2027年高考数学一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语、不等式(举一反三综合训练)(全国)(解析版)_第1页
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文档简介

第一章集合与常用逻辑用语、不等式(举一反三综合训练)

(全国通用)

(考试时间:120分钟;满分:150分)

注意事项:

1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共58分)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要

求的。

1.(5分)(2026·江苏淮安·模拟预测)已知集合,则()

A.B.C.�=−3,−1,0,2,3D,.�={�|�≤2}�∩�=

【答案】B0,2−1,0,2−1,2−1,0

【解题思路】化简集合,根据交集的概念运算即可.

【解答过程】集合�,

所以�=.�|�≤2=�|−2≤�≤2

故选:�∩B.�=−1,0,2

2.(5分)(2026·云南·模拟预测)命题“,”的否定是()

3

A.,∃�∈B.��−,2�−1<0

33

C.∀�∈�,�−2�−1≥0D.∀�∈�,�−2�−1<0

33

【答案】∃A�∈��−2�−1≥0∃�∈��−2�−1>0

【解题思路】由命题的否定的概念选择即可.

【解答过程】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,

所以命题的否定为“,”.

3

故选:A.∀�∈��−2�−1≥0

3.(5分)(2026·辽宁沈阳·一模)不等式的解集()

�+1

3−�≥1

A.B.C.D.

【答案】B1,31,3−∞,11,3∪3,+∞

【解题思路】根据题意,化简不等式为,结合分式不等式的解法,即可求解.

2(�−1)

�−3≤0

【解答过程】由不等式,可得,

�+1�+1�+1−(3−�)2�−2

3−�≥13−�−1=3−�=3−�≥0

即,即,且,解得,

2(�−1)

�−3≤02(�−1)(�−3)≤0�−3≠01≤�<3

所以不等式的解集为.

故选:B.1,3

4.(5分)(2026·北京朝阳·一模)设,,则“且”是“”的()

22

A.充分不必要条件��∈B�.必要不�充<分3条件�<3�+�<9

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案.

【解答过程】若且,则,,所以,但不能保证,

222222

例如当,�<3时�,<满3足�<且9�<,9但�+�<18,即充分性�不成+立�;<9

22

若�=2.5,则�=2.5,,�所<以3�<3,�+�=12.5>,9即必要性成立,

222222

所以�“+�<9且�<”是9“�<9”的�必要=不�充<分3条件�.=�<3

22

故选:�B.<3�<3�+�<9

5.(5分)(2026·北京石景山·二模)已知实数a,b,c,d满足:,则下列不等式恒成立的

是()�>�>�>�

A.B.C.D.

【答案】�A+�>�+��−�<�−���>����>��

【解题思路】举出反例可判断BCD,根据不等式的基本性质,可判断A,进而得到答案.

【解答过程】对于A,由,两式相加得,故A正确;

对于B,令�>�,�>�,满足�+�>,�+�

此时�=4,�=3,�,=2,�=1,故�>B�错>误�;>�

对于�C−,�令=2,�−�=2�−�=�−�,满足,

此时�=1,�,=0,�=−,1,故�=C−错2误;�>�>�>�

对于�D�,=令0,��=2��<��,满足,

�=1,�=−1,�=−2,�=−3�>�>�>�

此时,,故D错误.

故选:��A=.−2,��=3��<��

6.(5分)(2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测)设集合,,若,则由实数

组成的集合为()�=1,2�={�|��−2=0}�⊆��

A.B.C.D.

【答案】D0,10,21,20,1,2

【解题思路】根据题意,分和,两种情况讨论,结合,列出方程,即可求解.

【解答过程】当时,方�程=0�≠0无解,即,满足�⊆�;

当时,由�方=程0�,�解−得2=0,即�=,∅�⊆�

22

�≠0��−2=0�=��=�

因为,可得或,解得或,

22

�⊆��=1�=2�=2�=1

所以由实数组成的集合为.

故选:D.�0,1,2

7.(5分)(2026·湖北十堰·一模)已知正数,满足,则的最小值为()

A.6B.7C�.�8�+�=��D.�9+4�

【答案】D

【解题思路】整理可得,利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.

11

�+�=1

【解答过程】因为正数,满足,则,

11

���+�=���+�=1

可得,

114��4��

�+4�=�+��+4�=5+�+�≥5+2�⋅�=9

当且仅当,即时,等号成立,

4��

�=��=2�=3

所以的最小值为9.

故选:�+D4.�

8.(5分)(2026·广西柳州·二模)已知,,则()

A.B.�>0C.�>0D.

22111112

�+�>2���+�≥���+�>���+�≤��

【答案】C

【解题思路】根据基本不等式,结合比较法逐一判断即可.

【解答过程】A:当时,,所以不正确;

22

�=�>0�+�=2��

B:,

111�+�−1

�+�−��=��

因为,,所以当时,,

111

�>0�>0�+�=1�+�=��

当时,,当时,,因此不正确;

111111

�+�>1�+�>���+�<1�+�<��

C:因为,,所以有,正确;

�>0�>0�+�≥2��>��

D:因为,,所以有2,

112�+�−2���−�

�>0�>0�+�−��=��=��≥0

即,所以不正确.

112

�+�≥��

故选:C.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.(6分)(2026·河南南阳·模拟预测)(多选题)下列结论正确的有()

A.,

2

B.“∀�∈�,�+4>2�”是假命题

C.“∃有�理∈数�的|平�方−1是|有+理1<数0”是存在量词命题

D.“,”的否定是“,”

44

【答案】A∀�B∈��+4�≥0∀�∉��+4�<0

【解题思路】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.

【解答过程】选项A:将不等式变形:,配方得:,

22

对所有实数恒成立,因此选项A正确;�−2�+4>0(�−1)+3>0

选项B:由绝对值的非负性,,

因此,不可能小�于−01,≥因0此选项B正确;

选项C�:−“1有+理1数>的0平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”,

是全称量词命题,而非存在量词命题,因此选项C错误;

选项D:全称量词命题的否定应为存在量词命题,而非改变的取值范围,因此选项D错误.

故选:AB.�

10.(6分)(2026·河南·三模)下列说法正确的是()

.若,则.若,则

A22B

��

�>��<���>���>�

C.若,则D.若,,则

11

�<�<0�−�>�−�−2<�<31<�<2−4<�−�<2

【答案】BD

【解题思路】对于选项A,可根据已知不等式判断的取值情况,再结合不等式性质判断与的大小关系;

对于选项B,可根据不等式两边同时平方的性质判�断与的大小关系;��

��

对于选项C,可通过作差法比较与的大小;

11

�−��−�

对于选项D,可根据不等式的性质求出的取值范围.

【解答过程】选项,已知,因为�−�,当时,,不满足,所以,

A222222

��2����

则.�>��≥0�=0�=�=0�>��≠0

2

不等�式>0两边同时除以,不等号方向不变,可得.

22

��211

�>���>�

当时,满足,但此时,所以选项A错误.

11

�>0, �<0�>��>�

选项B,已知,因为和都有意义,所以.

不等式两边同时�平�方>,�不�等号方向�不�变,可�得�,�即≥0, �≥0。

2233

因为函数在上单调递增,所以由(��)>可得(��),选�项>B�正确。

333

�=�ℝ�>��>�

选项C,,

1111�−�1

�−�−�−�=�−�+�−�=�−�+��=(�−�)1+��

因为,所以,,则,

1

�<�<0�−�<0��>01+��>0

所以,即,选项C错误.

111

(�−�)1+��<0�−�<�−�

选项D,已知,不等式两边同时乘以,不等号方向改变,可得,

又因为1<�,<根2据不等式的性质,两个不−等1式相加,不等号方向不变,−2<−�<−1

可得−2<�<3,即,选项D正确.

故选:−B2D+.(−2)<�+(−�)<3+(−1)−4<�−�<2

11.(6分)(2026·河南·模拟预测)已知,,,下列说法正确的是()

A.的最大值为1�>B0.�>0的(最2�小+值1为)(�2+1)=4

11

2�+1+�+12�+�

C.ab的最大值为D.的最小值为2

123

4�+4(�+1)

【答案】BD

【解题思路】A直接利用基本不等式;B利用基本不等式求的最值;C对

利用基本不等式;D利用消元法求解.2�+1+�+1−22��+2�+�=3

【解答过程】对于A,因为,,,

�>0�>0(2�+1)(�+1)=4

所以,

11111

2�+1+�+1≥22�+1×�+1=24=1

当且仅当,即,时,等号成立,

111

2�+1=�+1�=2�=1

此时是最小值不是最大值,故A不正确;

对于B,,

当且仅当2�+�=2�+1,+即�+1−,2≥2时(2,�+等1号)(成�立+1,)故−2B=正2确;

1

2�+1=�+1�=2�=1

对于C,因为,所以,

因为,(2�+,1所)(以�+1)=42,��所+以2�+�=3,

令�>0�>,0所以2�+�≥,2即2��3≥2,��所+以22��,

22

所以2��=�>,0所以3≥,�+2��+2�−3≤0−3≤�≤1

1

2��≤1��≤2

当且仅当,即,时,等号成立,故C不正确;

1

2�=��=2�=1

对于D,因为,所以,

4

(2�+1)(�+1)=4�+1=2�+1

所以,

2

232344�+3

令�+4�+1,所=以�+4×2�+1=2�+1,

22

所以2�+1=�>14�=�−,2�+1

22

4�+3�−2�+44

2�+1=�=�+�−2≥2

当且仅当,即,所以时,等号成立,故D正确.

41

�=��=2�=2,�=1

故选:BD.

第II卷(非选择题共92分)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.(5分)(2026·新疆·三模)不等式的解集为__________.

�−3

�−1>−1

【答案】或.

【解题思路�】�将<分1式不�>等2式化成一元二次不等式,求解即得.

【解答过程】由可得,

�−3�−3�−12�−4

故或�−,1>−1�−1+�−1>0⇒�−1>0⇒�−12�−4>0

故不�>等2式的�解<集1为或.

故答案为:�或�<1.�>2

��<1�>2

13.(5分)(2026·山东德州·一模)设集合,若,则__________.

233

【答案】�=1,�,�,�=�,�,���=��+�=

【解题思路−1】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.

【解答过程】,,且且且,

2

或∵�=1,,�,�,�=�,�,���=�∴�≠1�≠1�≠0�≠�

22

∴�=1�=�

当��=�时,��=1且,,.

2

�=−133

�=1∵�≠1�≠1∴∴�+�=−1

当��=�时,解得,�且=0,不成立.

2

�=1�=1

�=�∵�≠1�≠1∴

综上��可=得1,�=.1�=1

33

故答案为:�+.�=−1

14.(5分)−1(2026·山西吕梁·一模)正数满足,则的最小值是__________.

【答案】16�,��+�=���+9�

【解题思路】根据给定条件,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答过程】由正数满足,得,

11

�,��+�=���+�=1

则,

11�9��9�

�+9�=(�+�)(�+9�)=10+�+�≥10+2�⋅�=16

当且仅当,即取等号,

�9�

�=��=3�=4

所以的最小值是16.

故答案�+为9:�16.

四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2026·上海闵行·一模)已知,集合.

2−�2

�∈R�=�|�+1≤0,�=�|�+3−��−3�<0

(1)当时,求和;

1

�=3��

(2)已知,求实数的取值范围.

�∪�=��

【答案】(1)或,

1

�|�<−1�|−3<�<3

(2)�≥2

【解题�|�思≤路−】1(1)解分式不等式和一元二次不等式即可求解;

(2)由集合运算转化为子集关系,再讨论空集和非空子集,来求解参数范围.

【解答过程】(1)由,得,解得或,

2−�

2−��+1≤0

�+1≤0�<−1�≥2

�≠−1

则或;

由�=�|�<−1�≥2;

2

�=�|�+3−��−3�<0=�|�+3�−�<0

当时,,解得.

111

�=3�=��+3�−3<0�=�|−3<�<3

(2)由,得,由,

①当�∪时�,=得��⊆,�符合题�意=;�|�+3�−�<0

②当�=∅时,若�=−3,则,

由�≠,∅�>−3或�=,�|−3<�<�

可得�⊆��,=此�时|�<−1�≥;2

若�≤−,1则−3<�≤−1,此时恒成立,故符合题意;

综上�<所−述3,实数�=的�取|�值<范�围<为−3�.⊆��<−3

16.(15分)(�2026·海南儋州·模�|�拟≤预−测1)已知集合,.

(1)若,求实数m的取值范围;�={�1≤�≤4}�={�2−�≤�≤2+�}

(2)设�∩�=,�,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.

【答案�】:�(1∈)��:�∈�

(2)−∞,1

【解题2,+思∞路】(1)由可得,分和两种情况讨论即可;

(2)由p是q的充分不�∩必�要=条�件可得�⊂真�包含于�=,∅根据�包≠含∅关系列出不等式组即可.

【解答过程】(1)由可得�,�

当时,则�∩�=�,解得�⊂�;

�=∅2−�>2+��<0

当时,则,解得.

2−�≤2+�

�≠∅2−�≥10≤�≤1

综上,实数的取值2+范�围是≤4.

(2)若p是�q的充分不必要条−件∞,,1则真包含于,这等价于且,

由可得,解得,���⊆��≠�

2−�≤1

�⊆�{�≥2

又(即2+�≥4且)无解,故恒成立,

所�以=实�数的2取−值�范=围1是2+�.=4�≠�

17.(15�分)(25-26高一2,上+·∞江苏盐城·期中)若,,且满足

(1)求的最小值;�>1�>1�+�−��+3=0

�+�

(2)求的最大值.

(�−1)(�−1)

2�+�−3

【答案】(1)6;

(2).

2

【解2题思路】(1)将给定等式变形为,再利用基本不等式求出最小值.

(2)将给定等式变形为�+�,+再3利=用��基本不等式求最大值.

【解答过程】(1)由(�−1)(�,−1)=4,得,

�+�2

即�>1,�>,1整�理+得�−��+3=0�+�+3,=解�得�≤(2),

2

当且(�仅+当�)−4(时�取+等�)号−,12由≥0(�+�+,2)得(�+�−6),≥0�+�≥6

�=�

�=��=�=3

所以当时,取得�+最�小−值��6.+3=0

(2)由�=�=3,�+�,得,

因此�>1,�>1�+�−��+3=0(�−,1)(�−1)=4

(�−1)(�−1)442

2�+�−3=2(�−1)+(�−1)≤22(�−1)⋅(�−1)=2

当且仅当时取等号,由,得时取等号,

2(�−1)=�−1

2(�−1)=�−1�=2+1,�=22+1

所以当时,(�−取1得)(最�−大1值)=.4

(�−1)(�−1)2

2�+�−32

18.(1�7=分)2(+125,�-2=6高2一2上+·1四川成都·阶段检测)已知函数.

2

(1)若关于的不等式的解集为,求实数的取值构成的�集=合�;�+�−2�−2

(2)若当�时,关�于>的0不等式∅�恒成立,求实数的取值范围;

2

(3)求关于�>的0不等式�的解集�.≤�+2�−2��

【答案】(1�);�>0

(2);{−2}

(3)�答≤案4见解析.

【解题思路】(1)问题转化为恒成立,结合对应二次函数的性质列不等式求参数;

2

��+�−2�−2≤0

(2)参变分离得到,由基本不等式求出的最小值,得到答案;

11

�≤2�+�2�+�

(3)因式分解得到,分,,,,,求出不等式的解

集.��−2�+1>0�=0�<−2�=−2−2<�<0�>0

【解答过程】(1)由题意,上恒成立,

2

显然时在�∈上R不恒��成+立,�−2�−2≤0

�=0−2�−2≤0R

所以,则,

�<0�<0

22⇒�=−2

综上,Δ=(�−2);+8�≤0(�+2)≤0

�∈{−2}

(2)由,得,又,所以恒成立.

221

�≤�+2�−2���≤2�+2�>0�≤2�+�

当时,,当且仅当时取等号,

11

所以�>0,即2实�数+�的≥取2值×范2围�为⋅�=4;�=1

(3)当�≤4时,不�等式为�≤4,其解集为;

�=0−2�−2>0��<−1

当时,不等式可化为,其方程对应的两根分别为,.

2

�≠0��−2�+1>0−1�

若,此时,不等式解集为;

22

若�<−2,不等式−1可<化�为�,−此1时<不�等<式�解集为;

2

若�=−2,此时−2,�不+等1式解>集0为;∅

22

−2<�<0�<−1��<�<−1

若,此时,不等式解集为或.

22

综上�>,0−1<�{�|�>��<−1

当时,不等式解集为;

2

当�<−2时,不等式解集为�;−1<�<�

当�=−2时,不等式解集∅为;

2

当−2<�时<,0不等式解集为��;<�<−1

�=0��<−1

当时,不等式解集为或.

2

�>0{�|�>��<−1

19.(17分)(2026·北京顺义·二模)已知集合,集合是集合的一个含个元

素的子集.若集合满足如下两个性质,则称集合�为=集1合,2,3的,⋯完,1美6子集:���(�<16)

①集合的任意两�个不同子集的元素之和不相等;��

②对任意�且,令,且集合存在两个不同子集,它们的元素之和相等;

(1)若�∈��∉��=,�判∪断�是否为�集合的完美子集;

(2)若集�1合=为1,3集,5合,�2的=完美1,2子,4集,9,证明:�1集,�合2的元素之和�的最小值为16;

(3)若集合�为集合�的完美子集,证明:�.

【答案】(1�)不是�的完美子集,是的�完≤美5子集

(2)证明见解�析1��2�

(3)证明见解析

【解题思路】(1)验证两个条件即可;

(2)用反证法证明;

(3)根据集合的新定义结合反证法证明即可.

【解答过程】(1)中任意子集之和可以是,,,,,

均互不相等,满�足1性=质1①,3,,50,1,3,51+3=41+5=63+5=81+3+5=9

是

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