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文档简介
第一章集合与常用逻辑用语、不等式(举一反三综合训练)
(全国通用)
(考试时间:120分钟;满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题共58分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.(5分)(2026·江苏淮安·模拟预测)已知集合,则()
A.B.C.�=−3,−1,0,2,3D,.�={�|�≤2}�∩�=
【答案】B0,2−1,0,2−1,2−1,0
【解题思路】化简集合,根据交集的概念运算即可.
【解答过程】集合�,
所以�=.�|�≤2=�|−2≤�≤2
故选:�∩B.�=−1,0,2
2.(5分)(2026·云南·模拟预测)命题“,”的否定是()
3
A.,∃�∈B.��−,2�−1<0
33
C.∀�∈�,�−2�−1≥0D.∀�∈�,�−2�−1<0
33
【答案】∃A�∈��−2�−1≥0∃�∈��−2�−1>0
【解题思路】由命题的否定的概念选择即可.
【解答过程】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,
所以命题的否定为“,”.
3
故选:A.∀�∈��−2�−1≥0
3.(5分)(2026·辽宁沈阳·一模)不等式的解集()
�+1
3−�≥1
A.B.C.D.
【答案】B1,31,3−∞,11,3∪3,+∞
【解题思路】根据题意,化简不等式为,结合分式不等式的解法,即可求解.
2(�−1)
�−3≤0
【解答过程】由不等式,可得,
�+1�+1�+1−(3−�)2�−2
3−�≥13−�−1=3−�=3−�≥0
即,即,且,解得,
2(�−1)
�−3≤02(�−1)(�−3)≤0�−3≠01≤�<3
所以不等式的解集为.
故选:B.1,3
4.(5分)(2026·北京朝阳·一模)设,,则“且”是“”的()
22
A.充分不必要条件��∈B�.必要不�充<分3条件�<3�+�<9
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案.
【解答过程】若且,则,,所以,但不能保证,
222222
例如当,�<3时�,<满3足�<且9�<,9但�+�<18,即充分性�不成+立�;<9
22
若�=2.5,则�=2.5,,�所<以3�<3,�+�=12.5>,9即必要性成立,
222222
所以�“+�<9且�<”是9“�<9”的�必要=不�充<分3条件�.=�<3
22
故选:�B.<3�<3�+�<9
5.(5分)(2026·北京石景山·二模)已知实数a,b,c,d满足:,则下列不等式恒成立的
是()�>�>�>�
A.B.C.D.
【答案】�A+�>�+��−�<�−���>����>��
【解题思路】举出反例可判断BCD,根据不等式的基本性质,可判断A,进而得到答案.
【解答过程】对于A,由,两式相加得,故A正确;
对于B,令�>�,�>�,满足�+�>,�+�
此时�=4,�=3,�,=2,�=1,故�>B�错>误�;>�
对于�C−,�令=2,�−�=2�−�=�−�,满足,
此时�=1,�,=0,�=−,1,故�=C−错2误;�>�>�>�
对于�D�,=令0,��=2��<��,满足,
�=1,�=−1,�=−2,�=−3�>�>�>�
此时,,故D错误.
故选:��A=.−2,��=3��<��
6.(5分)(2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测)设集合,,若,则由实数
组成的集合为()�=1,2�={�|��−2=0}�⊆��
A.B.C.D.
【答案】D0,10,21,20,1,2
【解题思路】根据题意,分和,两种情况讨论,结合,列出方程,即可求解.
【解答过程】当时,方�程=0�≠0无解,即,满足�⊆�;
当时,由�方=程0�,�解−得2=0,即�=,∅�⊆�
22
�≠0��−2=0�=��=�
因为,可得或,解得或,
22
�⊆��=1�=2�=2�=1
所以由实数组成的集合为.
故选:D.�0,1,2
7.(5分)(2026·湖北十堰·一模)已知正数,满足,则的最小值为()
A.6B.7C�.�8�+�=��D.�9+4�
【答案】D
【解题思路】整理可得,利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
11
�+�=1
【解答过程】因为正数,满足,则,
11
���+�=���+�=1
可得,
114��4��
�+4�=�+��+4�=5+�+�≥5+2�⋅�=9
当且仅当,即时,等号成立,
4��
�=��=2�=3
所以的最小值为9.
故选:�+D4.�
8.(5分)(2026·广西柳州·二模)已知,,则()
A.B.�>0C.�>0D.
22111112
�+�>2���+�≥���+�>���+�≤��
【答案】C
【解题思路】根据基本不等式,结合比较法逐一判断即可.
【解答过程】A:当时,,所以不正确;
22
�=�>0�+�=2��
B:,
111�+�−1
�+�−��=��
因为,,所以当时,,
111
�>0�>0�+�=1�+�=��
当时,,当时,,因此不正确;
111111
�+�>1�+�>���+�<1�+�<��
C:因为,,所以有,正确;
�>0�>0�+�≥2��>��
D:因为,,所以有2,
112�+�−2���−�
�>0�>0�+�−��=��=��≥0
即,所以不正确.
112
�+�≥��
故选:C.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.(6分)(2026·河南南阳·模拟预测)(多选题)下列结论正确的有()
A.,
2
B.“∀�∈�,�+4>2�”是假命题
C.“∃有�理∈数�的|平�方−1是|有+理1<数0”是存在量词命题
D.“,”的否定是“,”
44
【答案】A∀�B∈��+4�≥0∀�∉��+4�<0
【解题思路】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.
【解答过程】选项A:将不等式变形:,配方得:,
22
对所有实数恒成立,因此选项A正确;�−2�+4>0(�−1)+3>0
选项B:由绝对值的非负性,,
因此,不可能小�于−01,≥因0此选项B正确;
选项C�:−“1有+理1数>的0平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”,
是全称量词命题,而非存在量词命题,因此选项C错误;
选项D:全称量词命题的否定应为存在量词命题,而非改变的取值范围,因此选项D错误.
故选:AB.�
10.(6分)(2026·河南·三模)下列说法正确的是()
.若,则.若,则
A22B
��
�>��<���>���>�
C.若,则D.若,,则
11
�<�<0�−�>�−�−2<�<31<�<2−4<�−�<2
【答案】BD
【解题思路】对于选项A,可根据已知不等式判断的取值情况,再结合不等式性质判断与的大小关系;
对于选项B,可根据不等式两边同时平方的性质判�断与的大小关系;��
��
对于选项C,可通过作差法比较与的大小;
11
�−��−�
对于选项D,可根据不等式的性质求出的取值范围.
【解答过程】选项,已知,因为�−�,当时,,不满足,所以,
A222222
��2����
则.�>��≥0�=0�=�=0�>��≠0
2
不等�式>0两边同时除以,不等号方向不变,可得.
22
��211
�>���>�
当时,满足,但此时,所以选项A错误.
11
�>0, �<0�>��>�
选项B,已知,因为和都有意义,所以.
不等式两边同时�平�方>,�不�等号方向�不�变,可�得�,�即≥0, �≥0。
2233
因为函数在上单调递增,所以由(��)>可得(��),选�项>B�正确。
333
�=�ℝ�>��>�
选项C,,
1111�−�1
�−�−�−�=�−�+�−�=�−�+��=(�−�)1+��
因为,所以,,则,
1
�<�<0�−�<0��>01+��>0
所以,即,选项C错误.
111
(�−�)1+��<0�−�<�−�
选项D,已知,不等式两边同时乘以,不等号方向改变,可得,
又因为1<�,<根2据不等式的性质,两个不−等1式相加,不等号方向不变,−2<−�<−1
可得−2<�<3,即,选项D正确.
故选:−B2D+.(−2)<�+(−�)<3+(−1)−4<�−�<2
11.(6分)(2026·河南·模拟预测)已知,,,下列说法正确的是()
A.的最大值为1�>B0.�>0的(最2�小+值1为)(�2+1)=4
11
2�+1+�+12�+�
C.ab的最大值为D.的最小值为2
123
4�+4(�+1)
【答案】BD
【解题思路】A直接利用基本不等式;B利用基本不等式求的最值;C对
利用基本不等式;D利用消元法求解.2�+1+�+1−22��+2�+�=3
【解答过程】对于A,因为,,,
�>0�>0(2�+1)(�+1)=4
所以,
11111
2�+1+�+1≥22�+1×�+1=24=1
当且仅当,即,时,等号成立,
111
2�+1=�+1�=2�=1
此时是最小值不是最大值,故A不正确;
对于B,,
当且仅当2�+�=2�+1,+即�+1−,2≥2时(2,�+等1号)(成�立+1,)故−2B=正2确;
1
2�+1=�+1�=2�=1
对于C,因为,所以,
因为,(2�+,1所)(以�+1)=42,��所+以2�+�=3,
令�>0�>,0所以2�+�≥,2即2��3≥2,��所+以22��,
22
所以2��=�>,0所以3≥,�+2��+2�−3≤0−3≤�≤1
1
2��≤1��≤2
当且仅当,即,时,等号成立,故C不正确;
1
2�=��=2�=1
对于D,因为,所以,
4
(2�+1)(�+1)=4�+1=2�+1
所以,
2
232344�+3
令�+4�+1,所=以�+4×2�+1=2�+1,
22
所以2�+1=�>14�=�−,2�+1
22
4�+3�−2�+44
2�+1=�=�+�−2≥2
当且仅当,即,所以时,等号成立,故D正确.
41
�=��=2�=2,�=1
故选:BD.
第II卷(非选择题共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.(5分)(2026·新疆·三模)不等式的解集为__________.
�−3
�−1>−1
【答案】或.
【解题思路�】�将<分1式不�>等2式化成一元二次不等式,求解即得.
【解答过程】由可得,
�−3�−3�−12�−4
故或�−,1>−1�−1+�−1>0⇒�−1>0⇒�−12�−4>0
故不�>等2式的�解<集1为或.
故答案为:�或�<1.�>2
��<1�>2
13.(5分)(2026·山东德州·一模)设集合,若,则__________.
233
【答案】�=1,�,�,�=�,�,���=��+�=
【解题思路−1】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.
【解答过程】,,且且且,
2
或∵�=1,,�,�,�=�,�,���=�∴�≠1�≠1�≠0�≠�
22
∴�=1�=�
当��=�时,��=1且,,.
2
�=−133
�=1∵�≠1�≠1∴∴�+�=−1
当��=�时,解得,�且=0,不成立.
2
�=1�=1
�=�∵�≠1�≠1∴
综上��可=得1,�=.1�=1
33
故答案为:�+.�=−1
14.(5分)−1(2026·山西吕梁·一模)正数满足,则的最小值是__________.
【答案】16�,��+�=���+9�
【解题思路】根据给定条件,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】由正数满足,得,
11
�,��+�=���+�=1
则,
11�9��9�
�+9�=(�+�)(�+9�)=10+�+�≥10+2�⋅�=16
当且仅当,即取等号,
�9�
�=��=3�=4
所以的最小值是16.
故答案�+为9:�16.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(13分)(2026·上海闵行·一模)已知,集合.
2−�2
�∈R�=�|�+1≤0,�=�|�+3−��−3�<0
(1)当时,求和;
1
�=3��
(2)已知,求实数的取值范围.
�∪�=��
【答案】(1)或,
1
�|�<−1�|−3<�<3
(2)�≥2
【解题�|�思≤路−】1(1)解分式不等式和一元二次不等式即可求解;
(2)由集合运算转化为子集关系,再讨论空集和非空子集,来求解参数范围.
【解答过程】(1)由,得,解得或,
2−�
2−��+1≤0
�+1≤0�<−1�≥2
�≠−1
则或;
由�=�|�<−1�≥2;
2
�=�|�+3−��−3�<0=�|�+3�−�<0
当时,,解得.
111
�=3�=��+3�−3<0�=�|−3<�<3
(2)由,得,由,
①当�∪时�,=得��⊆,�符合题�意=;�|�+3�−�<0
②当�=∅时,若�=−3,则,
由�≠,∅�>−3或�=,�|−3<�<�
可得�⊆��,=此�时|�<−1�≥;2
若�≤−,1则−3<�≤−1,此时恒成立,故符合题意;
综上�<所−述3,实数�=的�取|�值<范�围<为−3�.⊆��<−3
16.(15分)(�2026·海南儋州·模�|�拟≤预−测1)已知集合,.
(1)若,求实数m的取值范围;�={�1≤�≤4}�={�2−�≤�≤2+�}
(2)设�∩�=,�,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【答案�】:�(1∈)��:�∈�
(2)−∞,1
【解题2,+思∞路】(1)由可得,分和两种情况讨论即可;
(2)由p是q的充分不�∩必�要=条�件可得�⊂真�包含于�=,∅根据�包≠含∅关系列出不等式组即可.
【解答过程】(1)由可得�,�
当时,则�∩�=�,解得�⊂�;
�=∅2−�>2+��<0
当时,则,解得.
2−�≤2+�
�≠∅2−�≥10≤�≤1
综上,实数的取值2+范�围是≤4.
(2)若p是�q的充分不必要条−件∞,,1则真包含于,这等价于且,
由可得,解得,���⊆��≠�
2−�≤1
�⊆�{�≥2
又(即2+�≥4且)无解,故恒成立,
所�以=实�数的2取−值�范=围1是2+�.=4�≠�
17.(15�分)(25-26高一2,上+·∞江苏盐城·期中)若,,且满足
(1)求的最小值;�>1�>1�+�−��+3=0
�+�
(2)求的最大值.
(�−1)(�−1)
2�+�−3
【答案】(1)6;
(2).
2
【解2题思路】(1)将给定等式变形为,再利用基本不等式求出最小值.
(2)将给定等式变形为�+�,+再3利=用��基本不等式求最大值.
【解答过程】(1)由(�−1)(�,−1)=4,得,
�+�2
即�>1,�>,1整�理+得�−��+3=0�+�+3,=解�得�≤(2),
2
当且(�仅+当�)−4(时�取+等�)号−,12由≥0(�+�+,2)得(�+�−6),≥0�+�≥6
�=�
�=��=�=3
所以当时,取得�+最�小−值��6.+3=0
(2)由�=�=3,�+�,得,
因此�>1,�>1�+�−��+3=0(�−,1)(�−1)=4
(�−1)(�−1)442
2�+�−3=2(�−1)+(�−1)≤22(�−1)⋅(�−1)=2
当且仅当时取等号,由,得时取等号,
2(�−1)=�−1
2(�−1)=�−1�=2+1,�=22+1
所以当时,(�−取1得)(最�−大1值)=.4
(�−1)(�−1)2
2�+�−32
18.(1�7=分)2(+125,�-2=6高2一2上+·1四川成都·阶段检测)已知函数.
2
(1)若关于的不等式的解集为,求实数的取值构成的�集=合�;�+�−2�−2
(2)若当�时,关�于>的0不等式∅�恒成立,求实数的取值范围;
2
(3)求关于�>的0不等式�的解集�.≤�+2�−2��
【答案】(1�);�>0
(2);{−2}
(3)�答≤案4见解析.
【解题思路】(1)问题转化为恒成立,结合对应二次函数的性质列不等式求参数;
2
��+�−2�−2≤0
(2)参变分离得到,由基本不等式求出的最小值,得到答案;
11
�≤2�+�2�+�
(3)因式分解得到,分,,,,,求出不等式的解
集.��−2�+1>0�=0�<−2�=−2−2<�<0�>0
【解答过程】(1)由题意,上恒成立,
2
显然时在�∈上R不恒��成+立,�−2�−2≤0
�=0−2�−2≤0R
所以,则,
�<0�<0
22⇒�=−2
综上,Δ=(�−2);+8�≤0(�+2)≤0
�∈{−2}
(2)由,得,又,所以恒成立.
221
�≤�+2�−2���≤2�+2�>0�≤2�+�
当时,,当且仅当时取等号,
11
所以�>0,即2实�数+�的≥取2值×范2围�为⋅�=4;�=1
(3)当�≤4时,不�等式为�≤4,其解集为;
�=0−2�−2>0��<−1
当时,不等式可化为,其方程对应的两根分别为,.
2
�≠0��−2�+1>0−1�
若,此时,不等式解集为;
22
若�<−2,不等式−1可<化�为�,−此1时<不�等<式�解集为;
2
若�=−2,此时−2,�不+等1式解>集0为;∅
22
−2<�<0�<−1��<�<−1
若,此时,不等式解集为或.
22
综上�>,0−1<�{�|�>��<−1
当时,不等式解集为;
2
当�<−2时,不等式解集为�;−1<�<�
当�=−2时,不等式解集∅为;
2
当−2<�时<,0不等式解集为��;<�<−1
�=0��<−1
当时,不等式解集为或.
2
�>0{�|�>��<−1
19.(17分)(2026·北京顺义·二模)已知集合,集合是集合的一个含个元
素的子集.若集合满足如下两个性质,则称集合�为=集1合,2,3的,⋯完,1美6子集:���(�<16)
①集合的任意两�个不同子集的元素之和不相等;��
②对任意�且,令,且集合存在两个不同子集,它们的元素之和相等;
(1)若�∈��∉��=,�判∪断�是否为�集合的完美子集;
(2)若集�1合=为1,3集,5合,�2的=完美1,2子,4集,9,证明:�1集,�合2的元素之和�的最小值为16;
(3)若集合�为集合�的完美子集,证明:�.
【答案】(1�)不是�的完美子集,是的�完≤美5子集
(2)证明见解�析1��2�
(3)证明见解析
【解题思路】(1)验证两个条件即可;
(2)用反证法证明;
(3)根据集合的新定义结合反证法证明即可.
【解答过程】(1)中任意子集之和可以是,,,,,
均互不相等,满�足1性=质1①,3,,50,1,3,51+3=41+5=63+5=81+3+5=9
是
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