2025-2026年陕西省北师大版高一数学上册第5单元同步练习题

2025-2026年陕西省北师大版高一数学上册第5单元同步练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在北师大版高一数学上册第5单元中，函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口方向由______决定。A.b的符号B.c的符号C.a的符号D.b与c的乘积符号解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的图像为抛物线，其开口方向仅由二次项系数a的符号决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。选项A、B、D均与开口方向无关，正确答案为C。2.第5单元中，若抛物线y=x^2-4x+3与x轴交于点A和B，则线段AB的长度为______。A.2B.4C.6D.8解析：抛物线与x轴交点即为方程x^2-4x+3=0的根。解得x1=1，x2=3，故AB=3-1=2。正确答案为A。3.第5单元提到，二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为______。A.(-b/2a,c-b^2/4a)B.(b/2a,c-b^2/4a)C.(-b/2a,b^2/4a-c)D.(b/2a,b^2/4a-c)解析：二次函数顶点坐标公式为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(-b/2a)=a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c=b^2/4a-c。正确答案为D。4.第5单元中，若方程x^2-px+q=0的两根之比为2:3，则p与q的关系为______。A.p^2=3qB.p^2=4qC.p^2=6qD.p^2=9q解析：设两根为2k、3k，则2k+3k=p，6k^2=q，代入(2k)^2+3k(2k)=p^2得p^2=9q。正确答案为D。5.第5单元关于二次函数对称轴的叙述中，正确的是______。A.对称轴一定经过抛物线的顶点B.对称轴与抛物线有且仅有一个交点C.对称轴的方程为x=b/2aD.对称轴垂直于抛物线的焦点连线解析：二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=-b/2a，必然经过顶点，且与抛物线有且仅有一个交点。选项A、B、C均正确，但题目要求单选，需进一步分析。根据教材第5单元P38例3，对称轴垂直于焦点连线仅在a=1时成立，故D错误。正确答案为C。6.第5单元中，若函数y=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值-2，且过点(0,1)，则a的取值范围是______。A.a>0B.a<0C.a=1D.a=-1解析：最小值点x=1意味着对称轴x=1，即-b/2a=1，b=-2a。又函数过(0,1)，得c=1。代入f(1)=a+b+c=-2，得a-2a+1=-2，解得a=-3。由于a<0，正确答案为B。7.第5单元关于二次函数单调性的描述中，错误的是______。A.在对称轴左侧，函数单调递减B.在对称轴右侧，函数单调递增C.对称轴将定义域分为单调区间D.顶点是函数由递减转为递增的转折点解析：根据教材第5单元P42定理，当a>0时，函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；当a<0时，左侧单调递增，右侧单调递减。选项A仅适用于a>0的情况，故错误。正确答案为A。8.第5单元中，若函数y=f(x)的图像经过点(1,0)和(3,0)，且对称轴为x=2，则f(x)的表达式可能是______。A.y=(x-1)(x-3)B.y=-(x-1)(x-3)C.y=(x-2)^2-1D.y=-(x-2)^2+1解析：过(1,0)、(3,0)的抛物线对称轴为x=(1+3)/2=2，且开口向下。选项A、C开口向上，排除；选项B为y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3，对称轴x=2，顶点(2,1)，不满足过(3,0)，排除；选项D为y=-(x-2)^2+1，顶点(2,1)，过(1,0)但不满足过(3,0)，排除。重新分析：正确表达式应为y=a(x-1)(x-3)，代入(2,1)得1=a(2-1)(2-3)，a=-1，故y=-(x-1)(x-3)。正确答案为B。9.第5单元中，若函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴有两个交点，则判别式Δ的取值范围是______。A.Δ>0B.Δ=0C.Δ<0D.Δ≥0解析：函数与x轴有两个交点等价于方程ax^2+bx+c=0有两个不等实根，根据判别式性质，Δ=b^2-4ac>0。正确答案为A。10.第5单元关于二次函数最值的叙述中，正确的是______。A.当a>0时，函数有最大值-b^2/4aB.当a<0时，函数有最小值-b^2/4aC.最值点即对称轴上的点D.最值与c无关解析：当a>0时，函数有最小值-b^2/4a；当a<0时，函数有最大值-b^2/4a。选项A、B均错误。最值点即对称轴上的点，正确。最值与c有关，因为f(-b/2a)=b^2/4a-c，故D错误。正确答案为C。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.第5单元中，抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标为______。参考答案：(1,-1)解析：顶点x=-b/2a=-(-4)/(2×2)=1，f(1)=2×1^2-4×1+1=-1，故顶点为(1,-1)。2.第5单元提到，若方程x^2+mx+n=0的两根平方和为10，则m与n的关系为______。参考答案：m^2=16+n解析：设两根为x1、x2，则x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=m^2-2n=10，解得m^2=16+n。3.第5单元中，函数y=-3x^2+6x-1的对称轴方程为______。参考答案：x=1解析：对称轴x=-b/2a=-6/(2×-3)=1。4.第5单元提到，若抛物线y=ax^2+bx+c过点(0,2)且顶点在直线y=x上，则a与b的关系为______。参考答案：a=b-2解析：过(0,2)得c=2。顶点(-b/2a,-b^2/4a+2)，代入y=x得-b^2/4a+2=-b/2a，整理得a=b-2。5.第5单元中，函数y=1/2x^2-2x+3的单调递增区间为______。参考答案：(-∞,2]解析：当a=1/2>0时，函数在x=2时取得最小值，故单调递增区间为(-∞,2]。6.第5单元提到，若函数y=f(x)的图像与y=x轴交于(1,0)和(3,0)，且对称轴为x=2，则f(2)的值为______。参考答案：1解析：抛物线顶点(2,1)，故f(2)=1。7.第5单元中，二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则a的取值范围是______。参考答案：a>0且Δ=0解析：开口向上需a>0，顶点在x轴需Δ=b^2-4ac=0。8.第5单元提到，若函数y=f(x)在x=1时取得最大值5，且f(0)=1，则f(2)的值为______。参考答案：1解析：对称轴x=1，最大值f(1)=5。f(0)=1，f(2)=f(0)=1（对称性）。9.第5单元中，抛物线y=mx^2+nx+1的顶点在原点，则m与n的关系为______。参考答案：mn=0解析：顶点在原点需-b/2a=0且c=0，即n=0或m=0。10.第5单元提到，若函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴相切，且过点(1,2)，则a+b+c的值为______。参考答案：2解析：相切需Δ=0且f(1)=2，代入得a+b+c=2。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.第5单元中，二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口方向由b的符号决定。（×）解析：开口方向由a决定，b影响对称轴位置。2.第5单元提到，若方程x^2+px+q=0的两根之比为1:2，则p^2=3q。（√）解析：设两根为k、2k，则k+2k=p，k×2k=q，代入(2k)^2=3k^2，得p^2=3q。3.第5单元中，函数y=f(x)的图像与x轴有两个交点，则f(x)必有两个零点。（√）解析：零点即函数图像与x轴交点的横坐标。4.第5单元提到，二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。（√）解析：顶点x=-b/2a，y=f(-b/2a)=c-b^2/4a。5.第5单元中，若函数y=f(x)在x=1时取得最小值-2，则f(2)一定大于-2。（×）解析：对称轴x=1，f(2)与f(0)对称，若f(0)=-2，则f(2)=-2。6.第5单元提到，二次函数的对称轴必经过抛物线的顶点。（√）解析：对称轴为顶点的垂直平分线。7.第5单元中，函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴相切，则判别式Δ=0。（√）解析：相切等价于方程有两个相等实根，Δ=0。8.第5单元提到，若抛物线y=ax^2+bx+c过点(1,0)和(3,0)，则对称轴必为x=2。（√）解析：对称轴为两交点中点连线的中垂线。9.第5单元中，二次函数y=ax^2+bx+c的最值必为顶点的纵坐标。（√）解析：最值点即顶点，纵坐标即为最值。10.第5单元提到，函数y=f(x)的图像与y=x轴有两个交点，则f(x)必有两个零点。（√）解析：零点即函数图像与x轴交点的横坐标。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.第5单元中，已知函数y=f(x)的图像与x轴交于点A(1,0)和B(3,0)，且对称轴为x=2，求f(x)的表达式。解：设f(x)=a(x-1)(x-3)，代入对称轴x=2得f(2)=a(2-1)(2-3)=-a=0，矛盾。正确设法：f(x)=a(x-1)(x-3)，代入对称轴x=2得f(2)=a(2-1)(2-3)=-a，对称轴为x=2需-a=0，矛盾。重新分析：对称轴为x=2，故f(x)=a(x-2)^2+c，过(1,0)、(3,0)得0=a(1-2)^2+c，0=a(3-2)^2+c，解得a=-1，c=0，故f(x)=-(x-2)^2。2.第5单元中，已知函数y=g(x)在x=2时取得最小值-3，且过点(0,1)，求g(x)的表达式。解：设g(x)=a(x-2)^2-3，过(0,1)得1=a(0-2)^2-3，解得a=2，故g(x)=2(x-2)^2-3。3.第5单元中，已知函数y=h(x)的图像与x轴有两个交点，且对称轴为x=1，求h(x)的性质。解：对称轴x=1，故h(x)=a(x-1)^2+c。与x轴有两个交点，Δ>0，即c≠0。性质：开口方向由a决定，顶点(1,c)，单调区间为(-∞,1)递减，(1,+∞)递增。4.第5单元中，已知函数y=k(x)的图像过点(1,0)、(3,0)，且顶点在y轴上，求k(x)的表达式。解：顶点在y轴，对称轴为x=2，故k(x)=a(x-2)^2+c，过(1,0)得0=a(1-2)^2+c，过(3,0)得0=a(3-2)^2+c，解得a=-1，c=0，故k(x)=-(x-2)^2。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.第5单元中，某工厂生产某种产品，成本C与产量x的关系为C=0.5x^2-10x+2000，求产量x使成本最低，并求最低成本。解：设成本函数C=0.5x^2-10x+2000，对称轴x=-b/2a=-(-10)/(2×0.5)=10，开口向上，故x=10时成本最低。最低成本C(10)=0.5×10^2-10×10+2000=1500。2.第5单元中，某商场销售某种商品，售价y与销售量x的关系为y=-2x^2+100x-200，求销售量x使收入最大，并求最大收入。解：收入函数R=x•y=x(-2x^2+100x-200)=-2x^3+100x^2-200x，求导R'=-6x^2+200x-200，令R'=0得x=10或x=-1/3（舍）。最大收入R(10)=-2×10^3+100×10^2-200×10=800。3.第5单元中，某跳水运动员的跳水高度h与时间t的关系为h=-5t^2+10t，求跳水运动员达到的最大高度及对应时间。解：h=-5t^2+10t，对称轴t=-b/2a=-10/(2×-5)=1，开口向下，故t=1时高度最大。最大高度h(1)=-5×1^2+10×1=5。4.第5单元中，某矩形花园的周长为20米，一边长为x米，求花园面积S的最大值。解：设另一边长为(10-x)米，面积S=x(10-x)=-x^2+10x，对称轴x=-b/2a=-10/(2×-1)=5，开口向下，故x=5时面积最大。最大面积S(5)=5×(10-5)=25平方米。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.A3.D4.D5.A6.B7.A8.B9.A10.C解析：第1题二次项系数决定开口方向；第2题求根公式解得x1=1,x2=3，AB=3-1=2；第3题顶点公式；第4题根和系数关系；第5题对称轴性质；第6题最值点条件；第7题单调性定义；第8题抛物线性质；第9题判别式；第10题最值性质。二、填空题1.(1,-1)12.m^2=16+n13.x=114.a=b-215.(-∞,2]2.117.a>0且Δ=018.119.mn=020.2解析：第11题顶点公式；第12题根和系数关系；第13题对称轴公式；第14题顶点条件；第15题单调性；第16题对称性；第17题最值条件；第18题对称性；第19题顶点条件；第20题相切条件。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.√27.√28.√29.√30.√解析：第21题开口方向由a决定；第22题根和系数关系；第23题零点定义；第24题顶点公式；第25题对称性；第26题对称轴性质；第27题相切条件；第28题对称轴性质；第29题最值性质；第30题零点定义。四、简答题1.解：设f(x)=a(x-1)(x-3)，对称轴x=2需-a=0，矛盾。正确设法：f(x)=a(x-2)^2+c，过(1,0)、(3,0)得0=a(1-2)^2+c，0=a(3-2)^2+c，解得a=-1，c=0，故f(x)=-(x-2)^2。解析：关键在于正确设函数形式，不能直接套用交点式。对称轴为x=2，故顶点在x=2，正确设法为f(x)=a(x-2)^2+c。2.解：设g(x)=a(x-2)^2-3，过(0,1)得1=a(0-2)^2-3，解得a=2，故g(x)=2(x-2)^2-3。解析：最值点即顶点，代入点坐标求参数。3.解：设h(x)=a(x-1)^2+c，与x轴有两个交点，Δ>0，即c≠0。性质：开口方向由a决定，顶点(1,c)，单调区间为(-∞,1)递减，(1,+∞)递增。解析：对称轴为x=1，故顶点在x=1，正确设法为h(x)=a(x-1)^2+c。需注意Δ>0的条件。