5.4.1角平分线的性质定理-教学教学课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册5.4.1角平分线的性质定理专项练习（1321字）##知识点梳理角平分线的性质定理：**角平分线上的点到角两边的距离相等**。理解要点：①点必须在角的平分线上；②距离指的是点向角两边所作垂线段的长度，不是任意线段；定理作用：已知角平分线+垂直，直接得到两条垂线段相等，可用来证明线段相等、求线段长度。几何语言：若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PN。注意区分角平分线性质定理与逆定理，性质定理是“角平分线上的点→距离相等”，逆定理是“到角两边距离相等的点→在角平分线上”，本节课只学习性质定理。证明题要注意规范书写，必须写明两个垂直条件，不能省略垂直直接得出线段相等。##一、填空题（每题4分，共20分）1.角平分线上的点到角两边的______相等。2.已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=4cm，则PN=______cm。3.在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=5，则DF=______。4.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PD=3，则P到OB的距离为______。5.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DC=6，则D到AB的距离是______。##二、选择题（每题5分，共25分）1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPO=∠DPOC.OC=ODD.OP=PC2.在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则下列一定成立的是（）A.BD=CDB.DE=DFC.AB=ACD.∠B=∠C3.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA距离为3，则点P到OB的距离（）A.等于3B.大于3C.小于3D.无法确定4.下列说法能直接使用角平分线性质定理的是（）A.点P在∠AOB平分线上，PA=PB，PA、PB为斜线段B.点P在∠AOB平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PNC.PA⊥OA，PB⊥OB，PA=PB，则OP平分∠AOBD.∠AOP=∠BOP，则PA=PB5.Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10，BD=6，则D到AB距离为（）A.10B.6C.4D.5##三、解答题（每题10分，共30分）1.已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB。求证：PM=PN。2.已知，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=10，BC=8，△ABC面积为27，求DE的长。3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：AB=AC。##四、综合应用题（25分）已知：如图，△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，CF=EB。求证：DF=DB。##参考答案与解析###一、填空题1.距离解析：角平分线性质定理原文。2.4解析：角平分线上的点到角两边垂线段相等，PN=PM=4cm。3.5解析：AD为角平分线，DE、DF是垂线段，DE=DF=5。4.3解析：P在角平分线上，到两边距离相等。5.6解析：AD平分角，DC⊥AC，D到AB垂线段长度等于DC=6。###二、选择题1.D解析：PC=PD，△OPC≌△OPD，OC=OD，∠CPO=∠DPO，但OP与PC不一定相等。2.B解析：角平分线性质直接得到垂线段DE=DF，其余不一定成立。3.A解析：角平分线性质，两边垂线段长度相等。4.B解析：A不是垂线段；C是逆定理；D缺少垂直条件，不能推出相等。5.C解析：CD=BC-BD=10-6=4，D到AB距离=CD=4。###三、解答题1.证明：∵OC平分∠AOB，∴∠MOP=∠NOP。∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°。在△OMP和△ONP中$\begin{cases}∠OMP=∠ONP\\∠MOP=∠NOP\\OP=OP\end{cases}$，∴△OMP≌△ONP（AAS），∴PM=PN。2.解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF。$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△CBD}=\frac12AB·DE+\frac12BC·DF=\frac12DE(10+8)=9DE$。$\(9DE=27\)$，解得$\(DE=3\)$。答：DE长为3。3.证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，∴DB=DC，∠B=∠C=90°。在Rt△ABD与Rt△ACD中$\begin{cases}AD=AD\\DB=DC\end{cases}$，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴AB=AC。###四、综合应用题证明：∵∠C=90°，∴DC⊥AC。AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC=DE。在△DCF和△DEB中$\begin{cases}DC=DE\\∠C=∠DEB=90°\\CF=EB\end{cases}$，∴△DCF≌△DEB（SAS），∴DF=DB。**易错小结**：角平分线性质定理使用必须满足**角平分线+两条垂直**两个条件，很多同学忽略垂直，直接认为角平分线上任意一点到角边上点距离相等，这是高频错误。分清“垂线段的长度”才叫距离，斜线段不适用定理。计算面积题型，常利用DE=DF，把三角形拆成两个小三角形求和。证明线段相等，优先考虑角平分线性质，不用每次都证全等，简化步骤；若缺少垂直条件，不能直接套用性质定理。（全文1321字）需要我给你**空白无答案版**，方便打印做题吗？湘教版（新教材）数学八年级上册5.4.1角平分线的性质定理授课教师：.

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8年级（

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2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章直角三角形02新知导入回顾什么是角平分线？角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角.

03新知探究探究如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？你有什么方法进行比较？①度量②圆规③折叠猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.03新知探究已知：OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB.求证：PD=PE.

03新知探究角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.03新知探究思考角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.命题举反例假命题证明真命题几何题没有图案应该怎么办？03新知探究如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC.

03新知探究角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，∴

点P在∠AOB的角平分线上.

03新知探究例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.例1证明:（1）在△ABC中，因为∠1=∠2，所以BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，所以点B在∠ADC的平分线上.03新知探究例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.例1

D

返回2．[娄底市期末]如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是________．4返回04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是(

)A．12 B．15 C．18 D．24B04课堂练习

C04课堂练习

B04课堂练习【知识技能类作业】选做题：4.如图，△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=7.5,CD=4，则△ABD的面积是

.15新知应用基础巩固题1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(

)A．PC＝PD

B．∠CPO＝∠DOP

C．∠CPO＝∠DPO

D．OC＝ODB2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(

)A．4

B．3

C．2

D．1C新知应用基础巩固题3.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M(

)

A．在AC边的高上B．在AC边的中线上

C．在∠ABC的平分线上D．在AC边的垂直平分线上4.如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________．C125°新知应用基础巩固题5.如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是(

)A．PM>PN

B．PM＝PNC．PM<PN

D．无法确定B新知应用基础巩固题6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3D

解析：过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，

解得AC＝3.BCEADF返回84．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO.若∠AOD＝55°，则∠BAC