4.3.5 全等三角形的应用-教学教学课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册4.3.5全等三角形的应用专项练习（全文1231字）##核心考点能够利用全等三角形的判定与性质解决实际测量问题与几何综合题；掌握利用全等测距离的原理：构造全等三角形\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)将不可直接测量的线段转化为可测量线段；会结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行推理证明；学会从实际问题抽象出几何模型\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)建立全等关系；规范书写几何证明\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)解决线段相等、角度相等、线段求值类综合问题。答题要求：实际测量题核心思路：构造全等→对应边相等→转化长度；解决几何综合题\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)先观察图形\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)选择合适的全等判定方法；证明线段、角相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)优先证明所在三角形全等；HL仅适用于直角三角形。##一、知识梳理1.全等三角形在实际测量中的应用：遇到无法直接测量的距离（如池塘宽度、河宽、障碍物两侧距离）\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)可以构造两个全等三角形\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)把待测距离转化为地面上可以直接测量的线段长度。原理：全等三角形对应边相等。2.构造全等三角形常用模型：①对顶角模型：利用对顶角相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)搭配两组边或角构造SAS、ASA；②平行线模型：利用平行线得到内错角相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)构造AAS、ASA；③直角模型：存在垂直条件\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)可构造直角三角形\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)必要时使用HL。3.几何综合应用：多次全等证明\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)先证一组全等得到边角条件\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)再作为第二组全等的已知条件；利用全等转换线段、角度\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)求解周长、角度。4.解题一般步骤：读题\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)将实际问题转化为几何图形；标记已知边角条件；寻找或构造全等三角形；证明全等；利用全等性质得到结论\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)还原到实际问题作答。5.重要提醒：构造全等时\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)保证测量方案可行\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)测量的是可到达的线段；不能默认图形全等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)必须写出完整证明；区分五个判定定理\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)SSA、AAA不能判定全等。##二、选择题（每题5分\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)共30分）1.要测量池塘两端A、B的距离\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)在平地取点C\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)连接AC并延长到D使$\(CD=AC\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)连接BC延长到E使$\(CE=BC\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)连接DE\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)测量DE长度即为AB长\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)判定$\triangleABC\cong\triangleDEC$依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2.用全等三角形的方法测量河宽\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)原理是（）A.全等三角形对应角相等B.全等三角形对应边相等C.三角形具有稳定性D.两点之间线段最短3.如图\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$AC\perpBC\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)AD\perpBD$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)垂足C、D\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\(AC=BD\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)可证明$\text{Rt}\triangleABC\cong\text{Rt}\triangleBAD$依据是（）A.SASB.AASC.HLD.ASA4.下列无法利用全等三角形解决的问题是（）A.测量池塘两端距离B.证明两条线段相等C.测量大树高度（构造全等模型）D.直接测量线段长度5.在几何综合题中\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)证明两条线段相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)最常用思路是（）A.证明两线段所在三角形全等B.直接目测长度相等C.默认图形看起来相等D.利用AAA证明全等6.已知$AB=AD\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)\angleB=\angleD\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)BC=DE$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)求证$\(AC=AE\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)先证明$\triangleABC\cong\triangleADE$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)再得到线段相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)依据是（）A.全等三角形对应边相等B.全等三角形对应角相等C.等式性质D.等量代换##三、填空题（每题6分\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)共30分）1.利用全等三角形测距离\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)本质是把待测线段转化为全等三角形的________。2.构造全等三角形测量距离时\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)常常利用________相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)作为一组等角条件。3.多次全等题型中\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)第一次全等得到的边角结论\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)可以作为第二次证明的________。4.HL判定定理只适用于________三角形。5.若两个三角形全等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)则周长________\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)面积相等。##四、解答题（每题10分\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)共40分）1.实际应用题：有一个池塘\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)A、B分别在池塘两侧\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)无法直接测量AB长度。小明设计方案：在岸边取一点O\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)连接AO并延长到C\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)使$\(OC=OA\)$；连接BO延长至D\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)使$\(OD=OB\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)测量CD的长就是AB距离。请补全证明。2.几何证明：已知$AB=CD\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)AE\perpBC\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)DF\perpBC$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)垂足E、F\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\(CE=BF\)$。求证：$\(AE=DF\)$。3.综合证明：已知$AB=AC\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)AD=AE\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)\angleBAC=\angleDAE$。求证：$\angleB=\angleC$。4.方案设计题：有一座小山\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)山两侧有M、N两点\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)不能直接穿过山体测量MN长度\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)请设计利用全等三角形的测量方案\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)简单写出步骤和原理。##五、参考答案与解析选择题：1.B；$AC=CD\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)\angleACB=\angleDCE\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)BC=CE$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)SAS；2.B；对应边相等转换长度；3.C；直角三角形斜边公共\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)直角边相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)HL；4.D；直接测量不需要全等；5.A；证明线段相等优先证全等；6.A。填空题：1.对应边；2.对顶角；3.已知条件；4.直角；5.相等。解答题：1.证明：在$\triangleAOB$和$\triangleCOD$中$\begin{cases}OA=OC(\text{所作})\\\angleAOB=\angleCOD(\text{对顶角相等})\\OB=OD(\text{所作})\end{cases}$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\therefore\triangleAOB\cong\triangleCOD(\text{SAS})$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\thereforeAB=CD$（全等三角形对应边相等）\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)所以CD长就是AB距离。2.证明：$\because\(CE=BF\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\thereforeCE-EF=BF-EF$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)即$\(CF=BE\)$。$\becauseAE\perpBC\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)DF\perpBC$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\therefore\angleAEB=\angleDFC=90^\circ$。在$\text{Rt}\triangleABE$与$\text{Rt}\triangleDCF$中$\begin{cases}AB=CD\\BE=CF\end{cases}$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\therefore\text{Rt}\triangleABE\cong\text{Rt}\triangleDCF(\text{HL})$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\therefore\(AE=DF\)$。3.证明：$\because\angleBAC=\angleDAE$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\therefore\angleBAC-\angleBAE=\angleDAE-\angleBAE$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)即$\angleCAE=\angleBAD$。在$\triangleBAD$与$\triangleCAE$中$\begin{cases}AB=AC\\\angleBAD=\angleCAE\\AD=AE\end{cases}$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\therefore\triangleBAD\cong\triangleCAE(\text{SAS})$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)$\therefore\angleB=\angleC$。4.方案：在山外找一点P\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)可同时到达M、N；在射线PM上截取$\(PA=PM\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)射线PN上截取$\(PB=PN\)$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)测量AB长度即为MN长。原理：$\trianglePMN\cong\trianglePAB(\text{SAS})$\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)全等三角形对应边相等。##六、易错点总结全等三角形的应用四类高频丢分点。第一\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)实际应用题不会把文字描述转化为几何图形\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)看不懂测量方案\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)找不出全等的条件。第二\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)构造全等方案时\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)没有说明测量操作\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)只凭想象认为线段相等\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)缺少证明过程。第三\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)综合几何题\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)线段和差变形出错\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)如$\(CE=BF\)$不会推导出$\(CF=BE\)$；多次全等不会利用前一问的结论作为新条件。第四\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)混淆判定定理\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)普通三角形误用HL\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)或者在有直角条件时\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)不优先考虑HL。本节是全等章节的综合复习\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)融合全部判定定理\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)是考试大题高频考点。做题固定流程：实际问题先画图\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)标记已知；寻找边角条件\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)选定判定定理；规范书写证明；利用全等性质转换线段与角度\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)最后回归实际问题作答。（全文：1231字）下一节：**4.4线段的垂直平分线**\(AC\perpBC\(\becauseAE\perpBC，DF\perpBC\)AD\perpBD\)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.3.5全等三角形的应用授课教师：.

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8年级（

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2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形学习目标1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件2.能正确地利用相关条件判定三角形全等；

3.运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角相等的相关应用问题.02新知导入全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.回顾全等三角形具有哪些性质？全等三角形的判定定理有哪些？全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.全等三角形的判定定理（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.02新知导入回顾全等三角形具有哪些性质？全等三角形的判定定理有哪些？全等三角形的判定定理（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.全等三角形的判定定理（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。03新知探究如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么?问题1：CD的长就是河的宽度表明了什么样的等量关系？CD=AB问题2：怎么证明两条边相等？全等三角形的性质03新知探究如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么?问题3：证明哪两个三角形全等可证得CD=AB？△AEB≌△CED问题4：你能完成这道习题吗？03新知探究

03新知探究小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是例8尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？问题1：要求的内径是图中哪条线段(可作辅助线)？CD（连接CD）问题2：题目表明只要量出AB的长就可以知道玻璃瓶的内径是多少实际需要我们验证哪个等量关系？03新知探究

03新知探究在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到例9B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示.已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么?03新知探究问题1：AB与水平线的夹角是哪个角？为什么？∠BAE，从A点出发，水平线是AE,所以夹角是∠BAE问题2：BC与水平线的夹角是哪个角？问题3：点B不在水平线AE上，如何定义这个夹角？03新知探究解：如图，过点

B

作

BF⊥AC，交

AC

于点

F，则∠CFB=∠AFB=90°.又∠CFB=∠CAE=90°，所以

FB//AE，从而∠ABF=∠BAE.因为两盏灯的光线

AB，BC

与水平线的夹角相等，所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF=∠ABF.03新知探究

D

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风力发电具有环保、节能、可再生等优点，现已被广泛推广应用，其风力发电基础底座直径的大小引起同学们的兴趣，某综合实践小组的同学开展了以测量为主题的项目学习活动，形成了如下活动报告：项目主题实物的测量与计算驱动问题如何测量风力发电基础底座的直径活动内容利用三角形全等的知识进行测量与计算活动过程如图所示为测量方案示意图，AB为东西方向风力发电基础底座的直径．①从点A处向正西方向步行4m到达点C处；②从点B处向正东方向步行4m到达点D处；③从点D处沿正南方向步行一定距离到达点E处，F为DE的中点；④从点E处沿正东方向步行16m到达点G处，此时C，F，G三点在一条直线上(1)请根据上述数据,计算风力发电基础底座的直径AB的长．【解】根据题意，得∠CDF＝∠GEF，∠CFD＝∠GFE.因为F为DE的中点，所以DF＝EF.在△CDF和△GEF中，∠CDF＝∠GEF，DF＝EF，∠CFD＝∠GFE，所以△CDF≌△GEF(角边角)．所以CD＝GE＝16m.因为AC＝BD＝4m，所以AB＝CD－AC－BD＝16－4－4＝8(m)．返回(2)请你设计一个不同的测量方案，并在图中画出示意图．(不需写出测量数据)【解】答案不唯一，合理即可．如：如图，分别在AB，BA的延长线上取两点D，C，在风力发电基础底座外取一点E(点E不在直线AB上)，作射线DE，CE，并分别在射线CE，DE上取点F，G，使EF＝CE，EG＝DE，连接GF，测得AC，BD，GF的长即可．04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块．你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？（）A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块D04课堂练习【知识技能类作业】必做题：2.如图，把两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求AB的长，只需测量下列线段中的（）A．A'B' B．OA' C．OB' D．OAA新知应用基础巩固题

C构造全等三角形（AAS或ASA）模型新知应用基础巩固题

B构造全等三角形（AAS或ASA）模型新知应用基础巩固题

3.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是(

)A．SAS B．ASAC．AAS D．SSSD新知应用基础巩固题4.如图，太阳光线AC与A'C'