5.4.2角平分线的性质定理的逆定理-教学教学课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册5.4.2角平分线的性质定理的逆定理专项练习（1321字）##知识点梳理角平分线性质定理的逆定理：**在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上**。几何语言：若点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则OP平分∠AOB。对比上一节性质定理：性质定理是“角平分线上的点⇒到两边距离相等”；逆定理是“角内部一点到两边距离相等⇒点在角平分线上”。二者互为互逆定理。使用逆定理有两个关键前提：①点必须在角的内部；②是到角两边的**垂线段长度**相等，普通斜线段相等不能判定。逆定理常用来证明角相等、证明射线是角平分线，结合全等、直角三角形、面积计算综合出题。解题时一定要写出两组垂直条件，不能直接由线段相等就判定角平分线。##一、填空题（每题4分，共20分）1.在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的________上。2.点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=5，PN=5，则OP是∠AOB的________。3.点M在△ABC内部，MD⊥AB，ME⊥BC，MD=ME，则点M在∠________的平分线上。4.在△ABC中，点P到AB、AC两边垂线段相等，则AP平分________。5.已知点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD，∠AOP=28°，则∠AOB=____°。##二、选择题（每题5分，共25分）1.下列条件，能判定OP平分∠AOB的是（）A.PA=PB，PA、PB为斜线段B.PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，P在∠AOB内部C.∠AOP=∠BOP，PM=PND.PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，P在∠AOB外部2.三角形内，到三角形三边距离相等的点是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线交点D.三边垂直平分线交点3.点P在∠AOB内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC=PD，则错误的是（）A.OP平分∠AOBB.∠CPO=∠DPOC.OC=ODD.PC=OP4.下列说法正确的是（）A.到角两边距离相等的点一定在角平分线上，无需考虑位置B.若PA=PB，则点P在∠AOB的角平分线上C.角平分线的逆定理需要同时满足垂直、距离相等、点在角内D.角平分线逆定理可以证明线段相等5.△ABC中，点P在内部，PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∠BAC=70°，则∠BAP=（）A.70°B.35°C.20°D.40°##三、解答题（每题10分，共30分）1.已知：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN。求证：OP平分∠AOB。2.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=DF。求证：AD平分∠BAC。3.已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于点P，PB=PC。求证：AP平分∠BAC。##四、综合应用题（25分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AC是对角线，BC=DC。求证：AC平分∠BAD。##参考答案与解析###一、填空题1.角平分线解析：逆定理原文。2.角平分线解析：角内部，垂线段相等，点在角平分线上。3.B解析：MD⊥AB，ME⊥BC，MD=ME，M在∠B平分线上。4.∠BAC解析：P到AB、AC垂线段相等，AP平分∠BAC。5.56解析：OP平分∠AOB，∠BOP=∠AOP=28°，∠AOB=56°。###二、选择题1.B解析：A无垂直；C已知角相等，不是逆定理；D点在角外部，不适用逆定理。2.C解析：三角形三条角平分线交于一点，这点到三边距离相等。3.D解析：PC=PD，△OPC≌△OPD，OC=OD，∠CPO=∠DPO，PC与OP不一定相等。4.C解析：A缺少“角内部”；B缺少垂直；D逆定理用来证角相等。5.B解析：PE=PF，PE⊥AB，PF⊥AC，AP平分∠BAC，∠BAP=35°。###三、解答题1.证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°。在Rt△OMP与Rt△ONP中$\begin{cases}OP=OP\\PM=PN\end{cases}$，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）。∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB。2.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°。∵DE=DF，D在∠BAC内部，由角平分线逆定理，AD平分∠BAC。3.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠PEB=∠PDC=90°。在△PEB和△PDC中$\begin{cases}∠PEB=∠PDC\\∠EPB=∠DPC\\PB=PC\end{cases}$，∴△PEB≌△PDC(AAS)，∴PE=PD。又PE⊥AB，PD⊥AC，P在∠BAC内部，由逆定理，AP平分∠BAC。###四、综合应用题证明：∵∠B=∠D=90°，∴CB⊥AB，CD⊥AD。在Rt△ABC和Rt△ADC中$\begin{cases}AC=AC\\BC=DC\end{cases}$，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。∴CB⊥AB，CD⊥AD，BC=DC，C在∠BAD内部，由逆定理，AC平分∠BAD。**易错小结**：逆定理三个条件缺一不可：①点在角内部；②两条垂线段；③垂线段长度相等。如果点在角外部，结论不成立；如果不是垂线段，仅仅斜线段相等，不能判定角平分线。区分性质定理与逆定理：性质：角平分线→垂线段相等；逆定理：垂线段相等+点在角内→角平分线。三角形中到三边距离相等的是三条角平分线交点；到三个顶点距离相等的是三边垂直平分线交点，极易混淆。证明题优先观察是否满足逆定理条件，满足可直接判定角平分线，简化证明，没有垂直条件，不能直接套用逆定理。（全文1321字）要不要我生成**空白无答案版本**，方便直接打印做题？湘教版（新教材）数学八年级上册5.4.2角平分线的性质定理的逆定理授课教师：.

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8年级（

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2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章直角三角形学习目标1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题.

3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC,AB，AC边上的点.若BE=CF，S∆BDE=S∆CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗?新知探究说一说新知探究思

考如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点.需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢?CM为∠ACD的平分线分析：根据条件需MN=EMAM为∠CAB的平分线根据条件需MN=FM已知EM=FM

需要添加一个什么条件?MN=EMMN=FM新知探究添加条件MN=MF可以吗？若添加MN=EM因为ME⊥CD，MNLAC,MN=ME,所以点M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 又M是EF的中点，则MF=ME=MN.同理可证AM是∠CAB的平分线.返回1．在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(

)A．点MB．点NC．点PD．点QA

DA.

一处

B.

两处

C.

三处

D.

四处返回返回3．[泰安市期中]如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是________．75°典例分析例2

如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.分析：BE+PF必须把BE、PF转化到一条线段上或一个三角形中根据题意可以将PF转化成PEBE、PE、PB是一个三角形的三边典例分析解

因为AP是∠CAD的平分线，

又PE⊥DB，PF⊥AC，

所以PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB,因此BE+PF>PB.新知探究做一做任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.A

B

C

P

N

M

D

E

F

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上根据题意可知点P在∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线上找点P，只要画△ABC中任意两个内角的角平分线在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P这个点P为什么到三边的距离相等呢？新知探究A

B

C

P

N

M

D

E

F

证明.过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以PD=PE.因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC,所以PD=PF.故PD=PE=PF，因此P为所求作的点.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.

5．如图①，把△ABC剪成三部分，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l，如图②所示．在△ABC中，若∠BOC＝115°，则∠BAC的度数为________．50°6.

如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作