福建省龙岩市某校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建省龙岩市某校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（

）A.三点共线 B.三点共线

C.三点共线 D.三点共线3.设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A. B. C. D.5.是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（

）

A.1 B.2 C.3 D.46.在中，，分别为，边上的点，且，若，则（

）A. B. C. D.7.中，内角的对边分别为，且，则的形状为（

）A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，A＝2C，则△ABC周长的取值范围为（

）A.（0，2+） B.（0，3+）

C.（2+，3+） D.（2+，3+]二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数，，下列说法正确的是（

）A.若纯虚数，则

B.若为实数，则，

C.若，则或

D.若，则m的取值范围是10.对于，有如下判断，其中正确的是（

）A.若，则为等腰三角形

B.若，则

C.若，则符合条件的有两个

D.若，则是钝角三角形11.图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（

）

A.

B.

C.从点观测峰顶的仰角为，则

D.从点观测点的仰角为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知非零向量满足，则=

.13.在我国国旗的正五角星图形中有许多黄金分割点，如图所示的正五角星几何图形中，是顶角为的等腰三角形，，为线段上的两个黄金分割点，则有据此计算

.

14.已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知一平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，.(1)求的模长.(2)求第四个顶点的坐标16.(本小题15分)如图，在中，分别是，的中点，，为与的交点.(1)若，求的值(2)求证：三点共线.17.(本小题15分)已知向量，，点P在x轴上．（1）使最小，求P点坐标;（2）若∠APB为钝角，求P横坐标的取值范围．18.(本小题17分)某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米．请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及AC的长；因地理条件的限制，边界不能更改，而边界可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD的面积最大，并求出最大值．19.(本小题17分)

在锐角三角形ABC中,BAC=,BC=1.

(1)设ABC=,试用表示ABC的周长,并确定的取值范围;(2)如图,设为ABC的外角平分线的交点,D为​​​​​​​与AB延长线的交点.(ⅰ)用正弦定理证明:=;(ⅱ)设,分别为与,同向共线的单位向量,且=(+),求实数的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】//

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由题意可得，根据模长公式可得：.（2）设点的坐标为，当平行四边形为时，，所以，化简可得：，解得，所以坐标为，当平行四边形为时，，所以，化简可得：,解得，所以坐标为，当平行四边形为时，，所以，化简可得：，解得，所以坐标为，综上，点的坐标为或或.

16.【答案】解：（1）设，，因为在中，E，H分别是的中点，，所以，，，又，，解得．(2)，设，，则，又，，解得，则，，，即三点共线.

17.【答案】解:(1)设点P的坐标为(x,0),

可得=(x-2,2),=(x-4,-1)

因此=(x-4)(x-2)-2=-6x+6=-3

二次函数y=-3,

当x=3时取得最小值为-3.

当x=3时,.取得最小值-3,

此时P(3,0);

(2)若APB为钝角,即有<0,且有,不共线.

设P(m,0),即有=(2-m,-2),=(4-m,1),

则(2-m)(4-m)-2<0,

解得3-

由,共线,可得2-m=-2(4-m),

解得m=

则有P的横坐标的范围是(3-,)(,3+).

18.【答案】解：(1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，

由余弦定理：AC2=42+62–2×4×6×cos∠ABC

联立得cos∠ABC=，

∵∠ABC∈(0,)，故∠ABC=60°．

S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．

在△ABC中，由余弦定理：

AC2=AB2+BC2–2AB·BC·cos∠ABC=16+36–2×4×6×．

所以，AC=．

（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC,

又S△ADC

=AD·CD·sin120°=，

设AP=x，CP=y．则S△APC

=．

又由余弦定理AC2=x2+y2–2xycos60°=x2+y2–xy=28．

∴x2+y2–xy≥2xy–xy=xy．

∴xy≤28

当且仅当x=y时取等号.

∴S四边形APCD=(万平方米)

∴最大面积为万平方米，此时点P为弧ABC的中点．

19.【答案】解:(1)在ABC中,因为ABC=,BAC=,

所以ACB=-.

因为ABC为锐角三角形,

​​​​​​​所以<<,且<-<,

解得<<.

在ABC中,由正弦定理得,==.

于是AB+BC+AC=[(-)+]+1

=(+)+1

=2(+)+1,

所以ABC的周长为2(+)+1,的取值范围是(,).

(2)(i)在ACD中,由正弦定理得,=.

在BCD中,由正弦定理得,=.

因为A