专题30圆锥曲线解答题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（10年汇编）（十一大考点80题）（原卷版）

专题30圆锥曲线解答题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（十一大考点，80题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01轨迹方程2026全国二卷、2023新课标Ⅰ、2017全国Ⅱ1.圆锥解答第一问高频基础题型，是后续所有计算的铺垫。2.常用解题方法为定义法、相关点代入法，轨迹类型包含椭圆、抛物线、直线。3.题目常给出垂线、交点等几何条件，部分题目会追加曲线对称、平移相关探究。考点02定点问题2023全国乙、2022全国乙、2020全国Ⅰ、2019全国Ⅰ/Ⅲ/北京、2017全国Ⅰ1.圆锥大题经典压轴证明题型，多作为第二小问出现。2.通用思路：设直线与曲线联立，借助韦达定理化简消去参数，证明坐标固定不变；分为直线过定点、圆恒过定点两类题型。3.命题载体以椭圆、抛物线为主。考点03定值问题2018北京、2020山东、2019全国Ⅲ1.中档证明题型，计算量偏大，解题逻辑与定点问题相近。2.常考查斜率乘积、线段长度、向量数量积为固定常数。3.依托切线、曲线交点背景，联立方程化简完成证明。考点04定直线问题2023新课标Ⅱ1.双曲线专属特色题型，难度适中。2.核心考法：直线与双曲线左右两支相交，延长交点连线后，交点始终落在某条固定直线上。3.结合双曲线顶点、渐近线条件推导固定直线。考点05中点弦问题2022新高考Ⅱ、2020浙江、2018全国Ⅲ1.点差法标准应用题型，常设置条件互推类设问。2.出题形式：已知中点求解直线斜率，或是给出斜率证明多个等量关系成立。3.覆盖椭圆、双曲线、抛物线三类曲线。考点06弦长问题2021新高考Ⅱ、2022北京、2020北京1.基础计算小问，经常搭配面积、斜率综合出题。2.解题依靠联立方程、判别式与韦达定理计算线段长度。3.常结合直线相切、三点共线条件设置题干。考点07面积问题2026全国一/北京、2025北京/全国二、2024新课标Ⅰ、2023全国甲/天津、2022新高考Ⅰ/天津、2021全国乙、2020海南/全国Ⅲ、2019全国Ⅱ/浙江、2018江苏/上海1.必考计算类设问，出现频次极高，可单独求面积或是求解面积最值。2.涵盖三角形、四边形多种图形，使用分割、坐标法计算，搭配均值不等式、函数求解最大最小值。3.结合对称点、焦点、动直线综合命题。考点08斜率问题2026天津/上海、2024北京、2023上海、2021北京/浙江、2019天津、2018北京、2017天津1.贯穿整道大题的基础条件，也可独立作为单独设问。2.考查斜率定值、斜率取值范围、多条斜率之间等量关系证明。3.融合圆、双曲线、椭圆交叉条件计算。考点09参数范围及最值2025全国一/上海、2024天津/上海、2023上海、2022上海/浙江、2020江苏/上海1.圆锥大题压轴难点，区分度最高。2.求解直线斜率、离心率、线段、面积的取值范围，构造函数搭配不等式求取最值。3.多曲线融合出题，几何约束条件复杂，整体计算量大。考点10证明特殊位置关系2025天津、2024全国甲、2023北京、2018全国Ⅰ1.几何证明类小问，侧重逻辑推导。2.常需要证明垂直、平行、角平分线、中点平分等几何关系。3.依靠韦达定理、向量点积、坐标等量关系完成推导。考点11求直线方程2021天津、2020山东/天津、2017上海/天津1.大题收尾常规简单设问。2.根据面积、距离、角度等量反求直线解析式，需要分斜率存在、不存在两种情况讨论。3.结合椭圆、抛物线、圆综合计算参数。考点01轨迹方程（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为．(1)求的离心率．(2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为．（ⅰ）求的方程；（ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．（2017·全国II卷·高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.考点02定点问题（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．（2020·全国I卷·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.（2019·全国III卷·高考真题）已知曲线为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.（1）证明：直线过定点：（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.（2019·全国I卷·高考真题）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．（2019·北京·高考真题）已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.（2019·北京·高考真题）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．（2017·全国I卷·高考真题）已知椭圆C：（），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点.考点03定值问题（2018·北京·高考真题）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．（2019·全国III卷·高考真题）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.考点04定直线问题（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.考点05中点弦问题（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．（2018·全国III卷·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．（2018·全国III卷·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．考点06弦长问题（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．考点07面积问题（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为．(1)求的方程；(2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为．（i）若的面积是的面积的倍，求的方程；（ii）求的最小值．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为．(1)求的方程；(2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.（2020·全国III卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．（2019·全国II卷·高考真题）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.（2019·全国II卷·高考真题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．（2018·上海·高考真题）设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点.(1)用表示点到点的距离；(2)设，，线段的中点在直线上，求的面积；(3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.（2019·浙江·高考真题）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.（2018·浙江·高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆上的动点，求△PAB面积的取值范围．考点08斜率问题（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为．(1)求的标准方程；(2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.(1)求双曲线离心率；(2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；(3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．（2023·上海·高考真题）已知椭圆．(1)若，求椭圆的离心率；(2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值；(3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.（2019·全国I卷·高考真题）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．（2019·天津·高考真题）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.（2019·天津·高考真题）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.（2018·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求.（2018·全国II卷·高考真题）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.（2017·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.（1）求椭圆的离心率；（2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.（i）求直线的斜率；（ii）求椭圆的方程.（2017·浙江·高考真题）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求的最大值（2018·天津·高考真题）设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．（2018·天津·高考真题）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.考点09参数范围及最值（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．(1)求C的方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．（i）设，求的坐标（用m，n表示）；（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，．(1)求所在椭圆的离心率；(2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标；(3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.(1)若的离心率为2，求.(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D(C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．(1)若的焦点，求离心率e；(2)若，且上存在一点P，满足，求m；(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．（2022·上海·高考真题）设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.(1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值．（2020·上海·高考真题）双曲线，圆在第一象限交点为，曲线.（1）若，求b；（2）若，与x轴交点记为，P是曲线上一点且在第一象限，并满足，求∠；（3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围.（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．(1)若A到准线距离为3，求a；(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；(3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为