专题33填空题压轴题综合（10年汇编）（七大考点55题）（原卷版）

专题33填空题压轴题综合（七大考点，55题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01函数与导数2026北京、2025天津、2024天津、2023北京/全国乙/天津、2022天津/全国乙、2021北京、2019江苏/浙江、2018江苏/天津、2017浙江/江苏1.填空压轴最核心考点，全国各卷高频出题，难度偏大。2.主要考查函数零点、单调性、极值最值、恒成立、切线、周期函数根的分布。3.多为多结论填空、参数范围填空，需数形结合与分类讨论求解。考点02三角函数与解三角形2021上海、2018江苏/全国Ⅰ、2017上海/浙江1.中档填空压轴，计算量较大，常结合最值设问。2.依托三角恒等变换、正余弦定理、角平分线模型命题。3.题型以求最小值、线段长度、三角函数最值为主。考点03平面向量2026上海、2025上海、2021浙江、2020上海/天津/浙江、2019江苏/浙江、2018上海、2017上海/江苏1.新高考、上海卷填空热门压轴，侧重几何数形结合。2.载体有三角形、正方形、网格坐标系，考查投影、向量模、数量积最值。3.常设置多个动点，转化函数求最大、最小值。考点04数列2026全国一卷、2024上海/北京、2022北京、2020全国Ⅰ、2018江苏/上海1.创新压轴题型，多结合新定义、双数列交集命题。2.涵盖等差、等比数列、递推数列、数列计数、区间约束问题。3.设问包含结论判断、项数最小值、参数最值、有序组合计数。考点05空间向量与立体几何2025全国二/北京、2023上海、2017全国Ⅰ/Ⅲ1.空间几何填空压轴，多结合动态旋转、几何体最值。2.题型：内切球半径、多面体体积、空间线线角、折叠三棱锥体积最值。3.常结合实际容器、3D零件实物背景出题。考点06解析几何2026上海/天津、2023新课标Ⅰ、2017江苏1.解析几何填空压轴，以椭圆、抛物线、圆为主。2.核心考离心率、抛物线上点坐标关系、圆上动点横坐标范围。3.多条件串联，联立方程、坐标转化是核心解题思路。考点07计数原理及概率统计2025全国一卷、2024新课标Ⅰ/Ⅱ1.近年创新填空压轴，文字情境较多。2.考查有放回抽样期望、卡片比赛概率、方格行列组合计数。3.兼顾排列组合基础与概率计算，设问包含计数、概率、数学期望。考点01函数与导数（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论：①在上有最小值和最大值；②，时，有最大值；③，有3个解；④，与有4个交点.其中正确结论的序号是________．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是____________．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是_____.（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.（2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．（2018·天津·高考真题）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．（2017·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________（2017·江苏·高考真题）设是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．考点02三角函数与解三角形（2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________．（2017·上海·高考真题）设、，且，则的最小值等于________（2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．考点03平面向量（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________.（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影的数量分别为x，y，在方向上的投影的数量为z，则的最小值为___________.（2020·上海·高考真题）已知是平面内两两不同的向量，满足，且(其中)，则的最大值为______（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.（2019·浙江·高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和.若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________

（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

考点04数列（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对.（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是______.（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；

②为等比数列；③为递减数列；

④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．（2020·全国I卷·高考真题）数列满足，前16项和为540，则______________.（2018·江苏·高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．（2018·上海·高考真题）设等比数列的通项公式为（），前项和为，，则________考点05空间向量与立体几何（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．（2017·全国III卷·高考真题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）（2017·全国I卷·高考真题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．

考点06解析几何（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______．①若与抛物线焦点重合，则；②；③；④；⑤（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是_________考点07计数原理及概率统计（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，