湖南省湘潭市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学自编卷（范围：人教A版必修一1-2单元）（解析版）

湖南省湘潭市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DCBCCBBABDBCD题号11答案AD1．D【分析】利用指数函数以及对数函数，正切函数的值域判断选项、、；反例判断．【详解】对于A，由指数函数的值域，可知：任意，，故A正确．对于B，由正切函数的值域，可知存在，，故B正确；对于C，由对数函数的值域，可知，存在，，故C正确；对于D，当时，，所以D不正确；故选：D．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，指数函数以及对数函数、正切函数的值域，是对基本知识的考查．2．C【分析】先对两边同时平方，然后化简得出关于、模长和的关系式，再根据充分不必要条件的定义逐一分析选项.【详解】因为，两边平方可得.展开上式得：.移项可得，即.分析各选项，A选项：当时，恒成立，但无法得出；当时，同样无法得出，所以或不是的充分条件，A选项错误.B选项：当时，恒成立，但无法得出；当时，也无法得出，所以或不是的充分条件，B选项错误.C选项：当时，，那么由可推出，因为向量的平方等于向量模长的平方，所以，又因为，为非零向量，所以，即能推出；而当时，可以取，所以推不出，因此是的充分不必要条件，C选项正确.D选项：当时，由可推出；当时，无法得出，所以或不是的充分条件，D选项错误.

故选：C.3．B【详解】分析：由题3是方程的一个根，从而得到由此能求出集合．详解：∵，∴，即，∴，故选B.点睛：本题考查集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．C【解析】先化简命题p和q,再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得命题p:1＜x＜3，命题q:1＜x＜3.所以命题p是命题q的充要条件.故选C【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C【分析】，其中，据此可得答案.【详解】关于x的不等式对于一切实数x都成立，则，其中.又，则由基本不等式有：，当且仅当，即时取等号.则.故选：C6．B【分析】先利用三角函数的和差公式，结合锐角三角形角的范围得到，再利用正切函数的诱导公式与和差公式转化，从而将所求转化为关于的表达式，进而利用基本不等式即可得解.【详解】因为，，所以，则，所以，因为在锐角三角形中，，则，所以，令，则，，而，所以，当且仅当，即，时，等号成立，此时，满足题意.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于找到与的关系，从而将所求统一表示为，由此得解.7．B【分析】对于①，由得到集合与集合两个集合中没有公共元素，则，说明必要性成立；由，则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，说明集合与两个集合中没有公共元素，得到，则充分性成立.对于②，由可知集合A中的元素都是集合B中的元素，说明可以得到，则必要性成立.③特值法，取，，则满足，但不满足，说明充分性不成立；④由可以推出，则必要性成立；特例法，取，，满足，但不满足，则充分性不成立.【详解】对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立；，则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立.①正确；对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素，可以推出，必要性成立.②正确；③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误；④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误；故选：B.8．A【分析】将代入,结合和()化简即可得出集合中元素的个数.【详解】①当时正方体

故:

()

故:

()中元素的个数为.②时此时中元素的个数为.综上所述,中元素的个数为.故选:A.【点睛】本题中将化简成和结合时,是解本题的关键.9．BD【分析】“”的充分不必要条件的范围要小于“”的范围，解出，即可得到.【详解】由，解得，充分不必要条件的范围应小于这个范围，故可以作为的充分不必要条件的有：，，故选：BD.10．BCD【分析】根据不等式的性质，结合作差法，即可判断选项.【详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，所以，故B正确；C.，因为，所以，则，故C正确；D.若，则，，所以，故D正确.故选：BCD11．AD【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式求最小值即可；对于B，转化为二次函数求最值即可；对于C，取特殊值判断即可；对于D，先配方，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当且即时取等号，此时取得最小值正确；对于B，由可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9，B错误；对于C，因为正实数满足，取，则，所以的最小值不可能为，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，此时取得最小值正确.故选：AD.12．【分析】根据全称命题的否定是特称命题的结论，即可写出命题的否定．【详解】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，|x|+x2>0”的否定是：．故答案为．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．13．【分析】利用列举法求出集合，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.【详解】，，，则集合有个元素，其子集个数为，故答案为.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．①【分析】对于①，根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；对于②，若，则S中至少有4个元素，故错误；对于③，若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数；【详解】S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称，所以当，则有，，，进而有：，，，，①若，则，故①正确；②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确；③根据题意可知，，若，能确定4个元素，当，也能确定个，当，能确定4个或8个，所以若，则S中元素的个数一定为偶数，故③错误；综上：①正确．故答案为：①．15．(1)(2)或(3)(4)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为【分析】（1）解一元二次不等式可得结果.（2）结合绝对值的几何意义可解不等式得到结果.（3）分式型不等式转化为一元二次不等式可得结果.（4）讨论的取值范围，解不等式即可得到结果.【详解】（1）由得，解得，∴不等式的解集为.（2）由得，或，解得或，∴不等式的解集为或.（3）由，，即，不等式等价于，不等式的解集为.（4）当时，不等式转化为，不等式的解集为.当时，不等式转化为，当时，不等式可化为，不等式的解集为或，当时，不等式可化为，不等式的解集为.综上得，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为.16．（1）图像见解析，增区间是和；减区间是和；（2）当时，；当时，；当时，.【分析】（1）作出函数的图像，由图像可知单调区间；（2）函数，对称轴是，属于轴定区间动的问题，讨论轴和区间的关系，研究函数的单调性求最值即可.【详解】图像如图所示，函数的增区间是和；减区间是和（2）函数，对称轴是，①当，即时，在上单调递增，故当时，函数取得最小值，即②当，即时，在上单调递减，上单调递增，故当时，函数取得最小值，即③，即时，在上单调递减，故当时，函数取得最小值，即综上可知，当时，；当时，；当时，.【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.17．(1)证明：由基本不等式得，左右相加得，当且仅当时“”成立，问题得证.(2)由已知，故，，当且仅当时等号成立，所以不等式成立；用替换，替换，替换得，即，故成立当且仅当，即时，等号成立，.【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得；（2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得.【详解】（1）略；（2）证明略，7.18．(1)(2)，宣传单的面积最小，最小的面积为【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围；（2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解.【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：，化简得，解得，又，所以，故的最大值为.（2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，则，当且仅当，即时取等号.所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是19．(1)(2)8【分析】（1）