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任务5.4：认识二阶线性微分方程主讲教师高等数学掌握二阶常系数齐次线性微分方程解的结构掌握二阶齐次线性微分方程解的结构掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法项目五

认识常微分方程§5.4认识二阶线性微分方程任务1：任务2：任务3：二阶线性微分方程：时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.复习:

一阶线性微分方程：通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y一、二阶齐次线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得（解的叠加原理）定理1.注：未必是已知方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解！但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关性的概念.一、二阶齐次线性微分方程解的结构☆两个函数线性相关性的充要条件：线性相关线性无关常数注：0与任意函数必线性相关仅相差常数倍！定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则为该方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解为推论*.是

n

阶线性齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为二、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构那么怎么求二阶常系数齐次线性方程的通解？定理4.是二阶常系数齐次线性方程：性无关特解,则为该方程的通解.

三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

和它的导数只差常数倍,代入①得

称②为微分方程①的特征方程,(λ

为待定常数),

①所以令①的解为②其根称为特征根.特征根的概念：1.当时,②有两个相异实根

方程有两个线性无关的特解:

因此方程的通解为

则微分特征根的情况讨论：2.当时,

特征方程有两个相等实根

原方程的通解为

3.当时,

特征方程有一对共轭复根此时原方程的通解为特征根的情况讨论：

特征方程:

实根

特征根通解例1.练习1.解：求微分方程的通解.特征方程为特征根为通解为例3.练习2.解：特征方程为特征根为通解为

求微分方程满足初始条件的特解.代入初始条件得特解为例5.

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