专题09 直线与圆、圆锥曲线 2026年高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题09直线与圆、圆锥曲线答案版考点01直线与圆、圆与圆1．BCD2．BC3．ABD4．/0.65．考点02椭圆1．2．3．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解；（2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，根据列出表达式即可求解.【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率，则，解得，，因此椭圆方程为.（2）解法一：设，点，点，其中，联立直线与椭圆方程，得，由韦达定理得，由于两点在椭圆上，关于原点对称，所以点，且，（i）

由面积公式，，又因为是线段的中点，所以，所以，，由于，得，即，令，由与，得，代入，得，解得，所以，所以直线的方程为.（ii）直线的斜率为，于是，当且仅当时取等号，故的最小值为.解法二：（i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，

设点，点，且，根据椭圆的中心对称性可知，点，联立直线与椭圆方程，得，化简得，由韦达定理可得，因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点，因此，所以，由于，所以，，，所以，即，由于，所以简化为，代入韦达定理，得，则，化简得，由于，解得，所以直线的方程为，即.（ii）由题意，即为直线与直线的夹角，直线即直线，方程为，点，点，点，直线的斜率，直线的斜率，由于在直线上，有，则，代入，则，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，因此，即，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.4．【答案】(1)(2)（i）的方程为；（ii），当时，轨迹无中心点；当时，有中心点；当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点，当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点.【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率；（2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程；（ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状.【详解】（1）设椭圆的右焦点为，其中，那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得，即，所以，由于截线段长为，解得，故，离心率.（2）(i)

方法一：由(1)知椭圆方程为，由于点满足，且，过作轴的垂线，交轴于点，那么当时，点，点与点重合；当时，直线方程为：，直线方程为：，即联立，解得即点，设，则由，代入椭圆方程得，即两边乘以得整理得，把点代入，仍然成立，故轨迹的方程为；方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率；设直线方程为，，那么点，由于轴，则，由于点三点共线，则，因为点在直线上，所以，，把代入椭圆方程：，得，即，整理化简，得，故轨迹的方程为；(ii)由（i）得轨迹的方程为，当即时，轨迹的方程为，为抛物线去掉与x轴交点，无中心点；当即且0时，化简轨迹的方程为，将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即，所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点，当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点.综上，当时，轨迹无中心点；当时，有中心点；当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点，当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点.5．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得；（2）设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点、点坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解.【详解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为；（2）由题意可得，设、，由关于直线对称的点为，则，联立，消去得：，由，故在椭圆内部，故恒成立，有、，则，，，联立，则，即，整理得，即，点到直线的距离，点到直线的距离，又，则，，故，即有，若，则，无解，不符；则，有，解得；故.6．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解；（2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可.【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，由于，所以，将代入椭圆方程，得，即，解得，即，由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，，所以圆的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示，则圆心到直线的距离，解得，椭圆上顶点，分两种情况讨论：①当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，则当时，，当时，，由于，所以，则，，此时；②当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，当时，，当时，，由于，所以，则，，此时.综上所述，的值为.考点03双曲线1．B2．B3．D4．5．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解；（2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案；（3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案.【详解】（1）对于双曲线，，，，所以双曲线离心率.（2）因为点是的中点，所以点，代入双曲线方程，得，解得，又点在双曲线的右支上，所以，即，所以，所以直线的斜率为.（3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意；当直线斜率不为时，设直线方程为，设，，则，联立，整理得，（*）且，，，因为，，所以，，所以，即，即，整理得，即，代入（*）中得，又，所以，又因为，即，所以且，综上，的取值范围为.6．【答案】(1)(2)(3)存在实数符合题意，此时的取值范围为【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；（2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解；（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解.【详解】（1）由题意可知：，，则，，渐近线方程为，即，所以点到双曲线渐近线的距离为.（2）解法一：因为，由余弦定理可得，整理得：，因点是双曲线上一点，则，可得，代入可得，，则，所以的面积为；解法二：设，则，即，可得，，因为，即，解得，所以的面积为；解法三：因为，即，由中线长定理可知：，因为，可得，代入可得，，可得，解得，则，，所以的面积为.（3）不妨取，，则直线的斜率，依题意，设直线：，则，设直线：，则，，，联立方程，消去x可得，则，，可得，可知函数在内单调递增，则，且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故，因，所以；同理可得：可知在内单调递减，则，且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故；由题意可知：，可得，解得，所以存在实数符合题意，此时的取值范围为.考点04抛物线1．D2．3．②④一、单选题1．B2．C3．B4．A5．C6．C7．C8．D二、多选题9．ABD10．ABCD11．ACD12．ABC13．BCD三、填空题14．15．或.16．②③四、解答题17．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距；（2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可.【详解】（1）由题意得：，又，可得，，则双曲线的焦距为．（2）双曲线的方程为，右焦点坐标为，设直线的斜率为．直线的方程为：，联立，整理得，因设，则．18．【答案】(1)(2)由题意知．设直线，与双曲线方程联立得．，设、，则，故直线、的斜率之积为．(3)存在，【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可.（2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可.（3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c．由题意知．故，所以，双曲线C的方程为．（2）略（3）由题意知，得．设，则．即．又，即，解得．所以，因此在x轴上存在定点，使得恒成立．19．【答案】(1)(2)直线过定点，证明见解析【分析】（1）由抛物线方程和双曲线方程分别可焦点坐标，进而可得，，再由椭圆的性质可得，因此可得椭圆方程；（2）设交点坐标，再联立直线的方程与椭圆的方程消去，由根与系数关系及可得，进而可得直线过定点.【详解】（1）由抛物线，得焦点，因为椭圆过抛物线的焦点，所以.由双曲线，得焦点，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以.由椭圆的性质，，∴椭圆的方程为.（2）设，，联立，消去得，，，，由已知，所以，所以，则，，，解得，满足，∴直线的方程为，故直线恒过定点20．【答案】(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）由条件可得，结合椭圆的定义判断轨迹形状，位置，结合椭圆方法求结论；（2）（i）设直线方程为，，联立方程组求，求直线的方程和的坐标，（ii）结合（i）利用表示，利用换元法及二次函数性质求其范围.【详解】（1）因为是圆上任意一点，点为线段的垂直平分线与半径的交点，则,故，又因为，则所以的轨迹是以为两焦点，长轴长为4的椭圆，即,故的轨迹方程为.（2）（i）由已知直线与直线不重合，设过的直线方程为，，联立，化简得，显然，且，又因为，则直线的方程为，令，得，将代入上式，可得，所以点的坐标为.（ii）由（i）得，同理得，，则将代入，化简得，，故令，则，，由，则，当时，，当时，，所以的取值范围为.21．【答案】(1)，(2)最大值．(3)5【分析】（1）由半圆的半径求解，，即可求解半椭圆的方程与离心率；（2）设点A在x轴下方，点B在x轴上方，直线与椭圆联立，再由点S在半圆上以及可得的面积最大即可求解；（3）由题意知，，再由，由对称性求解所截得弦的长，直线与椭圆联立，由韦达定理的代入求解即可.【详解】（1）设半椭圆的方程为（，且）．由半圆的半径为1，得，，