高二物理人教版磁场对运动电荷作用力寒假预习教案

高二物理人教版磁场对运动电荷作用力寒假预习教案【学习目标与核心素养定位】本讲聚焦洛伦兹力的方向判断、大小计算以及带电粒子在匀强磁场中的圆周运动规律。学生在初中阶段已经初步了解电流能够产生磁场，知道通电导线在磁场中会受到安培力的作用。进入高中阶段，需要从宏观的通电导线过渡到微观的运动电荷，建立场的观念，理解磁场对运动电荷的作用规律。通过本讲的学习，学生应在知识层面掌握洛伦兹力的方向判定方法（左手定则）和计算公式，能够分析带电粒子在匀强磁场中的受力情况与运动轨迹；在能力层面能够将受力分析与运动学知识相结合，解决带电粒子在磁场中的圆周运动问题；在物理观念层面深入体会场的物质性、方向性与矢量叠加原理，在科学思维层面强化建模意识与数形结合思想，在科学探究层面经历从定性观察到定量计算的过程，在科学态度与责任层面感受物理规律在现代科技中的应用价值。本讲作为高二物理电磁学部分的核心内容，既是安培力知识的微观延伸，也是后续学习带电粒子在复合场中运动以及电磁感应现象的重要基础，在整个高中物理知识体系中起到承上启下的关键作用。【重点难点预设与突破策略】教学重点在于洛伦兹力方向的判断（左手定则的熟练运用）以及带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与周期公式推导与简单应用。教学难点集中在三个维度：一是左手定则与右手定则的混淆辨析，学生在电磁感应部分容易将判断感应电流方向的右手定则与本讲的左手定则混淆；二是带电粒子电性正负对洛伦兹力方向的影响，需要强调四指指向必须与电荷运动方向一致（正电荷）或相反（负电荷）；三是圆心的确定与几何关系的灵活运用，学生需要根据速度方向与磁场方向的夹角构建几何模型，画出运动轨迹，标出圆心位置，进而求解半径与周期。针对上述难点，突破策略如下：第一，通过对比实验与生活实例强化方向感知，例如阴极射线管中电子束的偏转、电视显像管的工作原理；第二，采用数形结合方法，每讲一道例题均配套规范的轨迹示意图，养成"一画轨迹、二找圆心、三算半径、四求时间"的解题习惯；第三，设置阶梯式问题链，从单一方向的洛伦兹力判断逐步过渡到磁场方向与速度方向成夹角的复杂情境；第四，在讲义中预留"易错警示"栏目，专门标注学生常见错误，例如将洛伦兹力做功问题与安培力做功问题混淆（洛伦兹力永不做功，安培力可以做功）。【教学过程整体设计】本讲义按照"情境导入→概念建构→规律探究→应用迁移→课堂小结→巩固提升"六个环节展开，兼顾预习讲义的独立性与完整性。学生在寒假自主预习阶段应按照以下顺序研读本讲内容：首先通读全讲，建立整体认知框架；其次聚焦核心公式与典型例题，动笔演算；最后完成针对性训练题，对照参考答案订正反思。建议预习总时长控制在120分钟左右，分两次完成：第一次（60分钟）完成情境导入与规律探究部分，第二次（60分钟）完成应用迁移与巩固训练。【第一环节：情境导入（约10分钟）】同学们好，欢迎进入寒假物理预习课堂。今天我们要探究的主题是磁场对运动电荷的作用力。在正式进入新知识之前，请大家先思考一个有趣的现象：为什么电视机的显像管能够呈现出清晰的图像？为什么医院里的核磁共振设备能够帮助医生诊断疾病？为什么高能物理学家能够利用巨大的环形管道约束带电粒子进行对撞实验？这些看似不相关的技术背后，其实都隐藏着同一个物理原理——磁场对运动电荷的作用力。让我们从一个简单的实验现象开始：如图所示，在一个蹄形磁铁的两极之间，悬挂一根直导线，当导线中通入电流时，导线会发生偏转。这个现象我们在上一讲已经学习过，它说明磁场对通电导线有力的作用，我们把这个力称为安培力。现在让我们深入思考：电流的本质是什么？没错，电流是由电荷的定向移动形成的。既然磁场对通电导线有力的作用，那么磁场是否也会对单个运动的电荷产生力的作用呢？答案是肯定的。荷兰物理学家洛伦兹在19世纪末系统研究了运动电荷在磁场中的受力情况，人们为了纪念他，将磁场对运动电荷的作用力命名为洛伦兹力。从安培力到洛伦兹力，是从宏观到微观的过渡，是物理学研究中常用的"还原论"思想的体现——复杂的宏观现象可以归结为简单的微观粒子的行为。【第二环节：概念建构（约25分钟）】一、洛伦兹力的方向实验探究：将一只阴极射线管置于蹄形磁铁的两极之间，接通高压电源后，阴极射线管内会产生一束电子流（从阴极射向阳极）。当未加磁场时，电子流沿直线前进，在荧光屏上呈现一个亮点。当加上磁场后，观察荧光屏上的亮点位置变化情况。通过实验我们可以观察到：当磁场方向由N极指向S极时，若电子流方向水平向右，则亮点向下偏移。这说明运动电荷在磁场中受到了力的作用。我们用左手定则来判断洛伦兹力的方向：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一平面内。让磁感线从掌心进入（即手心对准N极方向），并使四指指向正电荷运动的方向，那么拇指所指方向就是洛伦兹力的方向。特别提醒：若运动电荷为负电荷（如电子、负离子），则四指指向应与电荷运动方向相反。这是因为负电荷运动的方向与电流方向相反，而左手定则中的四指指向本质上是电流方向。方向判断的几何关系可以归纳为：洛伦兹力的方向既垂直于磁场方向，又垂直于电荷运动方向，即洛伦兹力方向总是垂直于速度方向与磁场方向所确定的平面。这说明洛伦兹力是一种特殊的力——它不做功（因为力与速度方向时刻垂直），只改变运动电荷的速度方向，不改变速度大小。二、洛伦兹力的大小理论推导：从安培力的计算公式出发，推导洛伦兹力的表达式。设一段长度为L的直导线，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，导线方向与磁场方向垂直。当导线中通有电流I时，导线所受安培力为F＝BIL。电流的微观表达式为I＝nqSv，其中n为导体单位体积内的自由电荷数，q为每个电荷的电荷量，S为导体的横截面积，v为电荷定向移动的速率。将该导线内的运动电荷总数N＝nLS代入，可以得到：F＝BIL＝B(nqSv)L＝nqSLBv而单个电荷所受的力f＝F/N＝(nqSLBv)/(nSL)＝qvB即当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力的大小为：f＝qvB其中q为电荷的电荷量（绝对值），v为电荷的运动速率，B为磁感应强度。更一般的表达式为：f＝qvBsinθ其中θ为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角。当θ＝90°时，洛伦兹力最大（f＝qvB）；当θ＝0°或θ＝180°时，洛伦兹力为零（电荷运动方向与磁场方向平行时不受洛伦兹力作用）。公式中的单位约定：q的单位为库仑（C），v的单位为米每秒（m/s），B的单位为特斯拉（T），f的单位为牛顿（N）。1T＝1N/(A·m)＝1kg/(A·s²)，这是国际单位制中磁感应强度的导出单位。三、洛伦兹力与安培力的关系安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质。具体表现为：安培力是导线中所有自由电荷所受洛伦兹力的矢量和。由于洛伦兹力总垂直于电荷运动方向，所以洛伦兹力永不做功；但安培力可以做功，这是因为安培力的作用可以导致导线中的电荷在洛伦兹力分量和其他力的分量的共同作用下做功，能量来源于电源。【第三环节：规律探究（约30分钟）】一、带电粒子在匀强磁场中的运动分类按照电荷运动方向与磁场方向之间的夹角关系，可以将运动分为三种基本情况：第一种情况：电荷运动方向与磁场方向平行（θ＝0°或θ＝180°）。此时洛伦兹力为零，电荷做匀速直线运动。第二种情况：电荷运动方向与磁场方向垂直（θ＝90°）。此时洛伦兹力方向始终垂直于速度方向，洛伦兹力充当向心力，电荷做匀速圆周运动。这是本讲的重点研究对象。第三种情况：电荷运动方向与磁场方向成任意夹角（0°＜θ＜90°）。此时可将速度分解为平行于磁场方向的分量v∥＝vcosθ和垂直于磁场方向的分量v⊥＝vsinθ。在平行于磁场方向上，电荷不受力作用，做匀速直线运动；在垂直于磁场方向上，电荷受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动。两个方向运动的合成轨迹为等螺距螺旋线。这种运动在磁聚焦、磁约束等现代科技中有广泛应用。二、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力提供向心力，即：qvB＝mv²/r解得轨道半径：r＝mv/(qB)其中m为电荷的质量，v为电荷的运动速率，q为电荷的电荷量，B为磁感应强度。运动周期：T＝2πr/v＝2πm/(qB)频率：f＝1/T＝qB/(2πm)角频率：ω＝v/r＝qB/m重要结论：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子的速率和轨道半径无关，仅由粒子的比荷q/m和磁感应强度B决定。这是一个非常独特的性质，它使得回旋加速器能够周期性地加速带电粒子成为可能。三、圆心的确定方法与几何关系确定圆心是解决带电粒子在磁场中运动问题的关键步骤。常用的圆心确定方法有两种：方法一（速度垂线法）：已知某一时刻粒子的速度方向，过该点作速度的垂线，该垂线必经过圆心。方法二（弦中垂线法）：已知粒子运动轨迹上的两个点（或粒子入射点和出射点），连接两点作连线（弦），作弦的中垂线，中垂线必经过圆心。实际应用中往往两种方法结合使用：先确定两个特殊点（入射点和出射点，或入射点和速度最大偏折点等），再分别作出这两个点的速度垂线，两条垂线的交点即为圆心。【第四环节：应用迁移（约35分钟）】典型例题1：方向判断基础题题目：一个带正电的小球以初速度v水平向右射入一个磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中，请判断小球所受洛伦兹力的方向。解析：已知小球带正电，运动方向水平向右（设为x轴正方向），磁场方向竖直向上（设为z轴正方向）。根据左手定则：让磁感线从掌心进入（手心朝上），四指指向正电荷运动方向（向右），则拇指所指方向为洛伦兹力方向。在三维直角坐标系中，x方向与z方向的叉乘方向为y方向（具体方向取决于坐标系设置）。本题中小球所受洛伦兹力方向垂直于纸面向外（即指向读者方向）。解题规范：使用左手定则时，必须明确"四指指向正电荷运动方向"这一原则。对于负电荷，应将四指指向电荷运动的反方向（即等效电流方向）。同时要注意三维空间中的方向判断，建议画三维坐标系辅助分析。典型例题2：半径与周期计算题目：在一个匀强磁场中，磁感应强度B＝0.5T，方向垂直纸面向里。一个带电粒子以v＝2×10⁶m/s的速度垂直于磁场方向进入磁场，做匀速圆周运动的轨道半径r＝4cm。求该粒子的比荷q/m。解析：根据洛伦兹力提供向心力的公式：qvB＝mv²/r解得：q/m＝v/(rB)＝(2×10⁶)/(0.04×0.5)＝1×10⁸C/kg该粒子的比荷为1×10⁸库仑每千克。这个比荷与质子的比荷（约为9.6×10⁷C/kg）相近，说明该粒子可能是质子或某种重离子。典型例题3：圆周运动综合应用题目：如图所示，在xOy平面内有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向外。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以初速度v沿x轴正方向射入磁场，经过时间t后第一次经过x轴正半轴上的P点（图中未画出P点）。求：（1）粒子运动的轨道半径r；（2）OP之间的距离d；（3）粒子从O点运动到P点所经过的弧长s。解析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝mv²/r解得：r＝mv/(qB)（2）确定圆心位置：粒子在O点的速度方向沿x轴正方向，根据"速度垂线法"，过O点作速度的垂线，该垂线沿y轴方向。由于粒子带正电，磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则，粒子在O点所受洛伦兹力方向沿y轴正方向（向上）。因此圆心位于y轴正方向上，距离O点为r处，即圆心坐标为(0,r)。粒子运动轨迹分析：粒子从O点出发，沿圆心位于(0,r)、半径为r的圆做顺时针运动（从上方看）？不对，从O点出发，速度沿x轴正方向，受力沿y轴正方向，所以粒子先向上偏转，再向右偏转，再向下偏转，最终回到x轴正方向。第一次经过x轴正半轴时，粒子转过的圆心角为π（180°），即粒子运动了半个圆周。OP之间的距离等于圆的直径，即：d＝2r＝2mv/(qB)（3）粒子从O点运动到P点转过的弧长为半个圆周：s＝πr＝πmv/(qB)也可以利用时间t来求弧长：先求周期T＝2πm/(qB)，再求弧长s＝vt。需要核对题目中给出的时间t是否与半个周期相等。从计算结果看，t应当等于半个周期T/2＝πm/(qB)，这可以作为题目条件是否自洽的检验。典型例题4：磁场边界问题题目：如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从x轴上的A点（坐标为(a,0)）以初速度v沿y轴正方向射入磁场，恰好能从y轴上的C点（坐标为(0,a)）射出磁场。求粒子在磁场中运动的时间。解析：粒子从A点以速度v沿y轴正方向射入磁场，在A点速度方向沿y轴正方向，根据左手定则，粒子在A点所受洛伦兹力方向沿x轴负方向（向左）。因此圆心位于A点正左方，距离为r＝mv/(qB)处，即圆心坐标为(ar,0)。由于粒子恰好从C点射出，且A、C两点关于直线y＝x对称，根据几何关系可以确定圆心位置和半径r。设圆心为O'，则O'A⊥v_A，O'C⊥v_C。因为v_A沿y轴正方向，所以O'A沿x轴方向；因为v_C沿x轴负方向（粒子在C点的速度方向沿x轴负方向，因为粒子做圆周运动，在C点即将离开磁场时速度方向应该与边界y轴相切），所以O'C沿y轴方向。因此圆心O'的坐标为(r,r)。由|O'A|＝r得：√((ar)²+r²)＝r解这个方程：a²2ar+2r²＝r²，即a²2ar+r²＝0，即(ar)²＝0，所以r＝a。即半径r＝a。粒子从A点运动到C点所转过的圆心角：由于圆心在(r,r)＝(a,a)，A点在(a,0)，C点在(0,a)。向量O'A从O'指向A，即从(a,a)指向(a,0)，方向沿y轴负方向。向量O'C从O'指向C，即从(a,a)指向(0,a)，方向沿x轴负方向。从O'A到O'C的夹角：从y轴负方向到x轴负方向，需要顺时针旋转90°或逆时针旋转270°。根据粒子运动方向（从A到C的圆弧），粒子是逆时针运动还是顺时针运动？粒子带正电，磁场方向垂直纸面向外，洛伦兹力始终指向圆心。从A点出发，粒子速度沿y轴正方向，受力指向圆心（圆心在右上方），所以粒子逆时针运动。逆时针运动时，从O'A方向（y轴负方向）到O'C方向（x轴负方向）需要旋转的角度：从y轴负方向开始，逆时针旋转270°到达x轴负方向（或者从y轴负方向开始，顺时针旋转90°到达x轴负方向，这需要仔细判断）。实际上，从向量O'A＝(0,a)到向量O'C＝(a,0)，这两个向量的夹角为90°（因为它们都是沿坐标轴方向）。粒子从A点运动到C点的过程中，速度方向从沿y轴正方向变为沿x轴负方向，转过的角度应为90°。因此粒子转过的圆心角为90°，即π/2。运动时间：t＝(π/2)/ω＝(π/2)/(qB/m)＝πm/(2qB)【第五环节：课堂小结（约10分钟）】本讲我们重点学习了磁场对运动电荷的作用力——洛伦兹力，主要内容包括：第一，洛伦兹力的方向由左手定则判断，伸开左手让磁感线穿过手心，四指指向正电荷运动方向（或负电荷运动的反方向），拇指所指方向即为洛伦兹力方向。洛伦兹力方向始终垂直于电荷运动方向与磁场方向所确定的平面。第二，洛伦兹力的大小计算公式为f＝qvBsinθ，其中θ为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角。当θ＝90°时，洛伦兹力最大；当θ＝0°或θ＝180°时，洛伦兹力为零。第三，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，由此得到半径公式r＝mv/(qB)和周期公式T＝2πm/(qB)。周期与速率无关，仅由比荷q/m和磁感应强度B决定。第四，安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质。洛伦兹力永不做功，但安培力可以做功。第五，解决带电粒子在磁场中的运动问题，关键是"一画轨迹、二找圆心、三算半径、四求时间"，结合几何关系和物理规律综合分析。【第六环节：巩固提升与分层训练（约20分钟）】本部分设置A、B两组训练题，A组为基础过关题，B组为能力提升题，供学生根据自身情况选做。A组训练题：1．关于洛伦兹力的方向，下列说法正确的是（）A．洛伦兹力的方向总是垂直于电荷运动方向B．洛伦兹力的方向总是垂直于磁场方向C．洛伦兹力的方向可能与磁场方向相同D．洛伦兹力的方向可能与电荷运动方向相同答案：A。解析：洛伦兹力方向既垂直于磁场方向，又垂直于电荷运动方向，即垂直于两者所确定的平面，所以A、B正确，C、D错误。2．一个带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A．粒子的动能保持不变B．粒子的动量保持不变C．粒子所受洛伦兹力的大小保持不变D．粒子所受洛伦兹力的方向保持不变答案：A、C。解析：洛伦兹力不做功，所以粒子动能保持不变；速度方向不断变化，所以动量是变化的；洛伦兹力大小f＝qvB，由于v和B都不变，所以f大小不变；洛伦兹力方向始终指向圆心，但圆心位置不变，所以洛伦兹力方向在不断变化（始终指向圆心但不同位置指向不同）。A、C正确。3．一个电子以速度v射入磁感应强度为B的匀强磁场中，电子运动方向与磁场方向成60°角。求电子所受洛伦兹力的大小。解析：f＝evBsin60°＝(√3/2)evB。B组训练题：1．如图所示，一带电粒子从A点以初速度v₀沿水平方向射入一个宽度为d的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。粒子从磁场区域下边界射出时的位置为B点，已知A、B两点沿竖直方向的距离为d。求：（1）粒子在磁场中运动的速度大小；（2）粒子从A点运动到B点所经历的时间。解析：（1）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可确定轨道半径r。设圆心为O'，由于粒子在A点速度水平向右，在B点速度方向应与下边界相切（即速度方向水平向左或水平向右，取决于粒子偏转方向）。由题意A、B两点竖直距离为d，结合磁场宽度为d，可推导出轨道半径r＝(5/8)d？不对，需要具体计算。设圆心O'位于A点正下方距离为r处（因为粒子在A点受力方向竖直向下？需要先判断电荷正负和磁场方向）。假设粒子带正电，磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则，粒子在A点所受洛伦兹力方向竖直向下，所以粒子向下偏转。圆心位于A点正下方距离r处。设粒子从B点射出时速度方向与水平方向夹角为α。由几何关系：圆心到A点的距离为r，圆心到B点的距离也为r。设B点相对于A点的水平位移为x，竖直位移为d（即向下移动了d）。则：水平方向：rsinα＝x（不对，需要根据几何关系仔细推导）设粒子转过的圆心角为θ。由速度垂线法：圆心在A点速度的垂线方向上，即竖直方向上。由B点速度的垂线方向也经过圆心。设圆心坐标为(0,r)（以A为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）。设B点坐标为(x,d)。由|rd|²+x²＝r²得：x²＋(rd)²＝r²，即x²＋r²2rd＋d²＝r²，即x²＝2rdd²。又由B点速度方向：粒子在B点速度方向与半径O'B垂直。半径O'B的方向从O'(0,r)到B(x,d)，方向向量为(x,d+r)。速度方向与该向量垂直，即速度方向沿((d+r),x)方向。还需要一个条件来确定r。题目中"磁场区域宽度为d"意味着B点位于磁场下边界。设磁场区域上边界为A点所在的水平线，下边界为距离A点竖直向下d的水平线。那么B点坐标满足y＝d。到目前为止，方程x²＝2rdd²有无穷多解，需要更多条件。或许题目还有隐含条件："A、B两点沿竖直方向的距离为d"已经给出，但这个条件其实已经包含在B点位于磁场下边界中。也许需要假设粒子从B点射出时速度方向水平向左（α＝0），这样可以从几何上确定r。如果B点速度方向水平向左，则半径O'B方向竖直向下，即O'B沿y轴正方向。这意味着B点位于O'的正下方。B点坐标为(0,d+rd)？不对，圆心在(0,r)，如果B点在圆心正下方，则B点坐标为(0,r+r)＝(0,0)？这与A点重合，不可能。重新分析：设圆心O'在A点正下方距离r处，即O'坐标为(0,r)（以A为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴）。粒子从A点出发，速度水平向右，受力竖直向下（带正电粒子在磁场向外时？需要明确磁场方向）。重新设定磁场方向垂直纸面向外。粒子带正电，速度水平向右，根据左手定则，洛伦兹力方向竖直向下。所以粒子向下偏转，圆心在A点正下方。设坐标系：原点O在A点，x轴水平向右，y轴竖直向上。磁场区域上边界为y＝0（即A点所在直线），下边界为y＝d。粒子从A(0,0)点射入，最终从B点射出，B点满足y＝d。设圆心为O'(0,r)（位于A点正下方距离r处）。设B点坐标为(x_B,d)。由|O'B|＝r：x_B²＋(d+r)²＝r²x_B²＋r²2rd＋d²＝r²x_B²＝2rdd²即x_B＝√(2rdd²)现在需要确定B点的速度方向。速度方向与O'B垂直。O'B的方向向量为(x_B,d+r)，所以速度方向向量为((d+r),x_B)＝(dr,x_B)或(rd,x_B)。由于粒子做圆周运动时，半径方向始终指向圆心，所以速度方向应使粒子沿圆周运动。由A点速度水平向右，经过圆心正下方的圆周运动，粒子应该向右下方运动，最终从B点射出。为了求出具体的时间，需要知道粒子从A到B转过的圆心角θ。由几何关系：cosθ＝(O'A·O'B)/(|O'A||O'B|)＝((0,0)−(0,−r))·((x_B,−d)−(0,−r))/(r·r)＝((0,r)·(x_B,rd))/r²＝(0·x_B＋r(rd))/r²＝(rd)/r所以θ＝arccos((rd)/r)。但题目要求具体数值，必须有更多的条件。或许题目中隐含"粒子从B点射出时速度方向与水平方向成45°角"之类的条件。或者题目意思是A、B两点的水平距离为d？重新审题："一带电粒子从A点以初速度v₀沿水平方向射入一个宽度为d的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。粒子从磁场区域下边界射出时的位置为B点，已知A、B两点沿竖直方向的距离为d。"这里"宽度为d"应该是磁场区域在竖直方向的宽度为d（因为粒子水平射入磁场），"A、B两点沿竖直方向的距离为d"说明A点和B点的竖直距离恰好等于磁场宽度。这意味着B点恰好位于磁场区域的下边界。这与我们之前的设定一致。但要唯一确定r，还需要其他条件。也许题目中漏掉了"A、B两点的水平距离"或者其他几何信息。或者需要假设粒子在B点的速度方向水平（这样粒子刚好沿下边界射出）。如果假设B点速度方向水平（即与下边界相切），则半径O'B必须竖直。这意味着B点位于O'的正下方。B点坐标为(0,rr)？不对，圆心在(0,r)，如果B点在圆心正下方，则B点坐标为(0,rr)＝(0,2r)。要使B点位于下边界y＝d，则2r＝d，即r＝d/2。当r＝d/2时，x_B²＝2·(d/2)·dd²＝d²d²＝0，所以B点与A点的水平距离为0，即B点就在A点正下方距离d处。此时粒子运动了半个圆周，从A点出发，速度水平向右，经过圆心O'(0,d/2)，最终到达B点(0