第二十六章 26.2.1二次函数y=ax的图象和性质【课件-26-27学年数学人教版九上】

1.

会用描点法画y=ax²(a≠0)的函数图象，认识

抛物线.2.通过观察图象，掌握y=ax²

的开口方向、对称轴、

顶点等图象特征

.3.

理解参数a对抛物线开口方向、开口大小的影响.1.说一说二次函数的概念?一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.2.研究一次函数我们采用什么样的过程?列表、描点、连线二次函数也是函数，我们沿用这套方法，先来研究最简单的二次函数y=x²,猜一猜它的图象会是什么样子?根据表中x,y

的值在平面直角坐

标系中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点，就得到

y=x²的图象.问题：仿照一次函数图象的画法，画出二次函数y=x²

的图象.解：列表X…-3-2-10工23…y=x²…94工0149…观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗?实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.

我们把二次函数y=ax²+bx+c的图

象叫作抛物线y=ax

²+bx+c.可以看出，二次函数y=x²的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时

球在空中经过的路线，只是这条曲线开口

向上.想一想：所画出的抛物线y=x²

上分别取点(2,4),(3,

9),

并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么?y轴是抛物线y=x²的对称轴在抛物线y=x

²上任取一点(m,实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫

作抛物线的顶点.顶点是抛物线

的最低点或最高点.抛物线与其对称轴的交点(0,0)叫作抛物线y=x²的顶点，它是抛物线的最低点.从二次函数y=x²

的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.例：在同一平面直角坐标系中，画出函数,y=2x²的图象.解：分别列表，再画出它们的图象.X…-4-3-2-101234……84.520.500.524.58…X…

·-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x²…84.520.500.524.58…相同点：1.抛物线的开口向上；2.对称轴是y轴

；3.顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；4.当x>0时

，y随x的增大而增大；当x<0

时

，y随x的增大而减小.思考：(1)函数

,y

=2

x²的图象与函数y=x²的图象(图中的虚线图形)相比，有什么相同点和不同点?不同点：开口大小不同，

-4

-2

0y=x²y=2x²28642-思考：(2)利用信息技术工具画二次函数y=ax²(a>0)的

图象，改变a的值，函数y=ax²

的图象也发生了改变.随着a的变

化，二次函数y=ax

²的图象有什么变化?y↑y=³x2

y=15x²y=ax2

6-a=0.4a越大，抛物线的开口越小.二次函数y=ax2的图像与性质探究-初中数学A赋能教学素材(html交互动画).html一般地，当a>0

时，抛物线y=ax

²的

开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶

点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开

口越小.进一步，从二次函数y=ax²(a>0)的

图象可以看出：当x<0

时

，y随x的增大而

减小；当x>0

时，y

随x的增大而增大.探究：回顾上面研究二次函数y=ax²(a>0)的图象和性

质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax²(a<0)的图

象和性质吗?类似于对函数y=ax²(a>0

)的

研究，可以在同一平面直角坐标系中

画出函数y=

-

x²,

,y

=

-2x²的图象观察这些抛物线有什么共同点和不同点.也可以利用信息技

术工具画二次函数y=ax²(a<0)的图象，改变a的值，观察随

着a的变化，二次函数y=ax²

的图象的变化.相同点：1.抛物线的开口向下；2.对称轴是y轴

；3.顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；4.当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0

时

，y随x的增大而增大.不同点：开口大小不同.a越小，抛物线的开口越小.二次函数y=ax2的图像与性质探究-初中数学A武能教学素材(

html

交互动画).html一般地，当a<0

时，抛物线y=ax²的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点

顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.当x<0

时，y

随x的增大而增

大；当x>0

时，y

随x的增大而减小.一般地，抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点.

当

a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当??<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高

点.

|a|越大，抛物线的开口越小.从二次函数y=ax²的图象可以看出：如果a>0,那

么当x<0

时，y随x的增大而减小，当x>0

时，y

随x的增

大而增大；如果a<0,那么当x<0

时，y随x的增大而增

大，当x>0

时，y

随x的增大而减小.【知识技能类练习】必做题：1.

下列各点在函

的图象上的是(

C)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,2)D.(4,4)【知识技能类练习】必做题：2.如图，①②分别对应y=ax²与y=bx²的函数图象，则a,b

的大小关系

a>b

.(

1

)

当x取何值时，y有最小值?最小值是多少?(

2

)

当x>0

时，y随x的增大怎样变化?当x<0

时呢?解：作函数

的图象如图所示.(1)根据图象可知，当x=0

时，y有最

小值，最小值是0.(2)根据图象可判断，当x>0

时

，y

随x

的增大而增大；当x<0

时，y

随x的增大

而减小.【知识技能类练习】必做题：3.在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数

的

图象，并回答下列问题：【知识技能类练习】选做题：4.在平面直角坐标系x0y中，点A(-2,3),B(3,4),y=ax²的图象

如下图所示，则a的值可以为(

D)A.3B.2C.1.7D.0.5【综合拓展类练习】5.根据条件，求下列各题中m的取值或取值范围.(1)函数y=(2m-1)x²有最小值；(2)函数y=(m-2)x²,当x<0

时，y

随着x的增大而增大；(3)y=(m+1)x²

与y=2x²的函数图象形状相同；(4)函数y=mxm²+m

的图象是开口向下的抛物线.解：(1)

∵函数y=(2m-1)x²有最小值，∴2m-1>0,【综合拓展类练习】(2)∵

当x<0

时，函数y=(m-2)x²的函数值y随着x的增大而增大，

∴m-2<0,∴m<2;(3)∵y=(m+1)x²与y=2x²

的函数图象形状相同，

∴|m+1|=|2|,∴m

=

1或

-3;(4)∵函数y=mxm²+m的图象是开口向下的抛物线，∴m²+

m

=2

且m<0,∴m=-

2或m=1,∵m<0,∴m=-2.开口方向a>0二次函数y=ax²(a≠O)的图象和性质a<0最值顶点坐标对称轴增减性【知识技能类作业】必做题：1.

抛物线y=x²的顶点坐标是(C)A.(1,0)

B.(0,1)C.(0,0)

D.(1,1)【知识技能类作业】必做题：2.已知抛物线y=ax²经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是

向

上【知识技能类作业】必做题：3.已知函数y

=(m+2)xm²+m-4是y关于x的二次函数.(1)求满足条件m

的

值

；(2)当m

为何值时，此抛物线有最低点?这时，当x

取何值时，

y随x的

增大而减小；(3)当

m为何值时，此抛物线有最高点?最高点的坐标是多少?这时，

当x

取何值时，y随x

的增大而增大.解：(1)∵函数y=(m+2)xm²+m-4是y关于x的二次函数，

,解得：m=2

或m=-3,

∴

满足条件m的值为2,-3.(

2

)

当m=2

时，函数为y=4x²,开口向上，此时抛物线有最低点，当

x<0时，y随x的增大而减小.(

3

)

当m=-3时，函数为y=-x²,开口向下，此时抛物线有最高点，

最高点坐标为(0,0),当x<0

时，??随x的增大而增大.4.已知三个二次函数的图象如图所示，那么a₁,a₂,a₃的大小关系是(

D)A.a₁<a₂<a₃B.a₃<a₁<a₂C.a₁<a₃<a₂D.a₃<a₂<a₁【知识技能类作业】选做题：【综合拓展类作业】5.如图，已知点A(-2,4)

在抛物线y=ax²(a≠0)上，过点