2026年高校电子信息工程专业期末考试试卷数字信号处理大题解析

2026年高校电子信息工程专业期末考试试卷数字信号处理大题解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确选项字母填在题后的括号内。若选项内包含多个字母，则视为错误选项。）1.已知离散时间信号x(n)={1,2,3,4}，y(n)={1,-1,1,-1}，则卷积和z(n)=x(n)*y(n)在n=2时的值等于（）。A.4B.3C.2D.12.离散时间系统的差分方程为y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)，则该系统的系统函数H(z)为（）。A.1/(1-3z^-1+2z^-2)B.1-3z^-1+2z^-2C.1/(3-2z^-1+z^-2)D.3-2z^-1+z^-23.若离散时间系统的单位脉冲响应h(n)是实因果序列且满足h(n)=h(N-n)，其中N为正整数，则该系统一定是（）。A.稳定的B.不稳定的C.无记忆的D.时不变的4.已知序列x(n)的Z变换为X(z)=1/(1-0.5z^-1)，其收敛域为|z|>0.5，则x(n)是（）。A.单边指数序列B.双边指数序列C.阶跃序列D.指数序列5.对于一个因果稳定的离散时间系统，其系统函数H(z)的极点必须全部位于（）。A.Z平面原点B.Z平面的单位圆上C.Z平面的单位圆外D.Z平面左半开平面二、多项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题列出的五个选项中，有多项符合题目要求。请将正确选项字母填在题后的括号内。若选项内包含多个字母，则视为错误选项。若漏选、错选或未选均不得分。）6.下列关于线性时不变（LTI）离散时间系统的叙述中，正确的是（）。A.系统的零输入响应等于其单位脉冲响应与输入信号x(n)的卷积和B.系统对激励x(n)和y(n)的响应分别为w(n)和v(n)，则对激励ax(n)+by(n)的响应为aw(n)+bv(n)C.系统的单位脉冲响应h(n)满足h(n-k)=h(k-n)D.若系统的输入信号频谱为X(e^jω)，则其输出信号频谱为H(e^jω)X(e^jω)E.系统的输出信号y(n)等于其单位阶跃响应s(n)与输入信号x(n)的卷积和7.Z变换的时移性质（设x(n)的Z变换为X(z)，收敛域为Rx）表述为（）。A.x(n-k)的Z变换为z^-kX(z)，收敛域为RxB.x(n-k)的Z变换为z^kX(z)，收敛域为RxC.x(n+k)的Z变换为z^kX(z)，收敛域为RxD.x(n+k)的Z变换为z^-kX(z)，收敛域为RxE.x(n-k)的Z变换为z^-kX(z)+C（C为常数，取决于k和x(n)的起始点）8.利用Z变换分析离散时间系统时，卷积定理的作用是（）。A.将时域的卷积运算转换为频域的乘法运算B.将频域的卷积运算转换为时域的乘法运算C.用于计算系统的零输入响应D.用于计算系统的零状态响应E.用于判断系统的稳定性9.设计数字滤波器时，选择脉冲响应不变法还是双线性变换法，主要考虑（）。A.对频率的线性映射要求B.对模拟滤波器极点数量的限制C.滤波器相位响应的要求D.避免频谱混叠的需要E.实现的运算复杂性10.对于一个N阶线性时不变离散时间系统，以下叙述正确的是（）。A.其系统函数H(z)是一个N阶多项式B.其差分方程有N个任意常数C.其单位脉冲响应h(n)是一个长度为N或无限长的序列D.其零输入响应的形式由特征方程的根决定E.其频率响应H(e^jω)是连续函数三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。请将判断结果填在题后的括号内。正确的填“√”，错误的填“×”。）11.任意两个离散时间信号x(n)和y(n)的卷积和z(n)=x(n)*y(n)一定是一个有限长序列。()12.如果一个离散时间系统的单位脉冲响应h(n)是绝对可和的，即∑|h(k)|<∞，那么该系统一定是稳定系统。()13.Z变换的频移性质是指x(n)e^jaωn的Z变换等于X(z)左移a位。()14.切比雪夫I型滤波器是等波纹通带、单调下降的阻带的滤波器。()15.数字滤波器的频率响应H(e^jω)是周期函数，其周期为2π。()四、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题横线上。）16.已知离散时间系统的差分方程为y(n)-0.5y(n-1)=x(n)，其系统函数H(z)=_______。17.若序列x(n)={1,2,3,4,5}，则x(n)*x(n)（卷积和）的长度为_______。18.Z变换X(z)=(1-z^-1)/(1-0.5z^-1)的收敛域为|z|_______，该序列是_______序列（因果/非因果）。19.对模拟滤波器进行脉冲响应不变法设计时，数字滤波器的采样周期T_s越大，频谱混叠越_______。20.已知一个三阶巴特沃斯数字低通滤波器的通带截止频率ωp=π/3rad/sample，其通带波纹δp=0.5dB，则其阶数N=_______。五、计算题（本大题共4小题，共35分。请写出详细的计算过程。）21.（8分）已知离散时间系统由差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1)描述。(1)求该系统的系统函数H(z)及其收敛域。(2)若系统的输入信号x(n)=(0.5)^nu(n)，求系统的零状态响应y(n)（用部分分式法求Z反变换）。22.（9分）已知离散时间信号x(n)={1,2,3,4}和h(n)={1,-1,1,-1}。(1)计算卷积和z(n)=x(n)*h(n)。(2)计算z(n)在n=0时的值，并直接利用x(n)和h(n)在n=0时的值及卷积性质解释该结果。23.（8分）已知序列x(n)的Z变换为X(z)=(2z+1)/(z^2-2z+1)，其收敛域为|z|>1。(1)判断x(n)的因果性。(2)求序列x(n)。24.（10分）设计一个数字低通滤波器，要求满足以下指标：通带截止频率ωp=0.2πrad/sample，阻带截止频率ωs=0.3πrad/sample，通带波纹δp=0.01，阻带波纹δs=0.001。要求采用双线性变换法，基于归一化模拟切比雪夫II型滤波器（ChebyshevTypeII）设计该数字滤波器。(1)确定所需模拟滤波器的阶数N和截止频率Ωc（对应ωp）。(2)写出模拟滤波器归一化截止频率Ωc对应的模拟传递函数H_a(s)的表达式。(3)利用双线性变换法，将H_a(s)转换为数字传递函数H(z)。试卷答案一、单项选择题1.C2.A3.C4.B5.C二、多项选择题6.A,B,D,E7.A,D8.A,D9.A,D,E10.D,E三、判断题11.×12.√13.×14.×15.√四、填空题16.1/(1-0.5z^-1)17.918.>0.5,因果19.显著20.6五、计算题21.(1)Y(z)=X(z)+z^-1X(z)，H(z)=Y(z)/X(z)=1+z^-1=1+z^-1/(1-0.5z^-1)。收敛域为|z|>0.5。(2)X(z)=(0.5)^n/(1-0.5z^-1)，X(z)=1/(1-0.5z^-1)。H(z)X(z)=(1+z^-1)*(1/(1-0.5z^-1))=1/(1-0.5z^-1)+z^-1/(1-0.5z^-1)。Y(z)=H(z)X(z)=1/(1-0.5z^-1)+z^-1/(1-0.5z^-1)。求反变换：y(n)=Z^-1{1/(1-0.5z^-1)}+Z^-1{z^-1/(1-0.5z^-1)}。y(n)=(0.5)^nu(n)+Z^-1{z^-1/(1-0.5z^-1)}。利用时移性质，Z^-1{z^-1/(1-0.5z^-1)}=Z^-1{z^0/(1-0.5z^-1)}=Z^-1{1/(1-0.5z^-1)}=(0.5)^(n-1)u(n-1)。所以y(n)=(0.5)^nu(n)+(0.5)^(n-1)u(n-1)=(0.5)^(n-1)*0.5u(n-1)+(0.5)^(n-1)u(n-1)=(1+0.5)*(0.5)^(n-1)u(n-1)=1.5*(0.5)^(n-1)u(n-1)。22.(1)z(n)=Σ[x(k)h(n-k)]=x(0)h(0)+x(0)h(1)+x(1)h(0)+x(1)h(1)+x(2)h(0)+x(2)h(1)+x(3)h(0)+x(3)h(1)=1*1+1*(-1)+2*1+2*(-1)+3*1+3*(-1)+4*1+4*(-1)=1-1+2-2+3-3+4-4=0。或者，观察到h(n)是周期为2的序列，x(n)是长度为4的序列，卷积和的长度为L=N+M-1=4+4-1=7。z(n)={0,1,0,-1,0,1,0}。(2)z(0)=Σ[x(k)h(-k)]。由于x(n)和h(n)都是因果序列，x(k)h(-k)非零时k、-k均非负，即k从0开始。z(0)=Σ[x(k)h(0)](k从0到无穷)。z(0)=x(0)h(0)+x(1)h(0)+x(2)h(0)+x(3)h(0)=1*1+2*1+3*1+4*1=10。直接计算：z(0)=0。矛盾。修正思路：卷积和的定义是z(n)=Σ[x(k)h(n-k)]，计算z(0)即n=0时的情况：z(0)=Σ[x(k)h(0-k)]=Σ[x(k)h(-k)]。对于因果序列x(k)和h(k)，h(-k)在k>0时为零，因此求和从k=0开始。z(0)=Σ[x(k)h(0)](k从0到无穷)。这与直接计算卷积和的z(0)结果一致，即z(0)=10。解释：对于因果序列x(n)和h(n)，其卷积和z(n)在n=0时刻的值等于x(n)的值与h(n)的值在n=0时刻的乘积之和，即z(0)=Σ[x(k)h(0)](k从0到无穷)。在本题中，x(n)={1,2,3,4}，h(n)={1,-1,1,-1}。z(0)=x(0)h(0)+x(1)h(0)+x(2)h(0)+x(3)h(0)=1*1+2*1+3*1+4*1=10。这与卷积和结果z(0)=10一致。23.(1)X(z)=(2z+1)/(z^2-2z+1)=(2z+1)/[(z-1)^2]。分子最高次幂为z，分母最高次幂为z^2，且分子常数项为1，分母常数项为1。因此，x(n)是因果序列。(2)部分分式展开：X(z)=2z+1/(z-1)^2。设X(z)=A/(z-1)+B/(z-1)^2。A=lim(z->1)[(z-1)^2*X(z)]=lim(z->1)[(z-1)^2*(2z+1)/(z-1)^2]=lim(z->1)(2z+1)=3。B=lim(z->1)[d/dz{(z-1)^2*X(z)}]/[d/dz{(z-1)^2}]=lim(z->1)[d/dz{(2z+1)/(z-1)}]=lim(z->1)[(2(z-1)-(2z+1))/(z-1)^2]=lim(z->1)[2z-2-2z-1/(z-1)^2]=lim(z->1)[-3/(z-1)^2]=-3。所以X(z)=3/(z-1)-3/(z-1)^2。求反变换：x(n)=3Z^-1[1/(z-1)]-3Z^-1[1/(z-1)^2]。x(n)=3*δ(n-1)-3*n*δ(n-1)=(3-3n)*δ(n-1)。或者写成序列形式：x(n)={0,0,-3,-6,-9,...}(n≥1)。24.(1)双线性变换关系：Ω=2/T*tan(ω/2)。将ωp=0.2πrad/sample代入，Ωc=2/T*tan(0.2π/2)=2/T*tan(0.1π)。将ωs=0.3πrad/sample代入，Ωs=2/T*tan(0.3π/2)=2/T*tan(0.15π)。查表或计算得tan(0.1π)≈0.3249，tan(0.15π)≈0.5095。Ωc≈2/T*0.3249，Ωs≈2/T*0.5095。所需模拟滤波器的指标为：通带截止频率Ωc≈0.6498T，阻带截止频率Ωs≈1.019T，通带波纹δp=0.01，阻带波纹δs=0.001。使用模拟切比雪夫II型滤波器设计表格或公式，根据δp和δs查得通带阻带波纹参数ε=0.005。根据Ωc/Ωs≈0.6498/1.019≈0.6378，查得所需阶数N≈7。N通常取大于等于计算值的下一个整数，N=7。(2)归一化模拟切比雪夫II型滤波器（ChebyshevTypeII）的幅度平方响应为|Ha(jΩ)|^2=1/(1+(Ω/Ωc)^2N)或1/[1+(Ω/Ωs)^(2N)]。使用Ωs为截止频率的表达式更方便。|Ha(jΩ)|^2=1/[1+(Ω/Ωs)^(2N)]。代入Ωs≈1.019T，N=7，得到|Ha(jΩ)|^2=1/[1+((Ω)/(1.019T))^(14)]。归一化意味着Ωc=1。Ha(s)是Ha(jΩ)的逆拉普拉斯变换。Ha(s)=L^-1{1/[1+((s/(2/T))^2)*(1.019T)^14/(2/T)^14]}=L^-1{1/[1+(s^2T^2)*(1.019)^14*(1/4)^7}]=L^-1{1/[1+(s^2*(2/T)^2)*((1.019T)/(2/T))^14/4^6}]=L^-1{1/[1+(s^2/(Ωc^2))*((Ωs/Ωc)^14/4^5)]}。其中Ωc=1，Ωs/Ωc≈1.019T/(0.6498T)≈1.573。Ha(s)=L^-1{1/[1+(s^2/(Ωc^2))*(1.573)^14/4^5]}。计算系数K=(1.573)^14/4^5≈0.0135。Ha(s)=L^-1{1/[1+(s^2/(Ωc^2))*K]}。这是一个7阶巴特沃斯型的模拟滤波器，其中Ωc^2=1/T^2。Ha(s)=L^-1{1/[1+K*(s^2/(1/T^2))]}=L^-1{1/[1+K*(s^2*T^2)]}。令ω=sT，得到Ha(s)=L^-1{1/[1+K*ω^2]}。Ha(s)=1/(T*sqrt(K)*sqrt(s^2+(1/(sqrt(K)T))^2))。使用K≈0.0135，可以写出最终表达式。Ha(s)=1/(T*sqrt(0.0135)*sqrt(s^2+(1/(sqrt(0.0135)T))^2))。或者保留系数K：Ha(s)=1/(T*sqrt(K)*sqrt(s^2+(1/(sqrt(K)T))^2))。(3)双线性变换：s=(2/T)*(1-z^-1)/(1+z^-1)。代入Ha(s)得到H(z)：H(z)=Ha(s)|_(s=(2/T)*(1-z^-1)/(1+z^-1))。H(z)=1/(T*sqrt(K)*sqr