2025-2026学年高校教学设计书

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本章节内容涉及《高等数学》课程中“极限与连续”部分，主要讲解极限的概念、性质、运算法则以及连续函数的定义和性质。通过本章节的学习，学生能够掌握极限的基本概念和运算法则，为后续学习微积分打下坚实基础。教学内容与课本紧密相连，符合教学实际，实用性较强。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大核心素养。通过本章节的学习，学生能够理解极限概念的本质，发展逻辑推理能力；通过运用极限运算解决实际问题，提升数学建模和数据分析能力；同时，通过直观想象和数学运算的训练，增强数学思维和运算技能。教学难点与重点1.教学重点，

①理解极限的概念，包括数列极限和函数极限，并能正确判断函数在某一点的极限是否存在；

②掌握极限的运算法则，包括极限的加、减、乘、除以及复合函数的极限运算；

③理解连续函数的定义，并能识别连续函数和不连续函数；

④应用极限理论解决实际问题，如求解函数的极值、最值等。

2.教学难点，

①深入理解极限概念的本质，特别是无穷小量与无穷大的关系，以及极限存在的条件；

②正确处理极限运算中的“0/0”型未定式和“∞-∞”型未定式，以及如何运用洛必达法则或等价无穷小替换等技巧；

③在实际应用中，如何将实际问题转化为数学模型，并利用极限理论进行求解；

④在连续性判断上，如何分析函数的不连续点，并理解间断点的分类。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有《高等数学》教材，包括本节课所需的章节内容。

2.辅助材料：准备极限相关概念的解释图、函数连续性的图表以及极限运算法则的示例视频。

3.实验器材：准备计算器或计算机，以便学生进行极限计算练习。

4.教室布置：设置多个小组讨论区，并确保每个小组有足够的空间进行讨论和实验操作。教学过程一、导入新课

（老师）同学们，我们上节课学习了函数的概念和性质，今天我们将继续探讨函数的极限问题。请大家回顾一下，什么是函数？函数有哪些基本性质？

（学生）函数是两个变量之间的对应关系，具有唯一性、确定性等性质。

（老师）很好，那么什么是极限呢？我们今天要学习的极限是函数在某一点的极限，也就是当自变量无限接近某一点时，函数值的趋势。接下来，我们将一起探究极限的概念和性质。

二、新课讲授

1.极限的概念

（老师）首先，我们来探讨极限的概念。请大家打开教材，找到关于极限的定义部分。我将引导大家一步步理解极限的定义。

（学生）好的，老师。

（老师）极限的定义是这样的：设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x趋向于a时的极限。

（老师）现在，我们用一句话来概括这个定义：当自变量x无限接近a时，函数f(x)的值无限接近常数A，就称A为f(x)在x=a时的极限。

2.极限的性质

（老师）接下来，我们学习极限的性质。请大家跟我一起总结以下性质：

（1）保号性：如果f(x)→A，那么f(x)的符号与A的符号相同。

（2）夹逼性：如果f(x)≥g(x)≥h(x)，且f(x)→A，h(x)→A，那么g(x)→A。

（3）无穷小乘以无穷大等于无穷小：如果f(x)→0，g(x)→∞，那么f(x)g(x)→0。

（4）无穷小除以无穷大等于无穷小：如果f(x)→0，g(x)→∞，那么f(x)/g(x)→0。

（5）无穷小乘以有界函数等于无穷小：如果f(x)→0，g(x)是有界函数，那么f(x)g(x)→0。

3.极限的运算法则

（老师）极限的运算法则包括加、减、乘、除和复合函数的极限运算。我们将通过以下示例来学习这些法则：

（1）加法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，那么f(x)+g(x)→A+B。

（2）减法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，那么f(x)-g(x)→A-B。

（3）乘法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，且B≠0，那么f(x)g(x)→AB。

（4）除法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，且B≠0，那么f(x)/g(x)→A/B。

（5）复合函数的极限法则：如果f(x)→A，g(x)→B，那么f[g(x)]→f(B)。

三、课堂练习

（老师）下面，我们将进行课堂练习，巩固本节课所学内容。

1.判断以下函数在指定点的极限是否存在，并求出极限值（如果存在）：

（1）f(x)=x^2，x→0；

（2）f(x)=sin(x)/x，x→0；

（3）f(x)=ln(x)，x→∞。

2.利用极限的运算法则计算以下极限：

（1）lim(x→0)(x^2+2x+1)/(x+1)^2；

（2）lim(x→∞)(x^2+3x+2)/(x^2-2x+1)。

四、小组讨论

（老师）接下来，我们将进行小组讨论。请同学们分组，针对以下问题进行讨论：

1.如何判断一个函数在某一点的极限是否存在？

2.在实际应用中，如何利用极限理论解决实际问题？

五、课堂小结

（老师）同学们，今天我们学习了极限的概念、性质和运算法则。希望大家通过课堂练习和小组讨论，能够掌握这些知识。在今后的学习中，我们要注意以下几点：

1.理解极限的概念，掌握极限的定义和性质；

2.熟练运用极限的运算法则进行计算；

3.在实际应用中，能够运用极限理论解决实际问题。

六、课后作业

（老师）请大家完成以下课后作业，巩固今天所学内容：

1.判断以下函数在指定点的极限是否存在，并求出极限值（如果存在）：

（1）f(x)=x^3-3x^2+4x-1，x→1；

（2）f(x)=cos(x)/x，x→0；

（3）f(x)=e^x，x→∞。

2.利用极限的运算法则计算以下极限：

（1）lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)^2；

（2）lim(x→∞)(x^3+2x^2+3x+4)/(x^3-2x^2+3x-4)。

七、课堂评价

（老师）同学们，今天的课程即将结束。请各位同学认真思考以下问题，并给出自己的评价：

1.你认为本节课的教学内容是否实用？

2.你在学习过程中遇到了哪些困难？如何解决的？

3.你对今后的学习有什么计划和目标？

（学生）……（学生进行思考和回答）

（老师）好的，今天的课程就到这里。希望大家能够认真完成课后作业，巩固所学知识。下课！知识点梳理1.极限的概念

-数列极限：当n趋向于无穷大时，数列{a_n}的值趋向于一个常数A，记作lim(a_n)=A。

-函数极限：当x趋向于某个值a时，函数f(x)的值趋向于一个常数A，记作lim(f(x))=A。

2.极限的性质

-保号性：如果f(x)→A，那么f(x)的符号与A的符号相同。

-夹逼性：如果f(x)≥g(x)≥h(x)，且f(x)→A，h(x)→A，那么g(x)→A。

-无穷小乘以无穷大等于无穷小：如果f(x)→0，g(x)→∞，那么f(x)g(x)→0。

-无穷小除以无穷大等于无穷小：如果f(x)→0，g(x)→∞，那么f(x)/g(x)→0。

-无穷小乘以有界函数等于无穷小：如果f(x)→0，g(x)是有界函数，那么f(x)g(x)→0。

3.极限的运算法则

-加法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，那么f(x)+g(x)→A+B。

-减法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，那么f(x)-g(x)→A-B。

-乘法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，且B≠0，那么f(x)g(x)→AB。

-除法法则：如果f(x)→A，g(x)→B，且B≠0，那么f(x)/g(x)→A/B。

-复合函数的极限法则：如果f(x)→A，g(x)→B，那么f[g(x)]→f(B)。

4.无穷小和无穷大

-无穷小：当x趋向于某个值a时，如果f(x)→0，则称f(x)为无穷小。

-无穷大：当x趋向于某个值a时，如果f(x)→∞，则称f(x)为无穷大。

5.未定式

-0/0型未定式：当x趋向于a时，如果f(x)→0，g(x)→0，那么极限可能存在，也可能不存在。

-∞/∞型未定式：当x趋向于a时，如果f(x)→∞，g(x)→∞，那么极限可能存在，也可能不存在。

-0*∞型未定式：当x趋向于a时，如果f(x)→0，g(x)→∞，那么极限可能存在，也可能不存在。

6.极限的证明

-极限的证明方法包括直接证明、间接证明和反证法。

-直接证明：直接证明极限存在，并求出极限值。

-间接证明：通过证明极限不存在来证明极限不存在。

-反证法：假设极限存在，然后通过矛盾证明假设错误，从而证明极限不存在。

7.连续函数

-连续函数的定义：如果函数f(x)在x=a处连续，那么当x趋向于a时，f(x)的极限存在，且极限值等于f(a)。

-连续函数的性质：连续函数的加减、乘除、复合运算仍然连续。

-不连续函数：如果函数f(x)在x=a处不连续，那么f(x)在x=a处的极限不存在，或者极限值不等于f(a)。

8.极限的应用

-极限在微积分中的应用：求函数的导数、积分等。

-极限在物理、工程、经济学等领域的应用：求解极限问题，解决实际问题。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的表现总体良好，积极参与讨论，对于极限概念的理解和运算法则的掌握程度较高。大部分学生能够正确判断函数在某一点的极限是否存在，并能够运用极限的运算法则进行计算。但在处理一些复杂的极限问题时，部分学生表现出一定的困惑，需要进一步的指导和练习。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够积极地参与到讨论中，提出自己的观点，并对其他同学的意见进行补充和修正。通过小组合作，学生们对于极限的连续性有了更深入的理解，并能将理论知识与实际问题相结合，提高了解决实际问题的能力。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生对极限概念和运算法则的掌握程度较好，但对于一些复杂的极限问题，如未定式的处理，仍有待提高。测试中，部分学生能够准确判断极限的存在性，但求极限值时出现了一些错误，如忘记取绝对值或计算错误。

4.学生自评与互评：

学生们在课后进行了自我评价和互评，普遍认为本节课的教学内容实用性强，能够帮助他们更好地理解极限的概念和应用。同时，学生们也提出了一些改进意见，如增加更多实际例题的讲解，以及提供更多练习机会。

5.教师评价与反馈：

针对学生在课堂上的表现，我将从以下几个方面给予评价与反馈：

-对极限概念的理解：大部分学生能够正确理解极限的概念，但仍有部分学生对于极限存在的条件掌握不够牢固。

-极限的运算法则：学生对于基本的极限运算法则掌握较好，但在处理复合函数的极限问题时，部分学生存在混淆。

-实际问题解决能力：通过小组讨论和随堂测试，学生们在解决实际问题时表现出了一定的能力，但仍有提升空间。

-学习态度与习惯：学生们在课堂上表现出良好的学习态度，但部分学生在课后练习中存在拖延现象，需要加强督促。

-今后教学建议：在今后的教学中，我将增加实际例题的讲解，提供更多练习机会，并针对学生在课堂上的困惑进行个别辅导，以提高他们的学习效果。教学反思与改进这节课下来，我觉得有几个地方值得反思和改进。

首先，我发现有些学生对于极限的概念理解得还不够透彻。在课堂上，我尝试用直观的方式解释极限，但可能还是有些抽象，导致部分学生感到困惑。我计划在未来的教学中，加入更多实际生活中的例子，比如物理学中的速度极限、经济学中的供需平衡等，让学生更容易理解极限的实际意义。

其次，我发现学生在处理复合函数的极限问题时，很容易混淆。我注意到，有些学生对于“先乘后除”和“先除后乘”的顺序把握不