专题04 排列组合与二项式定理（二大考点73题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题04排列组合与二项式定理（二大考点，73题）考点分类五年考情（2017-2026）命题规律考点01排列组合2026全国一卷、2026上海卷、2026天津卷、2025全国一卷、2025上海卷、2025天津卷、2024上海卷、2024天津卷、2023天津卷、2023上海卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2022天津卷、2021全国乙卷、2018全国Ⅲ卷、2017山东卷、2017江苏卷题型以选择题、填空题为主，整体难度中等，是高考高频考点，常出现在试卷中前部。核心考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，常见题型有排队问题、分组分配问题、元素相邻/不相邻问题、定序问题等。3.命题注重对分类讨论思想的考查，常结合实际生活情境出题，部分题目会结合概率知识综合考查，区分度适中。考点02二项式定理2026全国二卷、2026上海卷、2025北京卷、2025天津卷、2025全国二卷、2025上海卷、2024新课标Ⅰ卷、2024新课标Ⅱ卷、2024全国甲卷、2024北京卷、2023北京卷、2023全国甲卷、2023全国乙卷、2023新课标Ⅰ卷、2023新课标Ⅱ卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2022全国甲卷、2022全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2021新高考全国Ⅱ卷、2021浙江卷、2021天津卷、2021北京卷、2021全国甲卷、2021全国乙卷、2020山东卷、2020全国Ⅰ卷、2020全国Ⅱ卷、2020全国Ⅲ卷、2020北京卷、2020浙江卷、2019全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、2019全国Ⅲ卷、2019北京卷、2019天津卷、2019上海卷、2018全国Ⅱ卷、2018浙江卷、2018天津卷、2018北京卷、2017全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ卷、2017浙江卷、2017天津卷、2017山东卷、2017北京卷题型以选择题、填空题为主，是高考必考基础题型，难度偏低，送分属性强，常出现在试卷前5题。核心考查二项展开式的通项公式，常见考点有求指定项的系数、二项式系数、常数项、有理项等。3.命题形式灵活，部分题目会结合赋值法求系数和、差，也会与不等式、复数等知识简单结合，整体侧重对公式的理解与基础运算能力的考查。考点01排列组合（2026·全国二卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（

）A．10种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】C【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可.【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组，安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在B组.若丙在A组，丁在B组：此时A组已有{甲,乙,丙}，还差1人；B组已有{丁}，还差3人，则从剩余4人中选1人进A组，方案数为.若丁在A组，丙在B组：同理，方案数为.所以当甲、乙在A组时，方案数为种.情况2：甲、乙两人都在B小组，甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为，所以当甲、乙在B组时，方案数为种.故所有分配方案共有种.（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，出场次序共有24种，其中符合题意的出场次序共有8种，故所求概率；解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种；当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，所求概率为.故选：C（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B.（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】C【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法所以，不同的安排方法共有种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.（2020·山东·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（

）A．120种 B．90种C．60种 D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.（2020·全国II卷·高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12，若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足从开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．∴；；；；．原位小三和弦满足：．∴；；；；．故个数之和为10，故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．（2019·全国I卷·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．（2017·全国II卷·高考真题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D.（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.【答案】6【分析】结合组合知识求解即可.【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，则一共有种选法.故答案为：6.（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．【答案】288【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法.故答案为：288（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．【答案】329【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可.【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数.先研究集合中无重复数字的三位偶数；（1）若个位为0，这样的偶数有个；（2）若个位不为0，这样的偶数有个；所以集合元素个数最大值为个．故答案为：329（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．【答案】24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法；每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：，，，，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．【答案】9【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解.【详解】因为空间中有三个点，且，不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；综上所述：总共有9种情况.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种.故答案为：64.（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________．【答案】/0.5【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率，故答案为：（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；【答案】【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为＝＝，故答案为：．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】.【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】/0.3【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合________A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【答案】【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可.【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，的组合是不符题意的，∴,故答案为：23.（2020·上海·高考真题）从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况.【答案】180【分析】先从人中选出4人，再考虑限制条件，进行计算即可.【详解】按照先选再排的方法可知共有种方法.故答案为：180【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题.（2020·全国II卷·高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（2019·上海·高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.（2018·全国I卷·高考真题）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．故答案为：.［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．故答案为：.【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．（2017·天津·高考真题）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【详解】【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.考点02二项式定理（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】的二项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：A.（2023·北京·高考真题）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.【详解】对于，由二项展开式的通项得，令解得，则所求系数为，故选：D（2022·北京·高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2020·全国I卷·高考真题）的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.（2019·全国III卷·高考真题）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x3的系数为，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．（2018·全国III卷·高考真题）的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【详解】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．（2017·全国III卷·高考真题）(+)(2-)5的展开式中33的系数为A．-80 B．-40 C．40 D．80【答案】C【详解】，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.（2017·全国I卷·高考真题）展开式中的系数为A． B．C． D．【答案】C【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，故选：C．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________．【答案】【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数.【详解】由题意，在中，通项，当即时，，∴展开式中的系数为.（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________．【答案】【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解.【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，当时，，因此的系数为.（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.【答案】【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故答案为：.（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．【答案】【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.【详解】令，则，又，故，令，则，令，则，故故答案为：.（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________．【答案】【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.【详解】展开式的通项公式为，当时，，即展开式中的系数为.故答案为：（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________．【答案】【分析】利用通项公式求解可得.【详解】由通项公式，令，得，可得项的系数为.故答案为：.（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．【答案】1【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解.【详解】展开式的通项为，令解得，∴．∴．故答案为：1（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．【答案】10【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，所以的展开式项的系数为.故答案为：10（2024·上海·高考真题）展开式中的系数为______.【答案】15【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.【详解】展开式中令的项为，所以展开式中的系数为15.故答案为：15（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______．【答案】5【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.【详解】由题展开式通项公式为，且，设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.故答案为：5.（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______．【答案】20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为的展开式的通项为，令，可得，所以常数项为.故答案为：20.（2023·上海·高考真题）已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是_____________．【答案】49【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，即可根据为奇数求解.【详解】由题设，左边的通项公式为，；所以，由题设得，因为，要使得成立，则为奇数，即为奇数，且恒成立，则等价为，又是正奇数，故的最大值为49，故答案为：49（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________．【答案】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.（2023·上海·高考真题）设，则________________．【答案】17【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和的系数即可.【详解】二项式展开式的通项为，当，即时，，当，即时，，所以，故答案为：17（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．【答案】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．【详解】含的项为：，故；令，即，令，即，∴，故答案为：；．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-28（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________【答案】【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中含项的系数为.故答案为：.（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.【答案】;.【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】，，所以，，所以.故答案为：.（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为______.【答案】【分析】根据已知条件求出的值，利用二项式定理可求得的系数.【详解】因为的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则，故的二项展开式的通项为，由可得，故的系数为.故答案为：.（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．（2020·浙江·高考真题）设，则________；________．【答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】的通项为，令，则，故；.故答案为：；.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.（2020·全国III卷·高考真题）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数