甘肃省兰州市2026年中考数学真题附答案

甘肃省兰州市2026年中考数学真题一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．-2的相反数是（）A． B． C．-2 D．22．数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C． D．3．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A． B．C． D．5．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（）

A． B． C． D．6．在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（）A．2 B．3 C．5 D．77．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62文；买5斗上粟，4斗下粟共99文，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗文，下粟每斗文，则可列方程组为（）A． B．C． D．8．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于⊙O的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（）A． B． C． D．9．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（）A． B． C． D．10．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（）A． B． C． D．11．如图1，在菱形中，对角线与相交于点，是的中点，连接．动点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，如图2，关于的函数图象的最低点是点，则的长是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12．若，则．13．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是．（只写一个）14．在中，对角线与相交于点，是等边三角形，，则的面积是．15．已知二次函数，下列结论正确的是．（填序号）①函数图象与轴的交点坐标是；②函数图象的对称轴是直线；③当时，随的增大而增大；④当时，函数的最大值是10．三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：．17．先化简，再求值：，其中x=2．18．取哪些整数值时，不等式和都成立？19．（1）初步探究：能被67整除吗？请你说明理由．（2）迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？20．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数与反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，．（1）求反比例函数的表达式；（2）求线段的长．21．问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周．（1）问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周：①作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：▲（2）拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成．22．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，．23．近年来，我国加快推动能源绿色低碳转型，持续提高新能源供给比重，推进化石能源安全可靠有序替代，着力构建新型电力系统，建设能源强国．我国清洁能源（水电、核电、风电、太阳能）发电规模实现历史性跃升，能源结构转型成效显著．某综合实践研究小组根据我国相关部门公布的规模工业发电量的数据进行整理、描述与分析，给出部分数据信息：信息一：2016—2025年火电、清洁能源及太阳能年度发电量统计图信息二：2024年1—12月清洁能源月度发电量的中位数是2513；2025年1—12月清洁能源月度发电量从小到大排序，前四个数据为：2228，2299，2447，2558．信息三：2025年火电、清洁能源月度发电量统计图请根据以上信息，解答下列问题：（1）2016—2025年，清洁能源年度发电量的变化趋势：．（2）下列结论正确的是．（填序号）①2025年，第二季度火电和清洁能源月度发电量都持续增长；②清洁能源月度发电量2025年有9个月超出2024年的中位数；③太阳能年度发电量2021—2025年比2016—2020年增长快．（3）结合以上信息，请你谈谈对我国未来能源发展趋势的看法．24．如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．25．如图1，在平面直角坐标系中，点，．给出如下定义：对于线段及外一点，若线段上存在两点，，满足且，则称点为线段的“等腰直角点”．（1）已知点是线段的“等腰直角点”，求的长；（2）当时，求线段的“等腰直角点”的坐标；（3）当时，直线上存在线段的“等腰直角点”，求的取值范围；（4）如图2，已知正方形的四个顶点为，，，．若正方形的边上存在线段的“等腰直角点”，求长的取值范围．26．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系．（1）【建立模型】同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题．（2）【模型应用】小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由．（3）【模型迁移】小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论．

答案1．【答案】D【解析】【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变-2前面的符号，即可得-2的相反数，再与每个选项比较得出答案。

【解答】由相反数的意义得，-2的相反数是2，

故选：D．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．【答案】C【解析】【解答】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C、图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；故答案为：C.

【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与自身重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.3．【答案】A【解析】【解答】解：，(内错角相等，两直线平行)，，(两直线平行，同位角相等)，，，故答案为：A.

【分析】由得到，利用平行线同位角相等，得解答即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；B、，故B选项错误；C、，故C选项错误；D、，故D选项正确；故答案为：D.

【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方法则进行判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：因为绕点逆时针旋转得到，

根据旋转的性质，，，，，，。故答案为：.

【分析】根据旋转的性质和角的和差解答即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：k=7-5=2，故答案为：A.

【分析】根据题意“在式子y=kx+b中，x每增加1，kx增加k，b没变，因此y也增加k，判定即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意得：，故答案为：A.

【分析】设上粟每斗文，下粟每斗文，根据“买2斗上粟，3斗下粟共62文；买5斗上粟，4斗下粟共99文”列方程组解答即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：连接AI，LD，∵∠EAD=∠IEF=45°，∴IE∥AD，∵四边形IJKL是正方形，∴∠EIF=90°，∴△EIF是等腰直角三角形，∵四边形ABCD、四边形EFGH是正方形，∴∠BAD=∠AED=∠AFB=90°，AD=AB，∵∠EAD=45°，∴∠BAF=180°-90°-45°=45°，∴∠BAF=∠EAD，∴△EAD≌△FAB(AAS)，∴AE=AF，∵△EIF是等腰直角三角形，∴AI⊥EF，∵DE⊥AE，∴DE∥AI，∵IE∥AD，∴四边形ADEI是平行四边形，∴IE=AD，同理：EL=AD，

∴正方形ABCD与正方形IJKL的相似比是AD：IL=1：2.故答案为：B.

【分析】根据正方形的性质，根据SAS得到△EAD≌△FAB，即可得到AE=AF，由等腰三角形的性质得到AI⊥EF，得到DE∥AI，进而得到四边形ADEI是平行四边形，得到IE=AD，同理可得EL=AD，求出得到两正方形的相似比即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：当S=440时，解得：(舍)，∴行驶时间是22s，故答案为：C.

【分析】将S=440代入，得到关于t的一元二次方程，求出t的值即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：解：从“我爱兰州”四个字中随机选取2个字，所有都可能出现的结果为：共有12中都可能出现的结果，其中能组成“兰州”的有2中，所以小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“兰州”一词的概率是故答案为：C.

【分析】用树状图表示从“我爱兰州”四个字中随机选取2个字，所有都可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可.11．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，当时，取最小值为1，

，

，

是的中点，

是的中点，则为的中位线，

.

结合图象可得，，则，

，

菱形的边长为.

是的中点，，

.故答案为：B.

【分析】依据题意，由当时，取最小值为1，结合图象可得，，则，然后根据菱形的性质进行计算可以得解.12．【答案】4【解析】【解答】解：因为，

.故答案为：4.

【分析】提取公因式2分解因式，然后整体代入计算即可.13．【答案】∠B=∠E(答案不唯一)【解析】【解答】解：因为，，在和中，

，要使，需添加的一个条件是(答案不唯一).故答案为：(答案不唯一).

【分析】由全等三角形的判定方法解答即可.14．【答案】【解析】【解答】解：如图，∵△COD是等边三角形，∴OC=OD，∠BDC=60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，

故答案为：

【分析】根据等边三角形的性质得出四边形ABCD是矩形，然后根据勾股定理求出BC长，再根据矩形的面积公式计算即可.15．【答案】①②④【解析】【解答】解：①当时，，函数图象与轴的交点坐标是，故①正确；②，函数图象的对称轴是直线，故②正确；③，当时，随的增大而减小，故③错误；④当时，函数的最大值是10，故④正确；故答案为：①②④.

【分析】①将代入计算即可；②求出二次函数顶点式，得出函数的对称轴；③根据和对称轴进行判断；④根据顶点式判断.16．【答案】解：

【解析】【分析】利用乘法分配律展开，然后运算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可.17．【答案】解：原式=，=，将x=2代入得：原式=．【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．18．【答案】解：∵3x+4>-2，∴3x>-6，∴x>-2，∵4(x-0.5)<0.5x+1.5，∴4x-2<0.5x+1.5，∴3.5x<3.5，∴x<1，的解集为-2<x<1，∴整数解为：-1，0，即x取-1，0时，不等式3x+4>-2和4(x-0.5)<0.5x+1.5都成立.【解析】【分析】先分别解两个不等式求出解集，然后根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出公共解集，求出整数解即可.19．【答案】（1）解：能被67整除，理由如下：=66×(66+1)×(66-1)=66×67×65，能被67整除（2）解：=n(n+1)(n-1)，∴n为大于1的整数时，n-1、n、n+1是三个连续的整数，∴当n为大于1的整数时，能被三个连续的整数整除.【解析】【分析】（1）因式分解为66×67×65，即可得出答案；（2）因式分解为n(n+1)(n-1)，即可得出结果.20．【答案】（1）解：由题知，因为一次函数y=-x+b的图象是由y=ax的图象向上平移l个单位得到，所以一次函数的解析式为y=-x+1.因为BC⊥y轴且BC=1，则将x=-1代入y=-x+1得，y=2，所以点B坐标为(-1，2)，将点B(-1，2)代入得，k=-1×2=-2，所以反比例函数的表达式为（2）解：因为BC为△ADE的中位线，所以DE=2BC=2且DE⊥y轴.将x=-2代入y=-x+1得，y=3，所以点D坐标为(-2，3).将y=3代入得，所以点F坐标为所以【解析】【分析】（1）利用平移求出一次函数的解析式，再求出点B的坐标，最后将点B的坐标代入反比例函数解析式计算即可；

（2）根据三角形的中位线的定制求出DE长，即可得到点D的坐标，进而求出点F的坐标，计算DF长即可.21．【答案】（1）解：作图如图，作法提示：两个直角尺子直角顶点重合，直角边共线即可；则每条弧所对的圆周角均为故四条弧相等，即∴点A，B，C，D将⊙O四等分.故答案为：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.（2）解：如图，点A、B、C、D、E、F、G、H将⊙O八等分.【解析】【分析】(1)依据题意作图即可得解；

(2)作的角平分线并反向延长，则故点A、B、C、D、E、F、G、H将⊙O八等分.22．【答案】解：设AG=xm.在Rt△AFG中，∠AFG=35.9°，∴在Rt△AEG中，∠AEG=20°，由题意：EF=CD=200，且EG-FG=EF，x=144，已知BG=1.5m，AB=AG+BG=144+1.5=145.5m，答：烽火台距离地面高度AB为145.5米.【解析】【分析】测角仪高度都是1.5m，所以BG=1.5，只需要先求出上方AG；两个直角三角形共用直角边AG，水平距离差等于向前走的200m；利用正切表示两段水平长度，列方程解出AG；4.AB=AG+BG得到总高度.23．【答案】（1）逐年增长（2）①②③（3）解：我国清洁能源发电量持续上涨，太阳能等新能源发展速度很快，未来会继续优化能源结构，降低火电占比，大力发展清洁能源，绿色低碳发电占比不断提高，推动能源绿色可持续发展.【解析】【解答】解：(1)2016-2025年，清洁能源年度发电量的变化趋势：逐年增长.故答案为：逐年增长.(2)①第二季度是4、5、6月，火电：4月4864，5月5021，6月5369，火电持续增长；清洁能源：4月、5月、6月柱子高度逐项增高，清洁能源是持续增长，故①正确；②2025排序前4个：2228，2299，2447，2558，中位数2513，前3个(2228、2299、2447)小于2513，第4个2558>2513，后面8个都更大，大于2513的月份的个数为12-3=9(个)，故②正确；③2016-2020：662→1067→1777→2245→2609，增长幅度小；2021-2025：3258→4273→5842→8390→11732，每年增量明显变大，增长更快，故③正确.故答案为：①②③.

【分析】（1）根据信息一的统计图分析即可；

（2）根据信息三统计图中第二季度的数据分析可判断①；根据2024年中位数与2025年从小到大排序后的前四个数据比较可判断②；根据太阳能年度发电量数据可判断③解答即可；

（3）结合三个信息中数据体现的特征解答即可．24．【答案】（1）证明：连接OC，∵BD是⊙O的切线，∴直径AB⊥BD，∴∠EBD=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC，∵∠BDE=2∠BAC，∴∠BDE=∠BOC，∵∠BDE+∠E=90°，∴∠BOC+∠E=90°，∴∠OCE=180°-90°=90°，∴半径OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵CD切圆于C，DB切圆于B，

设⊙O的半径是r，则OB=OC=r，

由勾股定理得到：

∴⊙O的半径为【解析】【分析】(1)连接OC，由切线的性质定理得到由三角形的外角性质推出.得到推出求出得到半径(即可证明CE是⊙O的切线；

(2)由切线长定理推出BD=CD=2，由勾股定理求出B设⊙O的半径是r，由勾股定理得到求出即可得到⊙O的半径长.25．【答案】（1）解：如图，过P作于点Q，由题可知为等腰直角三角形，则

（2）解：由题可知为等腰直角三角形，∴∵O(0，0)，C(4，0)，

∴AB与OC重合，∴P(2，2)或((2，-2)；（3）解：如图，当时，得到的△APB与(1)中的△APB全等，将(1)中的，沿x轴向左平移至△OP1D处，此时点A与点O重合，将(1)中的沿x轴向右平移至△DP2C处，此时点B与点C重合，由图可知，若直线上存在线段OC的“等腰直角点”，直线与y轴的交点应在线段EF上，当直线过点.时，解得当直线过点.时，解得

同理，由对称性知，点当直线过点时，解得当直线过点时，，解得

综上所述，或（4）解：如图，过点O作交EF于点.过点C作交GF于点.延长GF交x轴于点M，延长EF交x轴于点D，设代入E(1，2)，F(2，1)，有解得

令y=0，得-x+3=0，解得x=3，即D(3，0)；设代入G(3，2)，F(2，1)，有，解得

令y=0，得x-1=0，解得x=1，即M(1，0)；

可以发现，此时的，即为(1)中的△PAB，点F为线段OC的“等腰直角点”，且这个点是正方形EFGH的