2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第17讲　第1课时　导数与不等式证明

第三章第17讲导数的综合应用一元函数的导数及其应用第1课时导数与不等式证明题型突破·思维拓展目标1构造新函数求最值证明不等式(1)讨论f(x)的单调性；1【解答】1【解答】证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))直接转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(1)讨论函数f(x)的单调性；【解答】③当a＜－1时，－a＞1，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．综上，当－1＜a＜0时，函数f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜－1时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．(2)当a＜－1时，求证：∀x∈(1，＋∞)，f(x)＞－a－a2．【解答】

当a＜－1时，由(1)得，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，函数f(x)在(1，＋∞)上的最小值为f(－a)＝(a－1)ln(－a)－a－1，欲证不等式f(x)＞－a－a2成立，即证－a－a2＜(a－1)ln(－a)－a－1，即证a2＋(a－1)ln(－a)－1＞0．因为a＜－1，所以只需证ln(－a)＜－a－1．目标2隔离分析证明不等式当a∈(0，2e)时，求证：2x2－(2x＋a)lnx＞0．2【解答】目标3利用放缩法证明不等式

(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝a(x－1)－lnx＋1，a≤2，求证：当x＞1时，f(x)＜ex－1恒成立．【解答】

因为a≤2，所以当x＞1时，ex－1－f(x)＝ex－1－a(x－1)＋lnx－1≥ex－1－2x＋lnx＋1．3－1【解答】

构造函数h(x)＝ex－x－1，h′(x)＝ex－1．当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)＝0，所以ex≥x＋1，x≠0时，ex＞x＋1．3－2常见的恒成立不等式(放缩依据)：(1)ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；(3)x－1≥lnx(x＞0)，当且仅当x＝1时取等号；(4)ex＞lnx；注意：有时候可对参数进行放缩(对参数直接取最值)．配套精练【解答】2．(2025·太原一模节选)已知函数f(x)＝x－lnx，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥cos(x－1)．【解答】3．(2025·秦皇岛三模)设函数f(x)＝(x－2)lnx＋1．(1)求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；【解答】3．(2025·秦皇岛三模)设函数f(x)＝(x－2)lnx＋1．(2)求证：f(x)＋ex＞x＋1．【解答】4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x．(1)讨论f(x)的单调性；【解答】

因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1．当a≤0时，由于ex＞0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1＜0恒成立，所以f(x)在R上单调递减．当a＞0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，当x＜－lna时，f′(x)＜0，则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减；当x＞－lna时，f′(x)＞0，则f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．4．(2023·新