2.5.2分式方程的应用-教学教学课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册2.5.2分式方程的应用专项练习（全文1231字）##核心考点掌握列分式方程解应用题的完整步骤；会从行程、工程、销售、工作效率等经典题型中寻找等量关系；能正确设未知数、列出分式方程；解完方程要进行双重检验：既要检验是不是分式方程的根\(x_1=10，x_2=-3\)还要检验解是否符合实际题意；区分分式方程应用题和一元一次整式方程应用题。答题要求：列分式方程解应用题五步：审、设、列、解、验、答；检验分两步：①代入最简公分母\(x_1=10，x_2=-3\)判断是否为增根；②看结果是否符合现实\(x_1=10，x_2=-3\)人数、时间、速度不能为负数。##一、知识梳理1.解题步骤①审题：读懂题意\(x_1=10，x_2=-3\)找出题目中的等量关系；②设未知数：直接设或者间接设\(x_1=10，x_2=-3\)注意带单位；③列方程：根据等量关系列出分式方程；④解方程：去分母化为一元一次方程求解；⑤双重检验：先检验是否为增根\(x_1=10，x_2=-3\)再检验结果是否符合实际意义；⑥写出答案\(x_1=10，x_2=-3\)带上单位。2.常见模型-工程问题：工作总量=工作效率×工作时间\(x_1=10，x_2=-3\)常设总工程量为1；-行程问题：路程=速度×时间；-销售问题：单价、总价、数量关系：数量=总价÷单价；3.重要提醒应用题不能省略检验；求出的根即使不是增根\(x_1=10，x_2=-3\)也有可能不符合现实（时间、人数不能负数）\(x_1=10，x_2=-3\)要\(\boldsymbol{舍去}\)；单位要统一；不要漏写答句。##二、选择题（每题5分\(x_1=10，x_2=-3\)共30分）1.甲单独完成一项工程需要10天\(x_1=10，x_2=-3\)乙单独完成需要15天\(x_1=10，x_2=-3\)两人合作$x$天完成\(x_1=10，x_2=-3\)下列方程正确的是（）A.$\(10x+15x=1\)$B.$\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}=\dfrac1x$C.$\dfrac{x}{10}+\dfrac{x}{15}=1$D.$\(10+15=x\)$2.一段路程长30千米\(x_1=10，x_2=-3\)小明骑车速度为$x\\text{km/h}$\(x_1=10，x_2=-3\)提速$2\\text{km/h}$后\(x_1=10，x_2=-3\)时间减少半小时\(x_1=10，x_2=-3\)方程为（）A.$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x+2}=\dfrac12$B.$\dfrac{30}{x+2}-\dfrac{30}{x}=\dfrac12$C.$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x-2}=\dfrac12$D.$\dfrac{30}{x-2}-\dfrac{30}{x}=\dfrac12$3.用300元买笔记本\(x_1=10，x_2=-3\)打折后每本便宜2元\(x_1=10，x_2=-3\)多买5本。设原价每本$x$元\(x_1=10，x_2=-3\)方程是（）A.$\dfrac{300}{x-2}-\dfrac{300}{x}=5$B.$\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x-2}=5$C.$\dfrac{300}{x+2}-\dfrac{300}{x}=5$D.$\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x+2}=5$4.某工厂加工零件\(x_1=10，x_2=-3\)原计划每天加工$x$个\(x_1=10，x_2=-3\)加工600个零件\(x_1=10，x_2=-3\)实际每天多加工20个\(x_1=10，x_2=-3\)提前1天完成\(x_1=10，x_2=-3\)则（）A.$\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{x+20}=1$B.$\dfrac{600}{x+20}-\dfrac{600}{x}=1$C.$\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{x-20}=1$D.$\dfrac{600}{x-20}-\dfrac{600}{x}=1$5.列分式方程应用题\(x_1=10，x_2=-3\)检验的要求是（）A.只需要检验是不是增根B.只需要看结果是不是正数C.既要检验是否为增根\(x_1=10，x_2=-3\)还要检验是否符合实际意义D.不需要检验6.甲、乙两人分别走30km\(x_1=10，x_2=-3\)甲每小时比乙多走1km\(x_1=10，x_2=-3\)比乙早到半小时\(x_1=10，x_2=-3\)设乙速度$x\\text{km/h}$\(x_1=10，x_2=-3\)方程（）A.$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x+1}=\dfrac12$B.$\dfrac{30}{x+1}-\dfrac{30}{x}=\dfrac12$C.$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x-1}=\dfrac12$D.$\dfrac{30}{x-1}-\dfrac{30}{x}=\dfrac12$##三、填空题（每题6分\(x_1=10，x_2=-3\)共30分）1.一项工程\(x_1=10，x_2=-3\)甲单独做需要$x$天完成\(x_1=10，x_2=-3\)则甲的工作效率为________。2.轮船顺水航行40km和逆水航行30km所用时间相同\(x_1=10，x_2=-3\)水流速度3km/h\(x_1=10，x_2=-3\)设轮船静水速度$x\\text{km/h}$\(x_1=10，x_2=-3\)列方程________。3.总价100元\(x_1=10，x_2=-3\)单价$x$元\(x_1=10，x_2=-3\)可以购买________件商品。4.某班捐款\(x_1=10，x_2=-3\)总额2400元\(x_1=10，x_2=-3\)实际人数比原计划多20人\(x_1=10，x_2=-3\)人均捐款减少4元\(x_1=10，x_2=-3\)设原计划人数$x$人\(x_1=10，x_2=-3\)方程：________。5.若分式方程应用题解出来是负数\(x_1=10，x_2=-3\)则该根应该________。##四、解答题（每题10分\(x_1=10，x_2=-3\)共40分）1.工程问题：一项工程\(x_1=10，x_2=-3\)甲单独做比乙单独做多5天完成。若两人合作\(x_1=10，x_2=-3\)6天可以完成。求乙单独完成这项工程需要多少天？2.行程问题：A、B两地相距120千米。一辆汽车从A开往B\(x_1=10，x_2=-3\)提速20km/h之后\(x_1=10，x_2=-3\)行驶时间缩短了1小时\(x_1=10，x_2=-3\)求汽车原来的速度。3.销售问题：学校用2000元购进一批图书\(x_1=10，x_2=-3\)第二次花同样2000元购书\(x_1=10，x_2=-3\)这次每本书价格是原价的1.25倍\(x_1=10，x_2=-3\)购书数量比第一次少20本\(x_1=10，x_2=-3\)求第一次图书单价。4.综合应用题：一艘轮船在静水中速度为20km/h\(x_1=10，x_2=-3\)顺水航行100km所用时间与逆水航行60km所用时间相等\(x_1=10，x_2=-3\)求水流速度。##五、参考答案与解析选择题：1.C；甲效率$\dfrac1{10}$\(x_1=10，x_2=-3\)乙效率$\dfrac1{15}$\(x_1=10，x_2=-3\)合作工作量相加等于1；2.A；原来时间减去提速后时间等于0.5小时；3.A；打折后数量减去原来数量等于5；4.A；原计划时间减实际时间=1；5.C；分式方程应用题双重检验；6.A；乙时间减去甲时间等于半小时。填空题：1.$\boldsymbol{\dfrac1x}$；2.$\boldsymbol{\dfrac{40}{x+3}=\dfrac{30}{x-3}}$；3.$\boldsymbol{\dfrac{100}{x}}$；4.$\boldsymbol{\dfrac{2400}{x}-\dfrac{2400}{x+20}=4}$；5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{舍去}\)}$。解答题：1.解：设乙单独完成需要$x$天\(x_1=10，x_2=-3\)则甲单独$\((x+5)\)$天。$\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{x+5}=1$\(x_1=10，x_2=-3\)两边乘$x\((x+5)\)$：$6\((x+5)\)+6x=x\((x+5)\)$$6x+30+6x=x^2+5x$\(x_1=10，x_2=-3\)$x^2-7x-30=0$\(x_1=10，x_2=-3\)$(x-10)(x+3)=0$\(x_1=10，x_2=-3\)解得$x_1=10\(x_1=10，x_2=-3\)x_2=-3$。检验：$\(x=10\)$时分母不为0；$x=-3$不符合实际\(\boldsymbol{舍去}\)。答：乙单独完成需要10天。2.解：设原速度为$x\\text{km/h}$\(x_1=10，x_2=-3\)$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+20}=1$。两边乘$\(x(x+20)\)$：$120(x+20)-120x=\(x(x+20)\)$$120x+2400-120x=x^2+20x$\(x_1=10，x_2=-3\)$x^2+20x-2400=0$\(x_1=10，x_2=-3\)解得$\(x=40\)$\(x_1=10，x_2=-3\)$x=-60$\(\boldsymbol{舍去}\)。检验：$\(x=40\)$不是增根\(x_1=10，x_2=-3\)符合题意。答：原来速度40千米每小时。3.解：设第一次单价$x$元\(x_1=10，x_2=-3\)$\dfrac{2000}{x}-\dfrac{2000}{\(1.25x\)}=20$。两边同乘$\(1.25x\)$：$2500-2000=25x$\(x_1=10，x_2=-3\)$\(500=25x\)$\(x_1=10，x_2=-3\)$\(x=20\)$。检验：$\(x=20\)$不是增根。答：第一次图书单价20元。4.解：设水流速度$x\\text{km/h}$\(x_1=10，x_2=-3\)顺水速度$\((20+x)\)$\(x_1=10，x_2=-3\)逆水$(20-x)$。$\dfrac{100}{20+x}=\dfrac{60}{20-x}$\(x_1=10，x_2=-3\)交叉相乘：$100(20-x)=60\((20+x)\)$$2000-100x=1200+60x$\(x_1=10，x_2=-3\)$\(160x=800\)$\(x_1=10，x_2=-3\)$\(x=5\)$。检验：$\(x=5\)$不是增根。答：水流速度5km/h。##六、易错点总结分式方程应用题有四类高频丢分点。第一\(x_1=10，x_2=-3\)等量关系写反\(x_1=10，x_2=-3\)行程和工程题目\(x_1=10，x_2=-3\)谁的时间更长、谁的数量更多\(x_1=10，x_2=-3\)列方程时前后颠倒\(x_1=10，x_2=-3\)是最常见错误。第二\(x_1=10，x_2=-3\)只解方程\(x_1=10，x_2=-3\)缺少双重检验\(x_1=10，x_2=-3\)只检验增根\(x_1=10，x_2=-3\)忽略结果要符合现实\(x_1=10，x_2=-3\)负数直接保留写进答案。第三\(x_1=10，x_2=-3\)单位不统一\(x_1=10，x_2=-3\)题目给半小时\(x_1=10，x_2=-3\)直接用0.5还是$\dfrac12$\(x_1=10，x_2=-3\)不统一单位直接列式。第四\(x_1=10，x_2=-3\)答题格式扣分\(x_1=10，x_2=-3\)不写设未知数（不带单位）、不写答句\(x_1=10，x_2=-3\)这是考试书写扣分点。分式方程应用题是本章的压轴考点\(x_1=10，x_2=-3\)也是中考应用题高频题型。解题固定流程：分清工程/行程/销售模型；找准等量关系；设未知数带单位；列分式方程；解方程；双重检验；规范写答句。做完可以把答案带回原题\(x_1=10，x_2=-3\)代入验证数量关系是否成立。本章分式内容到此结束\(x_1=10，x_2=-3\)下一章节：**第3章三角形3.1.1三角形的边**\(x_1=10，x_2=-3\)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册2.5.2分式方程的应用授课教师：.

班

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8年级（

）班.

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2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第2章分式1.理解题目中的数量关系正确列出分式方程；（难点）2.在不同的实际问题中能恰当设出未知数，列出分式方程并求解，从而解决实际问题.（重点）#2.5.2分式方程的应用（七年级下册）##一、教学目标1.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并求解；2.掌握分式方程应用题的解题步骤，能检验解的合理性（包括是否符合实际意义和分式有意义）；3.结合实际情境（如爱国主题活动、生活实际等），体会分式方程在解决工程问题、行程问题、浓度问题等中的应用；4.培养分析问题、解决问题的能力，感受数学与生活的联系，增强应用意识和爱国情怀。##二、教学重难点-**重点**：根据实际问题列出分式方程，掌握解题步骤；-**难点**：找准实际问题中的等量关系，检验解的合理性（既要验根，也要符合实际情境）。##三、教学准备-课件（幻灯片逐页内容如下）；-预习任务单（提前布置学生复习分式方程的解法，回顾一元一次方程应用题的解题思路）。##四、教学过程（45分钟）###（一）复习导入，衔接新知（5分钟）####幻灯片1：标题页-标题：2.5.2分式方程的应用-副标题：找准等量关系·检验双重意义-教师备注：播放129运动主题海报制作花絮短视频（30秒），回顾上节课合作制作海报的分式方程问题，自然过渡到本节课的实际应用。####幻灯片2：复习回顾1.分式方程的解法步骤：去分母→解整式方程→验根→写结论；2.列方程解应用题的核心：找准等量关系；3.小练习：解分式方程$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$（答案：$x=3$，验根：$x=3$时公分母$x(x-1)=6≠0$，是原方程的解）；-学生活动：独立完成小练习，一名学生板演，教师强调验根的重要性，为应用题求解铺垫。####幻灯片3：情境导入-问题：为传承129运动精神，学校组织学生制作“爱国故事”手抄报，甲小组单独制作需10天完成，乙小组单独制作需15天完成。若甲小组先做2天，剩下的由两组合作完成，还需多少天才能完成全部手抄报？-教师提问：这是我们学过的什么类型问题？（工程问题）如何用分式方程解决？今天我们就来探究分式方程在实际问题中的应用。###（二）探究新知，例题解析（20分钟）####幻灯片4：工程问题——核心等量关系-工程问题基本公式：工作效率×工作时间=工作量（通常设总工作量为1）；-常见等量关系：1.各部分工作量之和=总工作量；2.合作工作效率=各单独工作效率之和；-教师强调：工程问题中，若未明确总工作量，可设总工作量为1，简化计算。####幻灯片5：例题1（工程问题）-例1：为纪念129运动，班级计划制作一批宣传展板，甲同学单独做需8小时完成，乙同学单独做需12小时完成。甲同学先做3小时后，因有其他任务，剩下的由乙同学单独完成，乙同学还需多少小时才能完成？-解题步骤：1.设未知数：设乙同学还需$x$小时完成；2.找等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量（1）；3.表示工作效率：甲的工作效率为$\frac{1}{8}$，乙的工作效率为$\frac{12}{1}$；4.列方程：$\frac{3}{8}+\frac{x}{12}=1$；5.解方程：

去分母（最简公分母24）：$3×3+2x=24$

化简：$9+2x=24$

移项：$2x=15$

解得：$x=7.5$；6.检验：-验根：将$x=7.5$代入最简公分母24≠0，分式有意义；-验实际意义：$x=7.5$小时是合理的工作时间，符合实际；7.写结论：乙同学还需7.5小时完成。-学生活动：跟随教师一步步分析，明确工程问题的解题逻辑，重点关注等量关系的寻找和双重检验。####幻灯片6：行程问题——核心等量关系-行程问题基本公式：速度=路程÷时间（$v=\frac{s}{t}$），变形：时间=路程÷速度（$t=\frac{s}{v}$）；-常见等量关系：1.相遇问题：路程和=总路程；2.追及问题：路程差=初始距离；3.同一路程：速度不同→时间不同（时间差/时间和为已知条件）；-教师强调：行程问题中，需明确路程、速度、时间三者的对应关系，避免混淆。####幻灯片7：例题2（行程问题）-例2：129运动纪念日当天，学校组织学生步行前往爱国主义教育基地参观，全程30千米。原计划每小时走4千米，实际每小时多走1千米，实际比原计划提前多少小时到达？-解题步骤：1.设未知数：设实际比原计划提前$x$小时到达；2.找等量关系：原计划时间-实际时间=提前时间（$x$）；3.表示时间：原计划时间为$\frac{30}{4}$小时，实际速度为$4+1=5$千米/小时，实际时间为$\frac{30}{5}$小时；4.列方程：$\frac{30}{4}-\frac{30}{5}=x$；5.解方程：

化简：$7.5-6=x$，解得$x=1.5$；6.检验：-验根：分母4和5不为0，分式有意义；-验实际意义：$x=1.5$小时是合理的时间差，符合实际；7.写结论：实际比原计划提前1.5小时到达。-教师提问：如果题目未直接问提前时间，而是问“实际用了多少小时”，该如何设未知数？（设实际用了$x$小时，则原计划用$x+1.5$小时，列方程$\frac{30}{x}=4+1$），引导学生灵活设未知数。####幻灯片8：浓度问题——核心等量关系-浓度问题基本公式：浓度=溶质质量÷溶液质量×100%，变形：溶质质量=溶液质量×浓度；-常见等量关系：1.稀释问题：溶质质量不变；2.混合问题：混合前溶质总质量=混合后溶质质量；-教师举例：将10克盐溶于90克水，浓度为$\frac{10}{10+90}×100\%=10\%$，帮助学生理解公式。####幻灯片9：例题3（浓度问题）-例3：为制作129运动主题纪念徽章，需要浓度为20%的酒精溶液清洗材料。现有浓度为15%的酒精溶液400克，需加入多少克浓度为30%的酒精溶液，才能配制成浓度为20%的酒精溶液？-解题步骤：1.设未知数：设需加入$x$克浓度为30%的酒精溶液；2.找等量关系：15%溶液的溶质质量+30%溶液的溶质质量=20%混合溶液的溶质质量；3.表示溶质质量：-15%溶液溶质：$400×15\%=60$克；-30%溶液溶质：$30\%x$克；-混合溶液总质量：$400+x$克，溶质：$(400+x)×20\%$克；4.列方程：$60+0.3x=0.2(400+x)$；5.解方程：

展开：$60+0.3x=80+0.2x$

移项：$0.3x-0.2x=80-60$

解得：$x=200$；6.检验：-验根：$x=200$是整式方程的解，代入原方程各分母（无分母，仅需检验实际意义）；-验实际意义：$x=200$克是合理的溶液质量，符合实际；7.写结论：需加入200克浓度为30%的酒精溶液。###（三）归纳步骤，规范解题（5分钟）####幻灯片10：分式方程应用题解题步骤1.**审**：审题，明确题目类型（工程、行程、浓度等），找出已知条件和所求问题；2.**设**：设未知数（直接设或间接设，注明单位）；3.**找**：找准等量关系（关键步骤，可借助列表、画图辅助分析）；4.**列**：根据等量关系列出分式方程；5.**解**：按照分式方程的解法求解（去分母→解整式方程→验根）；6.**验**：双重检验——①检验解是否使原分式方程有意义（公分母不为0）；②检验解是否符合实际情境（如时间、质量、长度等为正数）；7.**答**：写出完整的答语（注明单位）。####幻灯片11：易错点提醒1.等量关系找错（如工程问题混淆“工作量之和”与“效率之和”）；2.设未知数时未注明单位，或答语不完整；3.忘记双重检验（仅验根，忽略实际意义）；4.解方程时出现去分母漏乘、符号错误等问题。###（四）课堂练习，巩固提升（10分钟）####幻灯片12：基础题（必做）1.工程问题：某工程队修一条公路，单独修甲队需15天完成，乙队需10天完成。两队合作修若干天后，甲队因另有任务离开，剩下的由乙队单独修3天完成。两队合作了多少天？（答案：4.2天）2.行程问题：小明从家到学校，原计划骑自行车每小时行12千米，需要0.5小时到达。实际因自行车故障，步行前往，每小时行6千米，实际比原计划晚到多少小时？（答案：0.5小时）-学生活动：独立完成，两名学生板演，教师巡视纠错，重点检查等量关系是否正确、检验步骤是否完整。####幻灯片13：提高题（选做）1.商业问题：某商店销售129运动主题纪念笔，进价为每支3元，原售价为每支5元，每天可售出100支。若售价每降低0.5元，每天可多售出50支。为了每天获得150元的利润，售价应降低多少元？（提示：利润=（售价-进价）×销售量，答案：1元）2.综合问题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。若甲的速度每小时增加2千米，乙的速度不变，两人同时出发后2.5小时相遇。已知A、B两地相距60千米，求甲、乙两人原来的速度。（答案：甲10千米/小时，乙10千米/小时）-教师引导：第2题需通过相遇问题的路程关系列出两个方程，联立求解，培养学生综合分析能力。###（五）课堂小结，布置作业（5分钟）####幻灯片14：课堂小结1.知识梳理：-分式方程应用题的常见类型：工程问题、行程问题、浓度问题、商业问题等；-解题核心：找准等量关系，双重检验（验根+验实际意义）；-解题步骤：审→设→找→列→解→验→答。2.思想方法：数学建模思想（将实际问题转化为数学方程）、分类讨论思想（不同类型问题的等量关系）。####幻灯片15：作业布置1.基础作业：教材习题2.5第3、4、5题（写出完整解题步骤，包括双重检验）；2.拓展作业：结合129运动，设计一道分式方程应用题（类型不限），并写出解题过程，下节课分享交流；3.预习作业：复习本章内容，梳理分式、分式的运算、分式方程的解法及应用的知识框架。####幻灯片16：结束页-口号：用数学思维解决实际问题，用爱国情怀书写青春华章！-教师寄语：希望同学们能将所学知识运用到生活中，善于发现问题、分析问题、解决问题，同时传承129运动的爱国精神，努力成长为有理想、有本领、有担当的新时代少年！##五、教学反思1.本节课通过复习分式方程解法导入，衔接自然，再通过工程、行程、浓度三类常见问题的例题解析，让学生掌握不同类型应用题的等量关系和解题思路；2.结合129运动主题设计情境问题，既落实了爱国教育，又增强了问题的趣味性和实用性，符合七年级学生的认知特点；3.强调“双重检验”是本节课的重点，通过例题和练习反复强化，帮助学生养成严谨的解题习惯；4.需关注部分学生在找准等量关系时存在的困难，可通过画图、列表等辅助手段帮助学生分析，课后加强个性化辅导。02新知导入

02新知导入解分式方程的一般步骤：1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程3.解整式方程4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根5.将检验后的解写出来02新知导入1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系；2.设:设未知数；3.列:根据等量关系列一元一次方程；4.解:解这个方程；5.验:看是否是方程的解和是否符合题意；6.答:作答，注意单位和答案完整.列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？03新知探究思考用A，B两种型号的机器人搬运原料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200kg，且A型机器人搬运10000kg所用时间与B型机器人搬运8000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.等量关系：A型机器人搬运10000kg所用时间=B型机器人搬运8000kg所用时间（1）A型机器人每小时搬运质量=B型机器人每小时搬运质量+200kg（2）题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？1审03新知探究你会选择设什么为未知数？

2设你能将方程列出来吗？3列03新知探究4解你能将该分式方程解出来吗？

答：B型机器人每小时搬运原料800kg，A型机器人每小时搬运原料1000kg.5答03新知探究

规范书写

A

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［2024山东］为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天