新教材九年级数学上册第2课时　用配方法解一元二次方程（备课教案）

第2课时用配方法解一元二次方程教师备课素材示例●归纳导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？【教学与建议】教学：通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法，让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．建议：讲解时让学生明白方程两边同时加14的目的，体会等式的性质及转化思想的应用．【归纳】当一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数的一半的平方．●复习导入能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？(1)回顾完全平方公式，并完成填空．①x2＋4x＋__4__＝(x＋__2__)2；②x2－10x＋__25__＝(x－__5__)2；③x2＋mx＋__eq\f(m2,4)__＝(x＋eq\f(m,2))2.观察问题：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方．(2)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？【教学与建议】教学：通过复习，使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点，实现开平方解一元二次方程的可行性．建议：整个复习过程让学生充分参与，相互配合．命题角度1配方根据完全平方式的结构特点，将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式．【例1】(1)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是(C)A．(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(13,4)B．(x－eq\f(3,4))2＝eq\f(1,2)C．(x－eq\f(3,4))2＝eq\f(17,16)D．(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4)(2)如果x2－8x＋m＝0可以通过配方写成(x－n)2＝6的形式，那么x2＋8x＋m＝0可以配方成(D)A．(x－n＋5)2＝1B．(x＋n)2＝1C．(x－n＋5)2＝11D．(x＋n)2＝6命题角度2用配方法解一元二次方程一元二次方程的二次项系数化为1，原方程变形为(x＋m)2＝n的形式，再利用直接开平方法解方程．【例2】用配方法解下列方程：(1)x2＋2x－4＝0；解：移项，得x2＋2x＝4.配方，得x2＋2x＋12＝4＋12，(x＋1)2＝5.由此可得x＋1＝±eq\r(5)，x1＝－1＋eq\r(5)，x2＝－1－eq\r(5)；(2)2x2－6x－1＝0.解：移项，得2x2－6x＝1.二次项系数化为1，得x2－3x＝eq\f(1,2).配方，得x2－3x＋(eq\f(3,2))2＝eq\f(1,2)＋(eq\f(3,2))2，(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4).由此可得x－eq\f(3,2)＝±eq\f(\r(11),2)，x1＝eq\f(3＋\r(11),2)，x2＝eq\f(3－\r(11),2).命题角度3用配方法求字母或代数式的值用配方法，将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式．【例3】(1)若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC的形状是__等边三角形__．(2)已知5x2＋3y2－20x－6y＋23＝0.求yx的值．解：原式可变形为(5x2－20x＋20)＋(3y2－6y＋3)＝0，配方，得5(x－2)2＋3(y－1)2＝0，则x－2＝0，y－1＝0，解得x＝2，y＝1，故yx＝12＝1.命题角度4用配方法进行说理理解配方法的关键点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”．【例4】我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以当a＝0时，a2有最小值为0.【应用】(1)当x＝__1__时，代数式(x－1)2有最小值；(2)代数式m2＋3的最小值是__3__；【探究】求代数式n2＋4n＋9的最小值，小明是这样做的：n2＋4n＋9＝n2＋4n＋4＋5＝(n＋2)2＋5，∴当n＝－2时，代数式n2＋4n＋9有最小值，最小值为5.(3)请你参照小明的方法，求代数式a2－6a－3的最小值，并求此时a的值．解：a2－6a－3＝a2－6a＋9－9－3＝(a－3)2－12.∵(a－3)2≥0，∴(a－3)2－12≥－12，∴当a＝3时，代数式a2－6a－3取得最小值，最小值为－12.高效课堂教学设计1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程．2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能．▲重点配方法的解题步骤．▲难点用配方法解系数不为1的一元二次方程．◆活动1新课导入1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－5x＋(__eq\f(5,2)__)2＝(x－__eq\f(5,2)__)2；(3)x2＋x＋(__eq\f(1,2)__)2＝(x＋__eq\f(1,2)__)2.2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是__±16__．◆活动2探究新知1．教材P6第2个探究．提出问题：(1)请把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？(2)如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？(3)把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？(4)通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？配方的关键是什么吗？学生完成并交流展示．2．解方程3x2－2x－1＝0.提出问题：(1)如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？(2)请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程；(3)由此请你再归纳一下用配方法解一元二次方程的一般步骤．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．通过配成__完全平方__形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：①先化成__一般形式__；②将常数项移到等式右边；③两边除以__二次项系数__；④方程两边都加上__一次项系数一半的平方__；⑤将等式左边化成__完全平方形式__；⑥两边开方，并求出方程的解．提出问题：(1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？(2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？(3)配方过程中还需注意哪些问题？◆活动4例题与练习例1教材P7例1.例2求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.证明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋eq\f(3,2))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－1）2＋\f(1,2)))＝2(x－1)2＋1.∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.提出问题：二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？学生回答，教师强调：二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式．练习1．教材P9练习第1，2题．2．代数式x2－8x＋18的值(A)A．恒为正B．恒为负C．可能为0D．不能确定3．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝__eq\f(3,2)__，k＝__eq\f(11,4)__．4．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋__2__)2__－1__，该式有最__大__值，是__－1__．5．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，∴无论a为何实数