差异行/列互换交换两行或两列的对应元素，通常得到不同的矩阵。几种常见的特殊矩阵特殊形态的矩阵在运算中扮演关键角色基础形态3类行矩阵只有一行的矩阵列矩阵只有一列的矩阵零矩阵所有元素都为零，记作

O方阵形态4类单位矩阵主对角线元素为

1、其余为

0

的方阵，记作

E对角矩阵除主对角线外其余元素全为零的方阵上三角矩阵主对角线下方元素全为零下三角矩阵主对角线上方元素全为零对称矩阵与反对称矩阵对称性体现了矩阵元素关于主对角线的呼应关系对称性判定判断对称性的关键，是检查每一对关于主对角线呼应的元素。对称矩阵与反对称矩阵都必须是方阵，非方阵无从谈起。对对称矩阵aᵢⱼ=aⱼᵢ元素关于主对角线对称方阵对角线呼应反反对称矩阵aᵢⱼ=-aⱼᵢ主对角线元素必为零方阵对角线为0SECTION02矩阵的运算规则清晰，方能运算加法、数乘、乘法、转置逐一掌握矩阵的加法只有同型矩阵才能相加，且对应元素逐一相加矩阵加法遵循同型才能相加的规则，对应元素逐一相加得到新矩阵。同型要求矩阵加法要求两个矩阵行数与列数分别相同，缺一不可逐元素相加把对应位置的元素相加，得到同型的新矩阵同型前提记号记C等于A加B，cᵢⱼ

等于aᵢⱼ

加bᵢⱼ界限不同型的矩阵之间不能相加，也不作任何形式上的合并零元角色零矩阵在加法中充当零元，A加O仍等于A运算边界同型要求矩阵加法要求两个矩阵行数与列数分别相同，缺一不可逐元素相加把对应位置的元素相加，得到同型的新矩阵矩阵的数乘数乘矩阵，必须把常数乘到每一个元素上数乘矩阵，每一个元素都要乘以k数乘矩阵的运算规则规则说明数乘定义数

k

与矩阵

A

相乘，得到

kA逐元素相乘结果是

每一个元素

都乘以

k，而不是只乘某一处元素记号记

kA

等于

k

倍aᵢⱼ，即新矩阵的元素为原元素乘以

k负矩阵当

k

等于负一时，得到

A

的负矩阵，满足

A

加负

A

等于

O维度不变数乘不改变矩阵的行数与列数加法与数乘的运算律加法与数乘的运算律，与普通数的运算高度相似注意：以上均为数乘的分配律，与矩阵乘法无关加法交换律交换律A

加

B

等于

B

加

A加法结合律结合律A

加

B

再加

C

等于

A

加

B

加

C

的两种结合顺序数乘结合律结合律k

乘

lA

等于

kl

倍的

A分配律数乘分配k

倍的

A

加

B

等于

kA

加

kB分配律数乘分配k

加

l

倍的

A

等于

kA

加

lA矩阵乘法的定义左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数，乘法才有意义设

A

为

m×s

矩阵，B

为

s×n

矩阵，则

AB

为

m×n

矩阵维数匹配关系A·B设

A

为m×s矩阵，B

为s×n矩阵AB则

AB

为m×n矩阵元素算法与定义元素算法：元素cij

由A的第i行与B的第j列各元素对应相乘再求和得到行列来源：结果矩阵的行数取自A，列数取自B无定义警示：若列数与行数不匹配，乘法无定义，不能强行计算矩阵乘法的计算示例行乘列，是矩阵乘法最核心的操作第1步取行取行取A的第一行与B的第一列第2步相乘求和相乘求和对应元素相乘后求和，得到结果矩阵第一行第一列的元素第3步逐列逐行推进逐列逐行推进依次取A的第一行与B的其余各列，再取A的其余各行，重复上述过程下标对应每一对行的元素与列的元素相乘，都要求下标一一对应，不可错位熟练后简化熟练后可省略中间过程，直接按行乘列写出结果矩阵乘法的运算律结合律与分配律成立，为运算化简提供空间掌握三条运算律与单位矩阵性质，矩阵运算化简有章可循结合律1条A乘B再乘C等于A乘B乘C的另一种结合顺序前提各乘法运算本身可行左分配律1条A乘B加C等于

AB加AC前提各乘法运算本身可行右分配律1条B加C乘A等于

BA加CA前提各乘法运算本身可行矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法一般不满足交换律，AB与BA常常不相等矩阵乘法是线性代数的核心运算，但它的行为与普通数的乘法有着本质区别——下面三个反例揭示了这一点。涉及乘法时左右位置必须提前确定，不可随意调换——这一特殊性是矩阵运算中最常见的出错来源。反例表现交换失效AB与BA常常不相等，甚至维数都可能不同。反例表现消去失效由AB等于AC且A非零，推不出B等于C。反例表现零因子存在由AB等于零矩阵，推不出A等于零或B等于零。矩阵的转置转置就是把行与列互换位置转置的定义定义把

m×n

矩阵A的行换成同序号的列，得到

n×m

矩阵，记作

Aᵀ转置的转置性质Aᵀ

的转置仍然等于

A和的转置性质A

加

B

的转置等于

Aᵀ

加

Bᵀ乘积的转置性质等于

Bᵀ

乘

Aᵀ，注意因子顺序被颠倒方阵的行列式与幂方阵既可以取行列式，也可以作幂方阵的两个基本运算——行列式与幂，各自遵循简洁而优美的运算规律。行列式DETERMINANT方阵A对应的行列式记作

detA，它是一个数，与矩阵本身不同。乘积性质：AB的行列式等于A的行列式乘B的行列式。幂POWERA的k次幂定义为k个A相乘，要求A为方阵。A的零次幂规定为单位矩阵E。指数相加：A的m次幂乘A的n次幂等于A的m加n次幂。SECTION03逆矩阵与初等变换可逆方可求逆初等变换是求逆矩阵的通用工具逆矩阵的定义逆矩阵是矩阵运算中类比于倒数的概念逆矩阵

A⁻¹

满足

AB=BA=E，是矩阵运算中的"倒数"核心定义对于

n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使

AB=BA=E，则称A可逆，并称B为A的逆矩阵，记作

A⁻¹关键性质只有

方阵

才讨论逆矩阵，非方阵不谈可逆性逆矩阵若存在，则一定是

唯一

的单位矩阵的逆矩阵是

它自身逆矩阵的运算性质逆矩阵的性质与转置有相似的组合规律记忆要点：求乘积的逆时，因子的顺序需要反转逆的逆INVERSEOFINVERSEA⁻¹的逆矩阵仍然等于

A数乘的逆INVERSEOFSCALARMULTIPLEkA可逆时，其逆矩阵等于

k分之一乘A⁻¹，要求k不为零乘积的逆INVERSEOFPRODUCT乘积的逆等于

B⁻¹乘A⁻¹，因子的顺序同样被颠倒转置的逆INVERSEOFTRANSPOSEAᵀ

的逆矩阵等于

A⁻¹的转置矩阵可逆的充要条件方阵可逆，当且仅当其行列式不等于零判断矩阵是否可逆，先算行列式是最直接的路径非奇异矩阵（可逆）行列式≠0n阶方阵A的行列式不等于零A称为非奇异矩阵，也称满秩矩阵奇异矩阵（不可逆）行列式=0行列式等于零A不可逆，称为奇异矩阵可逆与不可逆，是矩阵最重要的二分属性之一。伴随矩阵与求逆公式伴随矩阵给出了逆矩阵的代数表达式伴随矩阵给出逆矩阵的代数表达式构成与公式伴随矩阵与求逆由方阵A各元素的代数余子式按转置方式排列，构成伴随矩阵，记作A的伴随矩阵求逆公式为，A⁻¹等于A的行列式分之一乘伴随矩阵，前提是行列式不为零二阶方阵求逆可套用口诀，主对角线元素交换、副对角线元素变号，再除以行列式适用性说明方法选择三阶及以上方阵用伴随矩阵计算量较大，通常改用初等变换法伴随矩阵方法更适合低阶方阵的求逆矩阵的初等变换初等变换是处理矩阵问题的通用工具初等变换三大基本操作把上述行换成列，即得相应的初等列变换；初等行变换与初等列变换合称

初等变换换行变换交换矩阵的两行倍乘变换用非零数乘矩阵的某一行倍加变换把某一行的

k

倍加到另一行上初等矩阵及其可逆性对单位矩阵作一次初等变换，就得到初等矩阵初等矩阵是连接变换操作与乘法运算的桥梁定义与可逆性对单位矩阵

E

施行一次初等变换，所得的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同类型的初等矩阵。行变换与左乘对

A

施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的初等矩阵。列变换与右乘对

A

施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的初等矩阵。变换与乘法的联系初等矩阵把变换操作与乘法运算联系了起来。用初等变换求逆矩阵构造增广矩阵，同步施行初等行变换，即可求出逆矩阵1并列构造将A与同阶单位矩阵E并列，构造分块形式的增广矩阵2反复变换对增广矩阵反复施行初等行变换3目标方向目标是让左边的A逐步化为单位矩阵E4得到结果当左边变为E时，右边的部分就化为A⁻¹5判断可逆若变换过程中左边出现全零行，说明A不可逆SECTION04分块矩阵与综合应用化整为零，化繁为简分块思想让复杂运算变得清晰分块矩阵的概念把大矩阵拆成小块，复杂运算就能化整为零以子块为元素构成的矩阵，即为分块矩阵什么是分块矩阵用若干条横线和纵线把矩阵分割成若干个小矩阵，每个小块称为子块以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵为什么要分块把高阶矩阵的运算，转化为低阶子块的运算恰当的分块能让矩阵结构一目了然分块方式可以自由选择，但同一问题中应保持分块一致分块矩阵的运算分块矩阵的运算规则，与普通矩阵的运算规则一致分块矩阵的运算核心：子块视作元素，规则与普通矩阵一致分块加法分块方式相同两个矩阵进行加法时，分块方式必须一致对应子块相加各对应子块分别相加，得到结果矩阵的相应子块分块数乘常数乘到每一个子块上常数逐一作用于每个子块分块乘法左矩阵列的分法与右矩阵行的分法一致子块当作元素，按行乘列求出各子块相乘后子块顺序不可调换分块对角矩阵及其求逆分块对角矩阵的求逆，只需对每个对角子块分别求逆只对主对角线上的子块分别求逆，即可得到整个分块对角矩阵的逆矩阵。分块对角矩阵的求逆定义：只有主对角线上有非零子块，其余子块全为零。行列式：等于各对角子块行列式的乘积。可逆条件：每个对角子块都可逆时，整个分块对角矩阵可逆。求逆方法：各对角子块分别取逆，结果仍为分块对角矩阵。价值：大幅简化高阶矩阵的求逆过程。综合例题：乘法与转置综合题检验的是规则的熟练运用与顺序的准确把握求转置后的乘积时，因子的顺序需要颠倒，对照两种路径的结果可加深对性质的理解第一步·判断可行性维数核对确认各乘法运算是否可行核对维数匹配，为逐元素计算做前置准备第二步·逐元素计算行乘列按行乘列逐步求出乘积矩阵的各个元素，每一步都依赖可行的维数核对。第三步·转置与验证性质对照对乘积结果取转置对照乘积转置的性质进行验证综合例题：判断可逆并求逆先判断是否可逆，再选择合适的求逆方法1第一步